Đề thi HSG giải Toán trên MTCT môn Toán lớp 12 năm học 2026 – 2027

2,0

2,5

3,0

4,5

3,5

3,0

4,0

5,5

5,0

3,5

3,0

1,5

4,0

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

4,5

3,5

2,5

3,5

4,0

5,0

4,5

4,2

4,8

5,2

4,6

3,8

3,2

2,8

5,1

4,7

4,1

3,4

5,3

5,6

4,3

4,4

Câu 1
(1,0 điểm)

Thống kê thời gian tự học ghép nhóm (1,0 điểm)

1,0

Lập bảng tần số ghép nhóm với độ dài nhóm bằng $1$ từ mẫu số liệu $n = 40$:
- Nhóm $[1; 2)$: Giá trị đại diện $c_1 = 1,5$; tần số $n_1 = 1$.
- Nhóm $[2; 3)$: Giá trị đại diện $c_2 = 2,5$; tần số $n_2 = 4$.
- Nhóm $[3; 4)$: Giá trị đại diện $c_3 = 3,5$; tần số $n_3 = 12$.
- Nhóm $[4; 5)$: Giá trị đại diện $c_4 = 4,5$; tần số $n_4 = 15$.
- Nhóm $[5; 6)$: Giá trị đại diện $c_5 = 5,5$; tần số $n_5 = 8$.

0,25

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$\bar{x} = \dfrac{1 \cdot 1,5 + 4 \cdot 2,5 + 12 \cdot 3,5 + 15 \cdot 4,5 + 8 \cdot 5,5}{40} = \dfrac{165}{40} = 4,125 \text{ (giờ)}$$

0,25

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$s^2 = \dfrac{1}{40}\sum_{i=1}^{5} n_i c_i^2 - (\bar{x})^2 = \dfrac{720}{40} - (4,125)^2 = 18 - 17,015625 = 0,984375$$
(Nếu dùng phương sai hiệu chỉnh: $\hat{s}^2 = \dfrac{40}{39} s^2 \approx 1,00961$)

0,25

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$s = \sqrt{0,984375} \approx 0,99215 \text{ (giờ)}$$

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

Cực trị hàm số bậc ba và diện tích tam giác (1,0 điểm)

1,0

Ta có: $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) = 3[(x - m)^2 - 1]$.
$y' = 0 \Leftrightarrow x = m - 1$ hoặc $x = m + 1$.
Do đó đồ thị luôn có hai điểm cực trị phân biệt với mọi $m$.

0,25

Thay hoành độ cực trị vào hàm số ban đầu:
- Với $x_1 = m - 1 \Rightarrow y_1 = 4 \Rightarrow A(m - 1; 4)$.
- Với $x_2 = m + 1 \Rightarrow y_2 = 0 \Rightarrow B(m + 1; 0)$.

0,25

Diện tích tam giác $OAB$ với $O(0; 0)$:
$$S_{OAB} = \dfrac{1}{2}\left\vert x_A y_B - x_B y_A \right\vert = \dfrac{1}{2}\left\vert (m - 1)\cdot 0 - 4(m + 1) \right\vert = 2\vert m + 1\vert$$

0,25

Theo giả thiết: $2\vert m + 1\vert = \sqrt{20262027} \Leftrightarrow (m + 1)^2 = \dfrac{20262027}{4}$.
Suy ra hai nghiệm: $m_1, m_2 = -1 \pm \dfrac{\sqrt{20262027}}{2}$.
Giá trị biểu thức:
$$T = m_1^2 + m_2^2 = 2\left[(-1)^2 + \dfrac{20262027}{4}\right] = 2 + \dfrac{20262027}{2} = \dfrac{20262031}{2} = 10131015,5$$

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

Tối ưu chi phí kéo đường dây điện (1,0 điểm)

1,0

Đặt $CE = x$ (km) với điều kiện $0 \le x \le 20$. Khi đó $ED = 20 - x$ (km).
Chiều dài đường dây trên đất liền: $AE = \sqrt{x^2 + 6^2} = \sqrt{x^2 + 36}$ (km).
Chiều dài cáp ngầm dưới biển: $EB = \sqrt{(20 - x)^2 + 9^2} = \sqrt{(20 - x)^2 + 81}$ (km).

0,25

Tổng chi phí lắp đặt toàn bộ đường dây điện (đơn vị: USD):
$$f(x) = 3000\sqrt{x^2 + 36} + 5000\sqrt{(20 - x)^2 + 81}$$
Đạo hàm:
$$f'(x) = \dfrac{3000x}{\sqrt{x^2 + 36}} - \dfrac{5000(20 - x)}{\sqrt{(20 - x)^2 + 81}}$$

0,25

Phương trình $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 36}} = \dfrac{5(20 - x)}{\sqrt{(20 - x)^2 + 81}}$.
Sử dụng chức năng SOLVE trên MTCT với giá trị khởi tạo $x = 14$:
Thu được nghiệm duy nhất trên khoảng $(0; 20)$ là $x \approx 14,04689$ km.
Vậy khoảng cách $CE \approx 14,04689$ km.

0,25

Chi phí nhỏ nhất tương ứng:
$$f(14,04689) \approx 3000\sqrt{14,04689^2 + 36} + 5000\sqrt{(20 - 14,04689)^2 + 81} \approx 99776,53952 \text{ USD}$$

0,25

Câu 4
(1,0 điểm)

Quy trình bấm phím dãy số trên MTCT (1,0 điểm)

1,0

Phân tích công thức truy hồi:
$$u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2(2n + 1)\sqrt{u_n + 2} + 4n^2 + 4n - 1}{4}$$

0,25

Thiết lập thuật toán lặp trên máy tính Casio fx-580VN X / fx-880BTG:
- Gán giá trị ban đầu: $1 \to D$ (biến đếm $n$) và $2 \to A$ (giá trị $u_1$).
- Biểu thức lặp liên tục:
$$D = D + 1 : A = \dfrac{A + 2(2D - 1)\sqrt{A + 2} + 4(D - 1)^2 + 4(D - 1) - 1}{4}$$

0,25

Quy trình bấm phím cụ thể trên Casio fx-580VN X:
- Bấm: `1` `STO` `x` (hoặc `D`), `2` `STO` `A`.
- Nhập dòng lệnh: `x = x + 1 : A = (A + 2(2x - 1)√(A + 2) + 4(x - 1)² + 4(x - 1) - 1) ÷ 4`
- Nhấn phím `=` liên tiếp cho đến khi biến đếm $x = 12$.

0,25

Kết quả các số hạng trung gian và số hạng thứ 12:
$u_1 = 2$; $u_2 = 5,25$; $u_3 \approx 13,79907$; $u_4 \approx 27,61421$; …
Giá trị của số hạng thứ 12 là:
$$u_{12} \approx 400,24891$$

0,25

Câu 5
(1,0 điểm)

Hình học không gian và thiết diện lăng trụ (1,0 điểm)

1,0

Diện tích đáy $ABC$ đều cạnh $a = 6$ cm:
$$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy: $AG = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ cm.

0,25

Do $A'G \perp (ABC)$ nên góc giữa $AA'$ và $(ABC)$ là $\widehat{A'AG} = 60^\circ$.
Chiều cao khối lăng trụ:
$$h = A'G = AG \cdot \tan 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \text{ cm}$$
Thể tích lăng trụ:
$$V = S_{ABC} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 6 = 54\sqrt{3} \approx 93,53074 \text{ cm}^3$$

0,25

Độ dài cạnh bên lăng trụ:
$$l = CC' = AA' = \dfrac{AG}{\cos 60^\circ} = \dfrac{2\sqrt{3}}{0,5} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

0,25

Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cạnh bên $CC'$ chính là một thiết diện thẳng của khối lăng trụ.
Diện tích thiết diện thẳng của lăng trụ bằng thể tích chia cho độ dài cạnh bên:
$$S_{td} = \dfrac{V}{l} = \dfrac{54\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{54}{4} = 13,5 \text{ cm}^2$$

0,25

Câu 6
(1,0 điểm)

Xác suất chia hết trong tổ hợp (1,0 điểm)

1,0

Số phần tử không gian mẫu: $\vert\Omega\vert = 2026 \times 2027 = 4106702$.
Gọi số rút được ở hộp thứ nhất là $x$ ($1 \le x \le 2026$), ở hộp thứ hai là $y$ ($1 \le y \le 2027$).
Điều kiện: $x + y$ chia hết cho $5 \Leftrightarrow y \equiv -x \pmod 5$.

0,25

Phân loại số dư khi chia cho 5 của các phần tử trong mỗi hộp:
- Hộp 1 ($2026 = 405 \times 5 + 1$):
Số dư 1 có 406 thẻ; các số dư 0, 2, 3, 4 mỗi loại có 405 thẻ.
- Hộp 2 ($2027 = 405 \times 5 + 2$):
Số dư 1 có 406 thẻ; số dư 2 có 406 thẻ; các số dư 0, 3, 4 mỗi loại có 405 thẻ.

0,25

Đếm số cặp $(x; y)$ thỏa mãn $x + y \ \vdots \ 5$ theo từng trường hợp số dư của $x$:
+ $x \equiv 0 \Rightarrow y \equiv 0$: $405 \times 405 = 164025$ cách.
+ $x \equiv 1 \Rightarrow y \equiv 4$: $406 \times 405 = 164430$ cách.
+ $x \equiv 2 \Rightarrow y \equiv 3$: $405 \times 405 = 164025$ cách.
+ $x \equiv 3 \Rightarrow y \equiv 2$: $405 \times 406 = 164430$ cách.
+ $x \equiv 4 \Rightarrow y \equiv 1$: $405 \times 406 = 164430$ cách.
Tổng số kết quả thuận lợi: $N = 2 \times 164025 + 3 \times 164430 = 821340$.

0,25

Xác suất cần tìm:
$$P = \dfrac{821340}{4106702} = \dfrac{410670}{2053351} \approx 0,20000$$

0,25

Câu 7
(1,0 điểm)

Tâm tỉ cự và cực trị hình học không gian Oxyz (1,0 điểm)

1,0

Xét điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} - 3\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.
Tọa độ điểm $I$ được xác định bởi:
$$x_I = \dfrac{x_A + 2x_B + x_C - 3x_D}{1 + 2 + 1 - 3} = \dfrac{1 + 2(3) + (-1) - 3(2)}{1} = 0$$
$$y_I = \dfrac{y_A + 2y_B + y_C - 3y_D}{1} = \dfrac{2 + 2(0) + 4 - 3(-1)}{1} = 9$$
$$z_I = \dfrac{z_A + 2z_B + z_C - 3z_D}{1} = \dfrac{-1 + 2(1) + 3 - 3(5)}{1} = -11$$
Suy ra tọa độ tâm tỉ cự: $I(0; 9; -11)$.

0,25

Biến đổi biểu thức $Q$ qua điểm $I$:
$$Q = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC})^2 - 3(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{ID})^2$$
$$= MI^2 + (IA^2 + 2IB^2 + IC^2 - 3ID^2) = MI^2 + k \text{ (với } k \text{ là hằng số)}$$

0,25

$Q$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ ngắn nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$.
Đường thẳng $\Delta$ qua $I$ vuông góc $(P)$ có vectơ chỉ phương $\vec{n} = (2; -1; 2)$:
$$\begin{cases} x = 2t \\ y = 9 - t \\ z = -11 + 2t \end{cases}$$
Thay vào $(P): 2(2t) - (9 - t) + 2(-11 + 2t) - 6 = 0 \Leftrightarrow 9t - 37 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{37}{9}$.

0,25

Tọa độ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ là:
$$x_0 = \dfrac{74}{9}, \quad y_0 = \dfrac{44}{9}, \quad z_0 = -\dfrac{25}{9}$$
Tổng cần tính:
$$S = x_0 + y_0 + z_0 = \dfrac{74 + 44 - 25}{9} = \dfrac{93}{9} = \dfrac{31}{3} \approx 10,33333$$

0,25

Câu 8
(1,0 điểm)

Bài toán tài chính - so sánh hai gói vay ngân hàng (1,0 điểm)

1,0

Xét Gói 1: Vốn vay $V = 1,5 \times 10^9$ đồng, thời hạn $n = 72$ tháng.
Tiền gốc trả mỗi tháng: $G = \dfrac{1,5 \times 10^9}{72} = \dfrac{125000000}{6}$ đồng.
- Lãi suất 18 tháng đầu: $r_1 = \dfrac{8,4\%}{12} = 0,7\%$/tháng.
Tổng tiền lãi 18 tháng đầu:
$$T_{L1} = r_1 \sum_{k=1}^{18} [V - (k - 1)G] = 0,007 \times \left[18 \times 1,5 \times 10^9 - \dfrac{17 \times 18}{2} \times \dfrac{1,5 \times 10^9}{72}\right] = 166687500 \text{ đồng}$$

0,25

- Lãi suất 54 tháng còn lại: $r_2 = \dfrac{11,2\%}{12} = \dfrac{7}{750}$/tháng.
Dư nợ đầu tháng 19: $D_{19} = V - 18G = 1125000000$ đồng.
Tổng tiền lãi 54 tháng sau:
$$T_{L2} = r_2 \sum_{j=1}^{54} [D_{19} - (j - 1)G] = \dfrac{0,112}{12} \times \left[54 \times 1125000000 - \dfrac{53 \times 54}{2} \times \dfrac{1,5 \times 10^9}{72}\right] = 288750000 \text{ đồng}$$
Tổng số tiền phải trả theo Gói 1:
$$T_1 = 1500000000 + 166687500 + 288750000 = 1955437500 \text{ đồng}$$

0,25

Xét Gói 2: Phương thức niên kim với lãi suất $r = \dfrac{9,6\%}{12} = 0,8\%$/tháng.
Số tiền ông Bình trả đều đặn mỗi tháng là:
$$m = V \cdot \dfrac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1} = 1,5 \times 10^9 \times \dfrac{0,008(1,008)^{72}}{(1,008)^{72} - 1} \approx 27492312,22888 \text{ đồng}$$
Tổng số tiền phải trả theo Gói 2:
$$T_2 = 72 \times m \approx 1979446480,48 \text{ đồng}$$

0,25

Kết luận:
Gói 1 có chi phí thấp hơn nên giúp ông Bình tiết kiệm được nhiều tiền hơn.
Số tiền tiết kiệm được là:
$$\Delta T = T_2 - T_1 \approx 1979446480,48 - 1955437500 \approx 24008980 \text{ đồng}$$

0,25

Câu 9
(1,0 điểm)

Giải tam giác trong bài toán đo đạc thực tế (1,0 điểm)

1,0

Trong tam giác $PAB$:
$\widehat{APB} = 180^\circ - (\widehat{PAB} + \widehat{PBA}) = 180^\circ - (72^\circ 30' + 48^\circ 45') = 58^\circ 45'$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $PAB$ tính cạnh $AP$:
$$AP = \dfrac{AB \cdot \sin(\widehat{PBA})}{\sin(\widehat{APB})} = \dfrac{420 \cdot \sin(48^\circ 45')}{\sin(58^\circ 45')} \approx 369,36262 \text{ m}$$

0,25

Trong tam giác $QAB$:
$\widehat{AQB} = 180^\circ - (\widehat{QAB} + \widehat{QBA}) = 180^\circ - (35^\circ 15' + 85^\circ 20') = 59^\circ 25'$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $QAB$ tính cạnh $AQ$:
$$AQ = \dfrac{AB \cdot \sin(\widehat{QBA})}{\sin(\widehat{AQB})} = \dfrac{420 \cdot \sin(85^\circ 20')}{\sin(59^\circ 25')} \approx 486,24719 \text{ m}$$

0,25

Vì các điểm cùng quan sát về một phía hồ nước nên tia $AQ$ nằm giữa tia $AB$ và $AP$, suy ra:
$$\widehat{PAQ} = \widehat{PAB} - \widehat{QAB} = 72^\circ 30' - 35^\circ 15' = 37^\circ 15'$$

0,25

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $APQ$ tính khoảng cách $PQ$:
$$PQ = \sqrt{AP^2 + AQ^2 - 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot \cos(\widehat{PAQ})}$$
Thay số từ bộ nhớ máy tính:
$$PQ \approx \sqrt{(369,36262)^2 + (486,24719)^2 - 2(369,36262)(486,24719)\cos(37^\circ 15')} \approx 294,85362 \text{ m}$$
(Trường hợp $P, Q$ khác phía bờ $AB$: $\widehat{PAQ} = 107^\circ 45' \Rightarrow PQ \approx 695,54877$ m)

0,25

Câu 10
(1,0 điểm)

Giải phương trình vô tỉ nâng cao (1,0 điểm)

1,0

Điều kiện: $x \ge -3$. Phương trình đã cho tương đương với:
$$x^2 - x - 3 = 3\sqrt{x^2 + 5} - 6\sqrt{x + 3}$$
$$\Leftrightarrow (x^2 - x - 6) = 3(\sqrt{x^2 + 5} - 3) - 6(\sqrt{x + 3} - 1)$$

0,25

Trục căn thức nhân liên hợp:
$$(x + 2)(x - 3) = \dfrac{3(x^2 - 4)}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{6(x + 2)}{\sqrt{x + 3} + 1}$$
$$\Leftrightarrow (x + 2)\left[ x - 3 - \dfrac{3(x - 2)}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} + \dfrac{6}{\sqrt{x + 3} + 1} \right] = 0$$
Suy ra nghiệm hữu tỉ: $x_1 = -2 \Rightarrow a = -2$.

0,25

Tìm nghiệm thứ hai bằng chức năng SOLVE trên MTCT quanh lân cận $-2$:
Thu được nghiệm: $x_2 \approx -1,90983005627$.
Biến đổi nghiệm trên máy tính:
$$t = x_2 + 2 \approx 0,09016994375 \Rightarrow \dfrac{1}{t} - t = 11 \Leftrightarrow t^2 + 11t - 1 = 0$$
Do $t > 0$ nên $t = \dfrac{-11 + 5\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_2 = -2 + t = -\dfrac{15}{2} + \dfrac{5}{2}\sqrt{5}$.
Suy ra: $b = -\dfrac{15}{2}$ và $c = \dfrac{5}{2}$.

0,25

Tính giá trị biểu thức $P = a^8 + b^4 + 25c^2$:
- $a^8 = (-2)^8 = 256$.
- $b^4 = \left(-\dfrac{15}{2}\right)^4 = \dfrac{50625}{16} = 3164,0625$.
- $25c^2 = 25 \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{625}{4} = 156,25$.
Vậy:
$$P = 256 + 3164,0625 + 156,25 = \dfrac{57221}{16} = 3576,3125$$

0,25