Đề thi HSG Giải toán trên MTCT môn Toán 12 nâng cao (10 chủ đề chuyên sâu)

Số trang trại ($n_i$)

2

3

3

4

4

6

5

4

3

3

2

1

Câu 1
(1,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức $T = \left| s_n^2 - s_g^2 \right| + \left| s_n - s_g \right|$

1,0

- Mẫu số liệu gốc có $N = 40$.
Nhập bảng vào MTCT (chế độ Thống kê 1 biến):
Tính được số trung bình $\overline{x}_g = \dfrac{2638}{40} = 65,95$.
Phương sai mẫu gốc: $s_g^2 \approx 65,49750$; độ lệch chuẩn: $s_g \approx 8,09305$.

0,25

- Lập bảng phân bố tần số ghép nhóm có độ dài mỗi nhóm bằng 6:
+ Nhóm $[50; 56)$: tần số $n_1 = 2 + 3 = 5$, giá trị đại diện $c_1 = 53$.
+ Nhóm $[56; 62)$: tần số $n_2 = 3 + 4 = 7$, giá trị đại diện $c_2 = 59$.
+ Nhóm $[62; 68)$: tần số $n_3 = 4 + 6 = 10$, giá trị đại diện $c_3 = 65$.
+ Nhóm $[68; 74)$: tần số $n_4 = 5 + 4 = 9$, giá trị đại diện $c_4 = 71$.
+ Nhóm $[74; 80)$: tần số $n_5 = 3 + 3 = 6$, giá trị đại diện $c_5 = 77$.
+ Nhóm $[80; 86)$: tần số $n_6 = 2 + 1 = 3$, giá trị đại diện $c_6 = 83$.

0,25

- Nhập mẫu số liệu ghép nhóm vào MTCT:
Tính được $\overline{x}_n = \dfrac{2672}{40} = 66,80$.
Phương sai mẫu ghép nhóm: $s_n^2 = 68,46000$; độ lệch chuẩn: $s_n \approx 8,27405$.

0,25

- Tính giá trị của $T$:
$\left| s_n^2 - s_g^2 \right| = \left| 68,46000 - 65,49750 \right| = 2,96250$.
$\left| s_n - s_g \right| \approx 8,27405 - 8,09305 = 0,18100$.
$\Rightarrow T = 2,96250 + 0,18100 = 3,14350$.
Đáp số: $T \approx 3,14350$.

0,25

Câu 2
(1,0 điểm)

Tính giá trị của biểu thức $P = x_1 x_2 x_3 + \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}$

1,0

- Điều kiện xác định: $x > 0$.
Biến đổi các số hạng theo $t = \log_2 x$:
$\log_2 (4x) = t + 2 \Rightarrow \log_2^3 (4x) = (t + 2)^3 = t^3 + 6t^2 + 12t + 8$.
$\log_{\sqrt{2}} x = 2t \Rightarrow \log_{\sqrt{2}}^2 x = 4t^2 \Rightarrow -7\log_{\sqrt{2}}^2 x = -28t^2$.
$\log_{\frac{1}{2}} (2x) = -\log_2(2x) = -(t + 1) \Rightarrow 8\log_{\frac{1}{2}}(2x) = -8t - 8$.

0,25

- Phương trình trở thành:
$(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) - 28t^2 - (8t + 8) + 36 = 0$
$\Leftrightarrow t^3 - 22t^2 + 4t + 36 = 0$.

0,25

- Sử dụng tính năng giải phương trình bậc ba trên MTCT tìm 3 nghiệm $t_1, t_2, t_3$:
$t_1 \approx -1,09388$; $t_2 \approx 1,59530$; $t_3 \approx 21,49857$.
Khi đó nghiệm $x_i = 2^{t_i}$.
Theo định lý Viète: $t_1 + t_2 + t_3 = 22 \Rightarrow x_1 x_2 x_3 = 2^{t_1 + t_2 + t_3} = 2^{22} = 4194304$.

0,25

- Tổng nghịch đảo: $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} = 2^{-t_1} + 2^{-t_2} + 2^{-t_3}$.
Tính trên MTCT:
$2^{-(-1,09388)} + 2^{-1,59530} + 2^{-21,49857} \approx 2,13447 + 0,33095 + 0,00000 = 2,46542$.
Vậy $P \approx 4194304 + 2,46542 = 4194306,46542$.
Đáp số: $4194306,46542$.

0,25

Câu 3
(1,0 điểm)

Tính tổng đạo hàm lượng giác hữu hạn $S$

1,0

- Ta có: $f(x) = \sin(2x) \cdot \cos^2 x = 2\sin x \cos^3 x = \dfrac{1}{2}\sin(2x)(1 + \cos 2x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x) + \dfrac{1}{4}\sin(4x)$.

0,25

- Lấy đạo hàm:
$f'(x) = \cos(2x) + \cos(4x)$.

0,25

- Đặt biểu thức tính tổng vào lệnh $\sum$ trên MTCT (đơn vị góc là Radian):
$$S = \sum_{x=1}^{18} \left[ \cos\left(\dfrac{2x\pi}{37}\right) + \cos\left(\dfrac{4x\pi}{37}\right) \right]$$

0,25

- Thực hiện bấm máy tính liên tục hoặc rút gọn bằng công thức nhân $\sin\left(\dfrac{\pi}{37}\right)$:
$S = -1,00000$.
Đáp số: $-1$ (hoặc $-1,00000$).

0,25

Câu 4
(1,0 điểm)

Tính tổng bình phương các giá trị của tham số $m$

1,0

- Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Đạo hàm $y' = \dfrac{(2x + m)(x - 1) - (x^2 + mx - 2)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - m + 2}{(x - 1)^2}$.
Hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình $g(x) = x^2 - 2x - m + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1:
$\Delta' = 1 - (-m + 2) = m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$ và $g(1) = 1 - m \ne 0$.

0,25

- Toạ độ các điểm cực trị thoả mãn phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị (đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu):
$y = \dfrac{(x^2 + mx - 2)'}{(x - 1)'} = 2x + m \Leftrightarrow 2x - y + m = 0 \quad (\Delta)$.

0,25

- Khoảng cách từ $O(0; 0)$ đến đường thẳng $\Delta$:
$d(O, \Delta) = \dfrac{|m|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|m|}{\sqrt{5}}$.
Theo giả thiết: $\dfrac{|m|}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \Leftrightarrow |m| = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.

0,25

- Kết hợp điều kiện $m > 1$, ta thấy không có giá trị nào thoả mãn nếu $d = \sqrt{5}/5$.
Hiệu chỉnh phương trình khoảng cách: Nếu $d(O, \Delta) = \dfrac{\sqrt{5} m_0}{5}$, đề bài cho khoảng cách bằng $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ thì $|m| = 2 \Rightarrow m = 2$ thoả mãn.
Với đề cho khoảng cách $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$, không có $m$ thoả mãn nên tổng bình phương bằng $0$.

0,25

Câu 5
(1,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức $P = \dfrac{S_{20}}{2026}$

1,0

- Nghịch đảo hệ thức truy hồi của dãy số:
$\dfrac{1}{u_{n+1}} = \dfrac{1}{u_n} + 2n + 1$.

0,25

- Lấy tổng sai phân để tìm công thức số hạng tổng quát $\dfrac{1}{u_n}$:
$\dfrac{1}{u_n} = \dfrac{1}{u_1} + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = \dfrac{1}{\sqrt{2026}} + \left[(n-1)(n+1) + (n-1)\right] = \dfrac{1}{\sqrt{2026}} + n^2 - 1$.

0,25

- Do đó: $\dfrac{1}{u_k^2} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2026}} + k^2 - 1\right)^2$.
Lập lệnh tính tổng trên MTCT:
$S_{20} = \sum_{x=1}^{20} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2026}} + x^2 - 1 \right)^2$.

0,25

- Tính trên máy tính cầm tay:
$S_{20} \approx 652495,78235$.
Suy ra $P = \dfrac{S_{20}}{2026} \approx \dfrac{652495,78235}{2026} \approx 322,06109$.
Đáp số: $322,06109$.

0,25

Câu 6
(1,0 điểm)

Tính thời gian tối thiểu để người đó đến vị trí $B$

1,0

- Đặt đoạn chạy bộ $AM = x$ (m) với $0 \le x \le 350$.
Khi đó đoạn $MH = 350 - x$.
Khoảng cách bơi $MB = \sqrt{MH^2 + HB^2} = \sqrt{(350 - x)^2 + 120^2}$.

0,25

- Hàm thời gian di chuyển toàn bộ hành trình là:
$t(x) = \dfrac{x}{v_1} + \dfrac{MB}{v_2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{\sqrt{(350 - x)^2 + 14400}}{1,5}$ (giây).

0,25

- Lấy đạo hàm tìm cực trị:
$t'(x) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{350 - x}{1,5\sqrt{(350 - x)^2 + 14400}} = 0$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{(350 - x)^2 + 14400} = 8(350 - x)$
$\Leftrightarrow 9\left[(350 - x)^2 + 14400\right] = 64(350 - x)^2 \Leftrightarrow 55(350 - x)^2 = 129600$
$\Rightarrow 350 - x = \sqrt{\dfrac{129600}{55}} = \dfrac{360}{\sqrt{55}} \approx 48,54256 \Rightarrow x \approx 301,45743$ m.

0,25

- Thay $x$ vào hàm thời gian $t(x)$ hoặc dùng chức năng giải/tính trực tiếp trên MTCT:
$t_{\min} = \dfrac{301,45743}{4} + \dfrac{\sqrt{48,54256^2 + 120^2}}{1,5} \approx 75,36435 + 86,29806 = 161,66242$ giây.
Đáp số: $161,66242$ giây.

0,25

Câu 7
(1,0 điểm)

Tính khoảng cách từ trạm ra-đa $A$ đến thiết bị tiếp sóng $M$

1,0

- Đường thẳng $d_1$ qua $P(1; -3; 4)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (2; -1; 2)$.
Đường thẳng $d_2$ qua $Q(-2; 1; -1)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2 = (1; 2; -2)$.
Vectơ vuông góc chung: $\vec{n} = [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (-2; 6; 5)$.

0,25

- Lấy $M_1 \in d_1 \Rightarrow M_1(1 + 2t_1; -3 - t_1; 4 + 2t_1)$ và $M_2 \in d_2 \Rightarrow M_2(-2 + t_2; 1 + 2t_2; -1 - 2t_2)$.
$\vec{M_1 M_2} = (t_2 - 2t_1 - 3; 2t_2 + t_1 + 4; -2t_2 - 2t_1 - 5)$.
Giải hệ $\begin{cases} \vec{M_1 M_2} \cdot \vec{u}_1 = 0 \\ \vec{M_1 M_2} \cdot \vec{u}_2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -9t_1 - 4t_2 - 20 = 0 \\ -4t_1 - 9t_2 - 15 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t_1 = -\dfrac{120}{65} = -\dfrac{24}{13} \\ t_2 = -\dfrac{11}{13} \end{cases}$.

0,25

- Toạ độ điểm $M$ (trung điểm của đoạn vuông góc chung $M_1 M_2$):
$M_1\left(-\dfrac{35}{13}; -\dfrac{15}{13}; \dfrac{4}{13}\right)$, $M_2\left(-\dfrac{37}{13}; -\dfrac{9}{13}; \dfrac{9}{13}\right) \Rightarrow M\left(-\dfrac{36}{13}; -\dfrac{12}{13}; \dfrac{13}{26}\right) = \left(-\dfrac{36}{13}; -\dfrac{12}{13}; \dfrac{1}{2}\right)$.

0,25

- Tính khoảng cách $AM$ với $A(3; -2; 1)$:
$\vec{AM} = \left(-\dfrac{75}{13}; \dfrac{14}{13}; -\dfrac{1}{2}\right)$.
$AM = \sqrt{\left(-\dfrac{75}{13}\right)^2 + \left(\dfrac{14}{13}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{5821}{169} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{23453}{676}} \approx 5,89012$ đơn vị.
Khoảng cách thực tế: $d = 5,89012 \times 10 = 58,90128$ km.
Đáp số: $58,90128$ km.

0,25

Câu 8
(1,0 điểm)

Tính giá trị $K = m\sqrt{n + 1}$

1,0

- Diện tích đáy hình thang $ABCD$:
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot AB}{2} = \dfrac{(4a + 2a) \cdot 2a}{2} = 6a^2$.
Thể tích khối chóp ban đầu: $V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} SA \cdot S_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot 3a \cdot 6a^2 = 6a^3$.

0,25

- Thiết lập hệ toạ độ hoặc tỉ số thể tích:
$G$ là trọng tâm $\triangle SAB \Rightarrow \dfrac{SG}{SE} = \dfrac{2}{3}$ (với $E$ là trung điểm $AB$).
Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $G$ song song $AB$ cắt $SA, SB$ tại $A', B'$ với $\dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{SB'}{SB} = \dfrac{2}{3}$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ (trung điểm $SD$) nên $\dfrac{SM}{SD} = \dfrac{1}{2}$.

0,25

- Giao tuyến của $(\alpha)$ với $(SCD)$ đi qua $M$ và song song $CD$: do $CD$ không song song $AB$, dùng phương pháp phân chia khối đa diện:
Chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối chóp tam giác $S.ABD$ và $S.BCD$.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích Simson cho từng phần, tính được tỉ số thể tích:
$\dfrac{V_1}{V} = \dfrac{19}{72} \Rightarrow V_1 = \dfrac{19}{72} \cdot 6a^3 = \dfrac{19}{12}a^3$.

0,25

- Do đó $m = 19, n = 12$ (phân số $\dfrac{19}{12}$ tối giản).
Tính giá trị $K = m\sqrt{n + 1} = 19 \cdot \sqrt{12 + 1} = 19\sqrt{13} \approx 68,50182$.
Đáp số: $68,50182$.

0,25

Câu 9
(1,0 điểm)

Tính xác suất di chuyển không có 3 bước sang phải liên tiếp

1,0

- Tổng số bước đi từ $(0; 0)$ đến $(5; 4)$ là $5 + 4 = 9$ bước, gồm 5 bước $R$ và 4 bước $U$.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_9^4 = C_9^5 = 126$.

0,25

- Để không có ba bước $R$ nào đứng liền nhau ($RRR$), các bước $R$ chỉ có thể xuất hiện đơn lẻ ($R$) hoặc từng cặp ($RR$).
Xếp 4 bước $U$ tạo ra 5 vị trí trống để chèn $R$: $\_ U \_ U \_ U \_ U \_$.
Gọi $x_i$ là số bước $R$ chèn vào vị trí thứ $i$ ($i = 1, \ldots, 5$). Ta có phương trình:
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5$ với $x_i \in \{0, 1, 2\}$.

0,25

- Số nghiệm thoả mãn phân chia thành các trường hợp của bộ số $\{x_i\}$:
+ Gồm hai số 2, một số 1 và hai số 0: số cách xếp là $\dfrac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 2!} = 30$.
+ Gồm một số 2, ba số 1 và một số 0: số cách xếp là $\dfrac{5!}{1! \cdot 3! \cdot 1!} = 20$.
+ Gồm năm số 1: số cách xếp là $\dfrac{5!}{5!} = 1$.
Tổng số cách đi thoả mãn là: $n(A) = 30 + 20 + 1 = 51$.

0,25

- Xác suất cần tìm:
$P = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{51}{126} = \dfrac{17}{42} \approx 0,40476$.
Đáp số: $0,40476$.

0,25

Câu 10
(1,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức $T$

1,0

- Áp dụng khai triển nhị thức Newton cho $(1 + 3)^n$:
$(1 + 3)^n = C_n^0 + 3C_n^1 + 3^2 C_n^2 + \ldots + 3^n C_n^n = 4^n$.
Theo đề bài: $4^n = 1048576 = 4^{10} \Rightarrow n = 10$.

0,25

- Với $n = 10$, ta có: $P(x) = (x^2 - 3x + 2)^{10} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{20} x^{20}$.
Lấy đạo hàm hai vế theo biến $x$:
$P'(x) = 10(x^2 - 3x + 2)^9 \cdot (2x - 3) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 20a_{20} x^{19}$.

0,25

- Cho $x = 1$ vào hai vế của đẳng thức đạo hàm:
$T = P'(1) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}$.
Tính giá trị $P'(1)$:
$P'(1) = 10 \cdot (1^2 - 3 \cdot 1 + 2)^9 \cdot (2 \cdot 1 - 3) = 10 \cdot 0^9 \cdot (-1) = 0$.

0,25

- Kết luận:
$T = 0$.
Đáp số: $0$ (hoặc $0,00000$).

0,25

TỔNG ĐIỂM

10,0

$[50; 56)$

53

5

$[56; 62)$

59

7

$[62; 68)$

65

10

$[68; 74)$

71

9

$[74; 80)$

77

8

$[80; 86)$

83

1

Tổng

40