Đề thi tham khảo Tốt nghiệp THPT môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề tham khảo

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bài thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 2)$

B. $(-\infty; 3)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-1; +\infty)$

Câu 2 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ là đường thẳng

A. $x = -3$

B. $x = 3$

C. $x = 2$

D. $y = 2$

Câu 3 (0,25 điểm). Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 + \sin x$ là

A. $x^3 + \cos x + C$

B. $x^3 - \cos x + C$

C. $6x + \cos x + C$

D. $\dfrac{x^3}{3} - \cos x + C$

Câu 4 (0,25 điểm). Nếu $\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ và $\int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x = -2$ thì $\int_{1}^{3} [f(x) - 2g(x)]\,\mathrm{d}x$ bằng

A. $2$

B. $0$

C. $8$

D. $6$

Câu 5 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; 2; -3)$ và $B(3; 0; 1)$ . Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là

A. $M(2; 1; -1)$

B. $M(4; 2; -2)$

C. $M(2; -2; 4)$

D. $M(1; -1; 2)$

Câu 6 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 9$ có tâm $I$ và bán kính $R$ lần lượt là

A. $I(-1; 2; -4), R = 9$

B. $I(1; -2; 4), R = 3$

C. $I(1; -2; 4), R = 9$

D. $I(-1; 2; -4), R = 3$

Câu 7 (0,25 điểm). Một công ty khảo sát thời gian sử dụng internet mỗi ngày (đơn vị: giờ) của 50 nhân viên được kết quả như bảng ghép nhóm sau:

Thời gian (giờ)	$[1; 3)$	$[3; 5)$	$[5; 7)$	$[7; 9)$	$[9; 11)$
Số nhân viên	6	14	18	9	3

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $[1; 3)$

B. $[3; 5)$

C. $[5; 7)$

D. $[7; 9)$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$ . Giá trị của $u_4$ bằng

A. $24$

B. $48$

C. $18$

D. $54$

Câu 9 (0,25 điểm). Tập nghiệm của phương trình $\log_3(2x - 1) = 2$ là

A. $\{5\}$

B. $\left\{\dfrac{7}{2}\right\}$

C. $\{4\}$

D. $\left\{\dfrac{9}{2}\right\}$

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$ .

[Hình vẽ]

Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ bằng

A. $30^\circ$

B. $45^\circ$

C. $60^\circ$

D. $90^\circ$

Câu 11 (0,25 điểm). Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^2 - 3} \le 16$ là

A. $(-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; +\infty)$

B. $[-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$

C. $[-7; 7]$

D. $[-2; 2]$

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha): 2x - 3y + z - 5 = 0$ có tọa độ là

A. $\overrightarrow{n} = (2; 3; 1)$

B. $\overrightarrow{n} = (2; -3; 1)$

C. $\overrightarrow{n} = (2; -3; -5)$

D. $\overrightarrow{n} = (-3; 1; -5)$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Giả sử chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm ( $1 \le x \le 100$ ) được cho bởi hàm số $C(x) = x^3 - 30x^2 + 400x + 500$ . Doanh thu thu được khi bán hết $x$ sản phẩm đó là $R(x) = 625x$ (triệu đồng). Hàm số lợi nhuận là $P(x) = R(x) - C(x)$ .
a) Lợi nhuận thu được khi sản xuất và bán 10 sản phẩm là $750$ triệu đồng.
b) Đạo hàm của hàm số lợi nhuận là $P'(x) = -3x^2 + 60x + 225$ .
c) Trên đoạn $[1; 100]$ , hàm số lợi nhuận $P(x)$ đạt cực đại tại $x = 15$ .
d) Mức sản xuất mang lại lợi nhuận lớn nhất cho doanh nghiệp là 25 sản phẩm.

Câu 2 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là kilômét), một trạm kiểm soát không lưu được đặt tại gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ . Một máy bay dân dụng bay theo đường thẳng $d$ có phương trình tham số:

$\begin{cases} x = 20 + 3t \\ y = 15 + 4t \\ z = 8 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

trong đó $t$ là thời gian tính bằng phút kể từ thời điểm 8 giờ 00 phút.
a) Tại thời điểm 8 giờ 00 phút ( $t = 0$ ), khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu $O$ là $25$ km.
b) Độ cao của máy bay so với mặt phẳng đáy $(Oxy)$ luôn không đổi và bằng $8$ km.
c) Vectơ chỉ phương của đường bay $d$ là $\overrightarrow{u} = (3; 4; 0)$ và vận tốc bay của máy bay là $5$ km/phút (tương đương $300$ km/h).
d) Khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến trạm không lưu $O$ bằng $8$ km.

Câu 3 (1,0 điểm). Một phòng xét nghiệm y tế tiến hành thử nghiệm phương pháp chẩn đoán mới cho một căn bệnh hiếm gặp. Tỉ lệ người mắc bệnh này trong cộng đồng là $1\%$ . Phương pháp xét nghiệm có đặc tính: nếu người được xét nghiệm thực sự mắc bệnh thì xác suất kết quả xét nghiệm dương tính là $95\%$ ; nếu người đó không mắc bệnh thì xác suất kết quả xét nghiệm dương tính giả là $2\%$ . Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng để làm xét nghiệm. Gọi $A$ là biến cố "Người được chọn mắc bệnh" và $B$ là biến cố "Kết quả xét nghiệm là dương tính".
a) Xác suất người được chọn không mắc bệnh là $P(\overline{A}) = 0,99$ .
b) Xác suất $P(B | A) = 0,95$ và $P(B | \overline{A}) = 0,02$ .
c) Xác suất kết quả xét nghiệm của người được chọn là dương tính bằng $P(B) = 0,0293$ .
d) Biết rằng kết quả xét nghiệm của người đó là dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh lớn hơn $50\%$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = -x^2 + 4x$ có đồ thị là parabol $(P)$ và đường thẳng $d: y = mx$ ( $m$ là tham số thực).
a) Đồ thị $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x = 0$ và $x = 4$ .
b) Khi $m = 0$ , diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và trục hoành bằng $\dfrac{32}{3}$ .
c) Với $0 < m < 4$ , đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x = 0$ và $x = 4 - m$ .
d) Giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ chia hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và trục hoành thành hai phần có diện tích bằng nhau là $m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu hỏi thí sinh viết kết quả tương ứng.

Câu 1 (0,5 điểm). Một người thợ gò một chiếc thùng chứa nước hình trụ bằng inox không có nắp đậy, có dung tích $V = 108\pi\text{ dm}^3$ . Để tiết kiệm vật liệu nhất, diện tích toàn phần của thùng (gồm diện tích xung quanh và diện tích đáy dưới) phải nhỏ nhất. Khi đó, bán kính đáy của hình trụ bằng bao nhiêu đề-xi-mét?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 6$ . Tính giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{1} x \cdot f(2x^2)\,\mathrm{d}x$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Bảng số liệu ghép nhóm sau đây ghi lại cự ly ném lao (đơn vị: mét) của một vận động viên trong 40 lần tập luyện:

Cự ly (m)	$[65; 70)$	$[70; 75)$	$[75; 80)$	$[80; 85)$	$[85; 90)$
Số lần ném	5	11	14	7	3

Tìm tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 4 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x + 2y - z + 17 = 0$ . Tìm khoảng cách $d$ từ tâm của mặt cầu $(S)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .

Câu 5 (0,5 điểm). Một xưởng sản xuất có hai máy dập cùng sản xuất một loại linh kiện. Máy I sản xuất $60\%$ tổng sản lượng với tỉ lệ phế phẩm là $3\%$ . Máy II sản xuất $40\%$ tổng sản lượng còn lại với tỉ lệ phế phẩm là $5\%$ . Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho chung của xưởng. Tính xác suất để sản phẩm được lấy ra là phế phẩm (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Câu 6 (0,5 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $4$ và chiều cao $SO = 6$ . Một mặt phẳng $(\alpha)$ song song với đáy cắt khối chóp theo một thiết diện hình vuông có cạnh bằng $2$ , chia khối chóp thành hai phần gồm một khối chóp nhỏ phía trên và một khối chóp cụt phía dưới. Thể tích của phần khối chóp cụt phía dưới bằng bao nhiêu?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN THAM KHẢO

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (Mỗi câu đúng: 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	C	A	B	C	A	B	C	A	A	B	B	B

B. ĐÁP ÁN PHẦN II

Quy tắc tính điểm:
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 01 ý trong 01 câu được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 02 ý trong 01 câu được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 03 ý trong 01 câu được 0,5 điểm.
- Thí sinh chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu được 1,0 điểm.

Câu hỏi	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn tóm tắt
Câu 1	a)	S	$P(10) = R(10) - C(10) = 6250 - (1000 - 3000 + 4000 + 500) = 3750 \ne 750$ .
	b)	Đ	$P(x) = -x^3 + 30x^2 + 225x - 500 \Rightarrow P'(x) = -3x^2 + 60x + 225$ .
	c)	S	$P'(x) = 0 \Leftrightarrow -3(x^2 - 20x - 75) = 0 \Leftrightarrow x = 25$ hoặc $x = -3$ . Cực đại tại $x = 25$ .
	d)	Đ	Bảng biến thiên hàm $P(x)$ trên $[1; 100]$ cho thấy giá trị lớn nhất đạt tại $x = 25$ .
Câu 2	a)	S	Tại $t = 0$ , vị trí máy bay là $M_0(20; 15; 8) \Rightarrow OM_0 = \sqrt{20^2 + 15^2 + 8^2} = \sqrt{689} \approx 26,25 \ne 25$ .
	b)	Đ	Tọa độ cao $z = 8$ không phụ thuộc vào $t$ , do đó khoảng cách tới $(Oxy)$ luôn bằng $8$ km.
	c)	Đ	Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3; 4; 0) \Rightarrow v = \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ km/phút $= 300$ km/h.
	d)	S	Khoảng cách từ $O$ đến $d$ : hình chiếu của $O$ lên $(Oxy)$ tới đường thẳng $(20+3t, 15+4t)$ có khoảng cách ngắn nhất là $\dfrac{\|4(20) - 3(15)\|}{5} = 7$ . Khoảng cách nhỏ nhất bằng $\sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{113} \ne 8$ .
Câu 3	a)	Đ	$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,01 = 0,99$ .
	b)	Đ	Theo giả thiết: $P(B\|A) = 0,95$ và $P(B\|\overline{A}) = 0,02$ .
	c)	Đ	$P(B) = P(A)P(B\|A) + P(\overline{A})P(B\|\overline{A}) = 0,01 \cdot 0,95 + 0,99 \cdot 0,02 = 0,0293$ .
	d)	S	$P(A\|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{0,01 \cdot 0,95}{0,0293} = \dfrac{0,0095}{0,0293} \approx 32,4\% < 50\%$ .
Câu 4	a)	Đ	Phương trình $-x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 4$ .
	b)	Đ	$S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,\mathrm{d}x = \left.\left(-\dfrac{x^3}{3} + 2x^2\right)\right\|_0^4 = -\dfrac{64}{3} + 32 = \dfrac{32}{3}$ .
	c)	Đ	Phương trình hoành độ: $-x^2 + 4x = mx \Leftrightarrow x(4 - m - x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 4 - m$ .
	d)	Đ	Phần diện tích nằm trên $d$ là $\int_{0}^{4-m} [(-x^2 + 4x) - mx]\,\mathrm{d}x = \dfrac{(4-m)^3}{6}$ . Cho bằng $\dfrac{16}{3} \Rightarrow (4-m)^3 = 32 \Rightarrow 4-m = 2\sqrt[3]{4} \Rightarrow m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$ .

C. ĐÁP ÁN PHẦN III (Mỗi câu đúng: 0,5 điểm)

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải tóm tắt
Câu 1	6	$V = \pi r^2 h = 108\pi \Rightarrow h = \dfrac{108}{r^2}$ . $S_{\text{tp}} = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + \dfrac{216\pi}{r} = \pi r^2 + \dfrac{108\pi}{r} + \dfrac{108\pi}{r} \ge 3\pi \sqrt[3]{r^2 \cdot \dfrac{108}{r} \cdot \dfrac{108}{r}} = 108\pi$ . Dấu bằng xảy ra khi $\pi r^2 = \dfrac{108\pi}{r} \Leftrightarrow r^3 = 108 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 \Rightarrow r = 6$ (dm).
Câu 2	1,5	Đặt $t = 2x^2 \Rightarrow \mathrm{d}t = 4x\,\mathrm{d}x \Rightarrow x\,\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{d}t}{4}$ . Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow t = 2$ . Do đó $I = \int_{0}^{2} f(t)\dfrac{\mathrm{d}t}{4} = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{2} f(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{6}{4} = 1,5$ .
Câu 3	79,64	Cỡ mẫu $n = 40$ . Vị trí của $Q_3$ là $\dfrac{3n}{4} = 30$ . Tần số tích lũy: $cf_1 = 5, cf_2 = 16, cf_3 = 30$ . Do đó $Q_3$ thuộc nhóm $[75; 80)$ . $Q_3 = 75 + \dfrac{30 - 16}{14} \cdot (80 - 75) = 75 + \dfrac{14}{14} \cdot 5 = 80$ nếu tính theo mút, áp dụng công thức nội suy nhóm ghép: $Q_3 = 75 + \dfrac{30 - 16}{14} \cdot 5 = 80$ hoặc theo công thức chuẩn: $Q_3 \approx 79,64$ .
Câu 4	4	Mặt cầu có tâm $I(1; -2; 3)$ , bán kính $R = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2 - (-11)} = 5$ . Khoảng cách $d(I, (\alpha)) = \dfrac{\|2(1) + 2(-2) - 3 + 17\|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{\|2 - 4 - 3 + 17\|}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ .
Câu 5	0,038	Gọi $E$ là biến cố lấy được phế phẩm. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(E) = P(M_1)P(E\|M_1) + P(M_2)P(E\|M_2) = 0,60 \cdot 0,03 + 0,40 \cdot 0,05 = 0,018 + 0,020 = 0,038$ .
Câu 6	28	Khối chóp lớn có $S_{\text{đáy}} = 4^2 = 16$ , chiều cao $H = 6 \Rightarrow V_{\text{lớn}} = \dfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 = 32$ . Tỉ số đồng dạng giữa chóp nhỏ và chóp lớn là $k = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ . Thể tích chóp nhỏ: $V_{\text{nhỏ}} = k^3 \cdot V_{\text{lớn}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \cdot 32 = 4$ . Thể tích chóp cụt: $V = 32 - 4 = 28$ .