ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐHQG HÀ NỘI (HSA) - PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM BỐN LỰA CHỌN (Từ câu 1 đến câu 35)

Thí sinh chọn duy nhất một phương án đúng trong bốn phương án A, B, C, D.

Câu 1. Một mẻ nuôi cấy vi khuẩn ban đầu có $2000$ cá thể. Số lượng vi khuẩn sau $t$ giờ phát triển theo quy luật $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$. Biết rằng sau $4$ giờ, số lượng vi khuẩn đếm được là $3200$ cá thể. Hỏi sau $12$ giờ kể từ thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy là bao nhiêu?

Câu 2. Cho một khối trụ có bán kính đáy $R = 3$ và chiều cao $h = 8$. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $2$. Diện tích thiết diện thu được bằng

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ và đường thẳng $d: 3x - 4y + 5 = 0$. Đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Câu 4. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$. Bất phương trình $f(x) \le 2x + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [0; 3]$ khi và chỉ khi

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $f(x) = \ln(\cos x)$ trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ là

Câu 6. Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB = BC = 2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 3a$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

Câu 7. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m \in [1; 10]$ để phương trình $4^x - m \cdot 2^{x+1} + 2m + 8 = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập hợp $S$ là

Câu 8. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có tích độ dài hai cạnh góc vuông bằng $18$. Khi chu vi của tam giác $ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài cạnh huyền $BC$ bằng

Câu 9. Cho đồ thị hàm số $(C): y = x^3 - 3x^2 + 2$. Đường thẳng $d: y = m(x - 1)$ cắt đồ thị $(C)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2, x_3$. Giá trị của tham số $m$ để $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 11$ là

Câu 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = -x^3 - 3x + 4$ trên đoạn $[-2; 1]$ bằng

Câu 11. Một xưởng sản xuất muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp từ một tấm tôn hình vuông cạnh $60\text{ cm}$ bằng cách cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh $x\text{ (cm)}$ ở bốn góc rồi gập các mép lại. Giá trị của $x$ để thể tích khối hộp thu được lớn nhất là

Câu 12. Một chiếc bàn gỗ có mặt bàn là hình lục giác đều. Biết khoảng cách giữa hai đỉnh đối diện nhau qua tâm (đường chéo chính) là $1,6\text{ m}$. Chu vi của mặt bàn đó bằng

Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB = a, BC = a\sqrt{3}$. Biết góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

Câu 14. Khảo sát thời gian sử dụng Internet mỗi ngày của một nhóm $50$ học sinh, ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt là

Câu 15. Đường thẳng $d: y = x + m$ cắt đồ thị $(C): y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ ngắn nhất. Giá trị của $m$ bằng

Câu 16. Một trường THPT khảo sát điểm thi môn Toán của $40$ học sinh thu được bảng phân bố tần số ghép nhóm sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

Câu 17. Trong các số tự nhiên từ $1$ đến $300$, có bao nhiêu số chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $5$?

Câu 18. Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có thể tích $V = 24$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$, điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $SN = 2NB$. Mặt phẳng qua $M, N$ và song song với $BC$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Thể tích của khối đa diện $MNP.ABC$ bằng

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = (m - 1)x^4 - 2(m - 3)x^2 + 1$ không có điểm cực đại.

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = -\dfrac{x^3}{3} + mx^2 - 2mx + 2025$ có hai điểm cực trị.

Câu 21. Cho các số thực $x, y, z, a, b, c$ thỏa mãn $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 1$ và $a + b + c = 3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2$ bằng

Câu 22. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng thứ 4 là $u_4 = 11$ và số hạng thứ 7 là $u_7 = 20$. Công sai của cấp số cộng đó bằng

Câu 23. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + y + z - 3 = 0$ và điểm $A(2; 1; 3)$. Gọi $H(a; b; c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ bằng

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $S$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; y)$ có tọa độ nguyên thỏa mãn $0 \le x \le 5$ và $0 \le y \le 5$. Số đoạn thẳng có độ dài bằng $5$ mà hai đầu mút đều thuộc tập hợp $S$ là

Câu 25. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B'C'$ và $N$ là trung điểm của cạnh $CD$. Khoảng cách giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng

Câu 26. Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị đạt cực tiểu tại điểm $A(-1; -2)$ và đạt cực đại tại điểm $B(1; 2)$. Giá trị của $f(2)$ bằng

Câu 27. Nhân dịp khai trương, một cửa hàng thời trang bán đồng giá các sản phẩm gồm áo sơ mi, quần âu và cà vạt. Biết rằng mỗi áo bán giá $x$ nghìn đồng, mỗi quần bán giá $y$ nghìn đồng và mỗi cà vạt bán giá $z$ nghìn đồng.
- Khách hàng thứ nhất mua $2$ áo, $1$ quần, $3$ cà vạt hết $1150$ nghìn đồng.
- Khách hàng thứ hai mua $1$ áo, $2$ quần, $1$ cà vạt hết $950$ nghìn đồng.
- Khách hàng thứ ba mua $3$ áo, $1$ quần, $2$ cà vạt hết $1200$ nghìn đồng.
Tổng số tiền khi mua một bộ gồm $1$ chiếc áo, $1$ chiếc quần và $1$ chiếc cà vạt là

Câu 28. Biết tổng $S = \log_3\left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right) + \log_3\left(1 - \dfrac{1}{3^2}\right) + \ldots + \log_3\left(1 - \dfrac{1}{2025^2}\right) = \log_3 \dfrac{a}{b}$ với $a, b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của $2a - b$ bằng

Câu 29. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\int_1^x f(t) e^t \, \mathrm{d}t\right] = f(x) + e^x$ với mọi $x$. Giá trị của $f(3)$ bằng

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + y + z - 6 = 0$ và điểm $A(1; 1; 1)$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua mặt phẳng $(P)$. Độ dài đoạn thẳng $OA'$ bằng

Câu 31. Cho hàm số $y = \dfrac{x - 2}{x + m}$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số xác định và thỏa mãn $y \ge -1$ với mọi $x \in [-3; 3]$.

Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt{2}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng

Câu 33. Một bể ban đầu chứa $100\text{ lít}$ nước tinh khiết. Cứ mỗi phút người ta bơm thêm vào bể $20\text{ lít}$ nước đồng thời hòa tan $10\text{ gam}$ chất khử trùng. Nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút là $f(t) = \dfrac{10t}{100 + 20t}\text{ (gam/lít)}$. Khi thời gian $t$ tăng lên vô hạn, nồng độ chất khử trùng trong bể không vượt quá ngưỡng nào?

Câu 34. Cho một cấp số cộng gồm các số tự nhiên có công sai $d = 3$ và tổng của $n$ số hạng đầu tiên bằng $180$. Biết số số hạng $n \ge 8$. Có bao nhiêu cấp số cộng thỏa mãn điều kiện đã cho?

Câu 35. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ song song với đường thẳng nào dưới đây?

PHẦN II. ĐIỀN ĐÁP ÁN NGẮN (Từ câu 36 đến câu 50)

Thí sinh điền kết quả tính toán vào phần trả lời tương ứng.

Câu 36. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{-1} = \dfrac{z}{1}$. Điểm $M(a; b; c)$ thuộc đường thẳng $d$ cách mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ một khoảng bằng $3$ và có cao độ dương. Tính giá trị của biểu thức $P = a + 2b + c$.
Đáp án: ....................

Câu hỏi chùm: Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 37 đến 39.
Một sân khấu biểu diễn đa năng có sàn và trần chuyển động nâng hạ tự động. Tại thời điểm $t$ giây ($t \ge 0$), độ cao của trần và sàn so với mặt đất lần lượt được xác định bởi:

$$h(t) = 9 - \sin\left(\dfrac{\pi t}{3}\right)\text{ (m)}, \quad f(t) = 2 + \cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right)\text{ (m)}$$

Gọi $d(t) = h(t) - f(t)$ là khoảng cách giữa trần và sàn tại thời điểm $t$.

Câu 37. Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, khoảng cách giữa trần và sàn bằng bao nhiêu mét?
Đáp án: ....................

Câu 38. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa trần và sàn của sân khấu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: ....................

Câu 39. Thời gian sớm nhất kể từ thời điểm ban đầu để khoảng cách giữa trần và sàn đạt đúng $7\text{ m}$ là bao nhiêu giây?
Đáp án: ....................

Câu 40. Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn $[0; 2]$ và thỏa mãn đẳng thức $[f(x)]^2 - f(x) \cdot f''(x) + [f'(x)]^2 = 0$. Biết $f(0) = 1$ và $f(2) = e^4$. Khi đó giá trị của $f(1)$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Đáp án: ....................

Câu 41. Một quả bóng đá tiêu chuẩn được khâu từ $32$ miếng da gồm các miếng da hình ngũ giác đều màu đen và các miếng da hình lục giác đều màu trắng. Mỗi miếng ngũ giác màu đen giáp với $5$ miếng lục giác màu trắng; mỗi miếng lục giác màu trắng giáp với $3$ miếng ngũ giác màu đen và $3$ miếng lục giác màu trắng khác. Hỏi quả bóng có bao nhiêu miếng da màu đen?
Đáp án: ....................

Câu 42. Có $4$ người cùng treo $4$ chiếc mũ giống hệt nhau về kiểu dáng nhưng thuộc $4$ chủ nhân khác nhau vào một giá đồ chung. Khi ra về, mỗi người lấy ngẫu nhiên một chiếc mũ. Tính xác suất để có ít nhất một người lấy đúng chiếc mũ của mình (kết quả viết dưới dạng số thập phân).
Đáp án: ....................

Câu 43. Một quả bóng cao su được thả rơi tự do từ độ cao ban đầu $4\text{ m}$ xuống mặt sàn cứng. Sau mỗi lần nảy lên, quả bóng đạt độ cao bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao của lần rơi ngay trước đó. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu lần chạm sàn thì độ cao quả bóng nảy lên nhỏ hơn $1\text{ m}$?
Đáp án: ....................

Câu 44. Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để bất phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2m \le 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in [2; 3]$.
Đáp án: ....................

Câu 45. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_4 + u_{27} = 100$. Tính tổng của $30$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó ($S_{30}$).
Đáp án: ....................

Câu 46. Từ các chữ số thuộc tập hợp $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn $3000$?
Đáp án: ....................

Câu 47. Cho một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 8\text{ cm}$ và $BC = 4\text{ cm}$. Người ta gấp tờ giấy lại sao cho đỉnh $D$ trùng với trung điểm $M$ của cạnh $AB$. Đường nếp gấp cắt cạnh $CD$ tại điểm $Q$. Độ dài đoạn thẳng $DQ$ bằng bao nhiêu xentimét?
Đáp án: ....................

Câu 48. Một hộp chứa $5$ quả cầu đỏ và $7$ quả cầu xanh có kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu mà không hoàn lại. Biết rằng quả cầu thứ hai lấy ra có màu đỏ. Xác suất để quả cầu thứ nhất lấy ra cũng có màu đỏ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: ....................

Câu 49. Tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để hai bất phương trình sau có cùng tập nghiệm:

$$(1) \quad x^2 - 7x + 10 < 0 \quad \text{và} \quad (2) \quad x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m - 2 < 0$$

Đáp án: ....................

Câu 50. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1): (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 1$ và $(S_2): (x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 9$. Điểm $M(x; y; z)$ nằm trên đường thẳng $\Delta: \dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 3}{1}$. Từ điểm $M$ kẻ các tiếp tuyến $MA, MB$ lần lượt đến hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ ($A, B$ là các tiếp điểm). Biết rằng độ dài hai tiếp tuyến bằng nhau ($MA = MB$). Tính giá trị của biểu thức $T = x + y + z$.
Đáp án: ....................

--------- HẾT ---------

BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN TỔNG HỢP

1. Phần I: Trắc nghiệm (Câu 1 đến Câu 35)

2. Phần II: Điền đáp án ngắn (Câu 36 đến Câu 50)

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
Theo giả thiết: $N(4) = 2000 \cdot e^{4k} = 3200 \Rightarrow e^{4k} = \dfrac{3200}{2000} = 1,6$.
Số lượng vi khuẩn sau $12$ giờ là:

$$N(12) = 2000 \cdot e^{12k} = 2000 \cdot \left(e^{4k}\right)^3 = 2000 \cdot (1,6)^3 = 2000 \cdot 4,096 = 8192\text{ con.}$$

Chọn A.

Câu 2.
Mặt phẳng song song với trục khối trụ và cách trục một khoảng $d = 2$.
Mặt cắt cắt hai đường tròn đáy theo các dây cung. Độ dài mỗi dây cung là:

$$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{3^2 - 2^2} = 2\sqrt{5}.$$

Thiết diện thu được là hình chữ nhật có kích thước $AB \times h = 2\sqrt{5} \times 8 = 16\sqrt{5}$.
Chọn A.

Câu 3.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2; -1)$ và bán kính $R = 5$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$ là:

$$d(I, d) = \dfrac{|3(2) - 4(-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|6 + 4 + 5|}{5} = 3.$$

Độ dài dây cung $AB$ là:

$$AB = 2\sqrt{R^2 - [d(I, d)]^2} = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \cdot 4 = 8.$$

Chọn A.

Câu 4.
Bất phương trình $f(x) \le 2x + m \Leftrightarrow m \ge x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = g(x)$ đúng với mọi $x \in [0; 3]$.
Điều này tương đương với $m \ge \max_{[0; 3]} g(x)$.
Xét hàm số $g(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 1$ trên $[0; 3]$:
$g'(x) = 3x^2 - 6x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3 \pm \sqrt{15}}{3}$.
Nghiệm thuộc khoảng $(0; 3)$ là $x_0 = \dfrac{3 + \sqrt{15}}{3} \approx 2,29$.
Ta có: $g(0) = 1$, $g(3) = 27 - 27 - 6 + 1 = -5$, $g(x_0) < 0$.
Suy ra $\max_{[0; 3]} g(x) = g(0) = 1$. Vậy $m \ge 1$.
Chọn A.

Câu 5.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.

$$f'(x) = \dfrac{(\cos x)'}{\cos x} = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.$$

Chọn A.

Câu 6.
Diện tích tam giác vuông cân $ABC$ là:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2.$$

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$$V = \dfrac{1}{3} SA \cdot S_{ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot 3a \cdot 2a^2 = 2a^3.$$

Chọn A.

Câu 7.
Đặt $t = 2^x > 0$. Phương trình trở thành:

$$t^2 - 2mt + 2m + 8 = 0 \quad (*)$$

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(*)$ có 2 nghiệm dương phân biệt:

$$\begin{cases} \Delta' = m^2 - 2m - 8 > 0 \\ S = 2m > 0 \\ P = 2m + 8 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} m &> 4 \\ m &< -2 \end{aligned}\right. \\ m > 0 \\ m > -4 \end{cases} \Leftrightarrow m > 4.$$

Vì $m \in [1; 10]$ và $m$ nguyên nên $m \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Có $6$ giá trị thỏa mãn.
Chọn A.

Câu 8.
Đặt $AB = b, AC = c \Rightarrow bc = 18$.
Cạnh huyền $BC = \sqrt{b^2 + c^2}$.
Chu vi tam giác là $P = b + c + \sqrt{b^2 + c^2}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $b + c \ge 2\sqrt{bc} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$.
$\sqrt{b^2 + c^2} \ge \sqrt{2bc} = \sqrt{36} = 6$.
Do đó $P \ge 6\sqrt{2} + 6$. Dấu "=" xảy ra khi $b = c = 3\sqrt{2}$.
Khi đó độ dài cạnh huyền là $BC = \sqrt{18 + 18} = 6$.
Chọn A.

Câu 9.
Phương trình hoành độ giao điểm:

$$x^3 - 3x^2 + 2 = m(x - 1) \Leftrightarrow (x - 1)(x^2 - 2x - 2) - m(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x^2 - 2x - m - 2) = 0.$$

Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi phương trình $g(x) = x^2 - 2x - m - 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $1$:

$$\begin{cases} \Delta' = 1 + m + 2 = m + 3 > 0 \\ g(1) = 1 - 2 - m - 2 = -m - 3 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > -3.$$

Một nghiệm là $x_1 = 1$, hai nghiệm $x_2, x_3$ thỏa định lý Vi-ét: $x_2 + x_3 = 2, x_2 x_3 = -m - 2$.

$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 + (x_2 + x_3)^2 - 2x_2 x_3 = 1 + 4 - 2(-m - 2) = 2m + 9.$$

Theo bài ra: $2m + 9 = 11 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn $m > -3$).
Chọn A.

Câu 10.
Ta có $f'(x) = -3x^2 - 3 = -3(x^2 + 1) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên đoạn $[-2; 1]$.

$$\min_{[-2; 1]} f(x) = f(1) = -1^3 - 3(1) + 4 = 0.$$

Chọn A.

Câu 11.
Cắt bỏ 4 góc các hình vuông cạnh $x\text{ (cm)}$ với $0 < x < 30$.
Hình hộp chữ nhật thu được có đáy hình vuông cạnh $60 - 2x$ và chiều cao $x$.
Thể tích khối hộp: $V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x(30 - x)^2$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương:

$$2 \cdot (2x) \cdot (30 - x)(30 - x) \le 2 \cdot \left(\dfrac{2x + 30 - x + 30 - x}{3}\right)^3 = 2 \cdot 20^3 = 16000.$$

Dấu "=" xảy ra khi $2x = 30 - x \Leftrightarrow 3x = 30 \Leftrightarrow x = 10\text{ cm}$.
Chọn A.

Câu 12.
Độ dài đường chéo chính của hình lục giác đều cạnh $a$ là $d = 2a$.
Suy ra cạnh của lục giác đều là $a = \dfrac{1,6}{2} = 0,8\text{ m}$.
Chu vi mặt bàn là $P = 6a = 6 \cdot 0,8 = 4,8\text{ m}$.
Chọn A.

Câu 13.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.
Hình chiếu vuông góc của $A'C$ lên $(ABC)$ là $AC$, do đó góc giữa $A'C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A'CA} = 45^\circ$.
Chiều cao lăng trụ: $AA' = AC \cdot \tan 45^\circ = 2a \cdot 1 = 2a$.
Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} a \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích lăng trụ: $V = AA' \cdot S_{ABC} = 2a \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} = a^3\sqrt{3}$.
Chọn A.

Câu 14.
Tần số lớn nhất trong mẫu số liệu là $16$, ứng với nhóm $[60; 120)$.
Do đó nhóm chứa mốt là nhóm $[60; 120)$.
Giá trị đại diện của nhóm này là $\dfrac{60 + 120}{2} = 90$ phút.
Chọn A.

Câu 15.
Phương trình hoành độ giao điểm:

$$\dfrac{2x + 1}{x - 1} = x + m \Leftrightarrow x^2 + (m - 3)x - m - 1 = 0 \quad (x \ne 1).$$

$\Delta = (m - 3)^2 - 4(-m - 1) = (m - 1)^2 + 12 > 0$ với mọi $m$.
Gọi hai giao điểm là $A(x_1; x_1 + m), B(x_2; x_2 + m)$.

$$AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 2(x_2 - x_1)^2 = 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2] = 2\Delta = 2[(m - 1)^2 + 12].$$

$AB$ ngắn nhất khi $(m - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.
Chọn A.

Câu 16.
Cỡ mẫu $N = 40$. Ta có $\dfrac{N}{2} = 20$.
Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là: $cf_1 = 4$, $cf_2 = 10$, $cf_3 = 30$.
Do $cf_2 = 10 < 20 \le 30 = cf_3$ nên nhóm chứa trung vị là nhóm $[70; 80)$.
Công thức tính trung vị của mẫu ghép nhóm:

$$M_e = 70 + \dfrac{20 - 10}{20} \cdot (80 - 70) = 70 + 5 = 75.$$

Chọn A.

Câu 17.
Số lượng các số từ $1$ đến $300$ chia hết cho $3$ là: $\lfloor 300 / 3 \rfloor = 100$ số.
Các số chia hết cho cả $3$ và $5$ chính là các số chia hết cho $15$.
Số lượng các số từ $1$ đến $300$ chia hết cho $15$ là: $\lfloor 300 / 15 \rfloor = 20$ số.
Số các số chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $5$ là: $100 - 20 = 80$ số.
Chọn A.

Câu 18.
Vì mặt phẳng $(MNP) \parallel BC$ nên $NP \parallel BC \Rightarrow \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{2}{3}$.
Tỉ số thể tích:

$$\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SM}{SA} \cdot \dfrac{SN}{SB} \cdot \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}.$$

Suy ra $V_{S.MNP} = \dfrac{2}{9} \cdot 24 = \dfrac{16}{3}$.
Thể tích khối đa diện còn lại là: