Đề tham khảo đánh giá năng lực SPT môn Toán năm 2027 — Mã đề 027

A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 16. Mỗi câu chỉ chọn một phương án. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Hàm số $y=4+3\sin x\cos x$ nhận được tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Câu 3. Phương trình $\log_3(x-1)+\log_3(x+1)=1$ có nghiệm là

Câu 4. Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $u_2=6$ và $u_5=162$. Tổng bốn số hạng đầu của cấp số nhân bằng

Câu 5. Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ và thỏa mãn

$$\int_{-1}^{2}f(x)\,dx=5,\qquad \int_{2}^{4}f(x)\,dx=-3.$$

Giá trị của $\displaystyle\int_{-1}^{4}[2f(x)-1]\,dx$ bằng

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-1;3)$ và mặt phẳng $(P):2x+y-2z+4=0$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

Câu 7. Thời gian hoàn thành một nhiệm vụ của $40$ học sinh được thống kê như sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-2x$ và đường thẳng $y=x+4$ bằng

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$ và cạnh bên bằng $3a$, với $a>0$. Thể tích khối chóp bằng

[Hình vẽ]

Câu 10. Giá trị của giới hạn $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{9x^2+4}-2x}{x+1}$ bằng

Câu 11. Trong khai triển $(x+2)^5$, hệ số của $x^2$ bằng

Câu 12. Cho hai biến cố độc lập $A$, $B$ với $P(A)=0,4$ và $P(B)=0,25$. Xác suất để có đúng một trong hai biến cố xảy ra bằng

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, bán kính của mặt cầu

$$x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$$

bằng

Câu 14. Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f'(x)$ được cho trong hình sau:

[Đồ thị]

Hàm số $f$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 15. Một vật chuyển động thẳng có vận tốc ban đầu bằng $4$ m/s và gia tốc $a(t)=6t+2$ m/s², trong đó $t$ tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu quan sát. Quãng đường vật đi được trong $2$ giây đầu bằng

Câu 16. Một sản phẩm phải vượt qua hai công đoạn kiểm tra mới được xuất xưởng. Xác suất vượt qua công đoạn thứ nhất bằng $0,9$; trong số các sản phẩm vượt qua công đoạn thứ nhất, có $96\%$ vượt qua công đoạn thứ hai. Xác suất để một sản phẩm được xuất xưởng bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời Câu 1 và Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai. Mỗi câu được tối đa 1,0 điểm.

Câu 1. Một bể chứa được bơm nước liên tục trong $6$ giờ. Tại thời điểm $t$ giờ kể từ khi bắt đầu bơm, lưu lượng nước vào bể là

$$q(t)=\dfrac{12t}{t^2+4},\qquad 0\le t\le6,$$

đơn vị là m³/giờ. Không có nước chảy ra khỏi bể trong thời gian này.

a) $q'(t)=\dfrac{12(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$.
b) Lưu lượng nước vào bể lớn nhất bằng $4$ m³/giờ.
c) Thể tích nước được bơm vào bể trong $2$ giờ đầu bằng $6\ln2$ m³.
d) Tổng thời gian mà lưu lượng nước vào bể không nhỏ hơn $2$ m³/giờ lớn hơn $4,5$ giờ.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu

$$(S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=25$$

và hai điểm $A(1;-2;15)$, $B(4;2;2)$.

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;2)$ và bán kính bằng $5$.
b) Mặt phẳng $z=5$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $3$.
c) Mặt phẳng tiếp xúc với $(S)$ tại $B$ có phương trình $3x+4y-20=0$.
d) Tập hợp các tiếp điểm $M$ của những tiếp tuyến kẻ từ $A$ đến $(S)$ là một đường tròn có bán kính bằng $\dfrac{25}{13}$.

B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (1,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Mỗi câu chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1. Chọn ngẫu nhiên đồng thời ba thẻ từ mười thẻ ghi các số nguyên từ $1$ đến $10$, mỗi thẻ ghi một số khác nhau. Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số chẵn và tích của chúng chia hết cho $5$. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;0)$, $B(0;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x+2y+2z=6$. Điểm $M$ thay đổi trên $(P)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2+2MB^2$.

Câu 3. Một cơ sở sản xuất cần thiết kế thùng hình trụ không có nắp, có thể tích bằng $54\pi$ dm³. Chi phí vật liệu cho mỗi đơn vị diện tích đáy thùng gấp đôi chi phí cho mỗi đơn vị diện tích mặt xung quanh. Bỏ qua hao hụt vật liệu và chi phí ghép nối. Để tổng chi phí vật liệu nhỏ nhất, chiều cao của thùng phải bằng bao nhiêu decimet?

Câu 4. Đầu năm thứ nhất, một người gửi $80$ triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm có lãi suất $5\%$/năm. Cuối mỗi năm, ngay sau khi ngân hàng nhập lãi, người đó gửi thêm $10$ triệu đồng. Lãi suất không đổi và không có khoản rút tiền nào. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, số tiền trong tài khoản ngay sau lần gửi thêm cuối năm vượt quá $150$ triệu đồng?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ Câu 5 đến Câu 7. Mỗi câu được 1,0 điểm.

Câu 5 (1,0 điểm). Hộp thứ nhất chứa $4$ linh kiện tốt và $2$ linh kiện lỗi; hộp thứ hai chứa $3$ linh kiện tốt và $3$ linh kiện lỗi. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó chọn ngẫu nhiên đồng thời hai linh kiện từ hộp thứ hai. Biết rằng hai linh kiện được chọn sau cùng đều tốt, tính xác suất để linh kiện đã chuyển là linh kiện tốt.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$, $AD=a$, $SA=2a$ và $SA\perp(ABCD)$, với $a>0$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CM$ theo $a$.

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hàm số

$$f_m(x)=\dfrac{x^2-2mx+4}{x+1},\qquad x\in[0;3],$$

trong đó $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để

$$\min_{x\in[0;3]}f_m(x)+\max_{x\in[0;3]}f_m(x)=5.$$

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Môn Toán — Đề tham khảo SPT năm 2027
Mã đề: 027

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Điểm toàn bài là tổng điểm của bốn phần, tối đa $10,0$ điểm.

Phần I: mỗi câu trả lời đúng được $0,25$ điểm.

Phần II: trong mỗi câu, đúng $1$ ý được $0,1$ điểm; đúng $2$ ý được $0,25$ điểm; đúng $3$ ý được $0,5$ điểm; đúng cả $4$ ý được $1,0$ điểm.

Phần III: mỗi câu trả lời đúng được $0,25$ điểm.

Phần IV: chấm theo các bước dưới đây. Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng/sai

Phần III. Trả lời ngắn

Phần IV. Tự luận

Hình vẽ sai hoặc không có hình thì không chấm phần bài làm tương ứng.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Môn Toán — Mã đề 027

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1

Đáp án A.

Sử dụng $\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$, ta được

$$y=4+\dfrac32\sin2x.$$

Vì $\sin2x$ nhận mọi giá trị trong đoạn $[-1;1]$ nên tập giá trị của hàm số là

$$\left[\dfrac52;\dfrac{11}{2}\right].$$

Các giá trị nguyên thuộc đoạn này là $3$, $4$, $5$. Có tất cả $3$ giá trị.

Câu 2

Đáp án C.

Tại $x=1$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu.

Theo bảng biến thiên, $f(1)=-3$. Vì vậy giá trị cực tiểu là $-3$.

Phân biệt: điểm cực tiểu là $x=1$, còn giá trị cực tiểu là $f(1)=-3$.

Câu 3

Đáp án B.

Điều kiện xác định là $x>1$.

Trong điều kiện đó:

$$\begin{aligned} \log_3(x-1)+\log_3(x+1)=1 &\iff \log_3(x^2-1)=1\\ &\iff x^2-1=3\\ &\iff x=\pm2. \end{aligned}$$

Chỉ có $x=2$ thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.

Câu 4

Đáp án D.

Gọi $q$ là công bội. Vì $u_5=u_2q^3$ nên

$$q^3=\dfrac{162}{6}=27\Rightarrow q=3.$$

Suy ra $u_1=\dfrac{u_2}{q}=2$.

Bốn số hạng đầu là $2$, $6$, $18$, $54$, có tổng

$$S_4=2+6+18+54=80.$$

Câu 5

Đáp án C.

Tính chất cộng đoạn của tích phân cho

$$\int_{-1}^{4}f(x)\,dx =\int_{-1}^{2}f(x)\,dx+\int_{2}^{4}f(x)\,dx =5-3=2.$$

Do đó

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{4}[2f(x)-1]\,dx &=2\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-\int_{-1}^{4}1\,dx\\ &=2\cdot2-[4-(-1)]\\ &=-1. \end{aligned}$$

Câu 6

Đáp án B.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;1;-2)$.

Đường thẳng vuông góc với $(P)$ nhận $\vec n$ làm vectơ chỉ phương. Kết hợp điều kiện đi qua $A(2;-1;3)$, ta được

$$\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{-2}.$$

Câu 7

Đáp án A.

Cỡ mẫu là $n=40$. Các tần số tích lũy lần lượt là $4$, $12$, $24$, $34$, $40$.

Vì $12<\dfrac n2=20<24$ nên nhóm chứa trung vị là $[20;25)$.

Áp dụng công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

$$M_e=20+\dfrac{20-12}{12}\cdot5 =20+\dfrac{10}{3} =\dfrac{70}{3}.$$

Vậy trung vị bằng $\dfrac{70}{3}$ phút.

Câu 8

Đáp án D.

Hoành độ giao điểm thỏa mãn

$$x^2-2x=x+4 \iff x^2-3x-4=0 \iff x=-1\ \text{hoặc}\ x=4.$$

Trên đoạn $[-1;4]$, ta có

$$(x+4)-(x^2-2x)=-(x+1)(x-4)\ge0.$$

Vì vậy đường thẳng nằm phía trên parabol trên đoạn này. Diện tích cần tìm là

$$\begin{aligned} S&=\int_{-1}^{4}(-x^2+3x+4)\,dx\\ &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+4x\right]_{-1}^{4}\\ &=\dfrac{125}{6}. \end{aligned}$$

Câu 9

Đáp án A.

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì hình chóp đều nên $SO\perp(ABCD)$.

Đường chéo đáy bằng $2a\sqrt2$, do đó

$$OA=a\sqrt2.$$

Trong tam giác vuông $SOA$:

$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2} =\sqrt{9a^2-2a^2} =a\sqrt7.$$

Thể tích khối chóp là

$$V=\dfrac13S_{ABCD}\cdot SO =\dfrac13(2a)^2\cdot a\sqrt7 =\dfrac{4\sqrt7}{3}a^3.$$

Câu 10

Đáp án C.

Với $x>0$, chia cả tử và mẫu cho $x$:

$$\dfrac{\sqrt{9x^2+4}-2x}{x+1} =\dfrac{\sqrt{9+\dfrac4{x^2}}-2}{1+\dfrac1x}.$$

Suy ra

$$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{9x^2+4}-2x}{x+1} =\dfrac{3-2}{1}=1.$$

Câu 11

Đáp án D.

Theo nhị thức Newton:

$$(x+2)^5=\sum_{k=0}^{5}C_5^k x^{5-k}2^k.$$

Số hạng chứa $x^2$ ứng với $5-k=2$, tức $k=3$.

Hệ số cần tìm là

$$C_5^3\cdot2^3=10\cdot8=80.$$

Câu 12

Đáp án B.

Biến cố có đúng một trong hai biến cố xảy ra là

$$(A\cap\overline B)\cup(\overline A\cap B).$$

Hai biến cố trong hợp này xung khắc. Do $A$, $B$ độc lập:

$$\begin{aligned} P&=P(A)P(\overline B)+P(\overline A)P(B)\\ &=0,4\cdot0,75+0,6\cdot0,25\\ &=0,45. \end{aligned}$$

Câu 13

Đáp án C.

Hoàn thành bình phương:

$$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0 &\iff (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9. \end{aligned}$$

Vậy mặt cầu có bán kính $R=\sqrt9=3$.

Câu 14

Đáp án A.

Từ đồ thị, $f'(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;3)$.

Do đó $f$ đồng biến trên hai khoảng này. Trong các phương án đã cho, chỉ có $(1;3)$ phù hợp.

Câu 15

Đáp án D.

Vì $v'(t)=a(t)=6t+2$ nên

$$v(t)=3t^2+2t+C.$$

Điều kiện $v(0)=4$ cho $C=4$, suy ra

$$v(t)=3t^2+2t+4.$$

Trên đoạn $[0;2]$, vận tốc luôn dương. Vì vậy quãng đường là

$$\begin{aligned} s&=\int_0^2(3t^2+2t+4)\,dt\\ &=\left[t^3+t^2+4t\right]_0^2\\ &=8+4+8=20. \end{aligned}$$

Vật đi được $20$ m.

Câu 16

Đáp án B.

Gọi $A$ là biến cố sản phẩm vượt qua công đoạn thứ nhất, $B$ là biến cố vượt qua công đoạn thứ hai.

Theo giả thiết:

$$P(A)=0,9,\qquad P(B\mid A)=0,96.$$

Sản phẩm được xuất xưởng khi cả hai biến cố cùng xảy ra. Theo công thức nhân:

$$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=0,9\cdot0,96=0,864.$$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Đúng.

Theo quy tắc đạo hàm của thương:

$$q'(t)=\dfrac{12(t^2+4)-12t\cdot2t}{(t^2+4)^2} =\dfrac{12(4-t^2)}{(t^2+4)^2}.$$

b) Sai.

Trên $[0;6]$, dấu của $q'(t)$ là dấu của $4-t^2$.

Do đó $q$ tăng trên $[0;2]$ và giảm trên $[2;6]$. Giá trị lớn nhất là

$$q(2)=\dfrac{24}{8}=3.$$

Lưu lượng lớn nhất bằng $3$ m³/giờ, không phải $4$ m³/giờ.

c) Đúng.

Thể tích nước được bơm vào bể trong $2$ giờ đầu:

$$\begin{aligned} V&=\int_0^2\dfrac{12t}{t^2+4}\,dt\\ &=\left[6\ln(t^2+4)\right]_0^2\\ &=6\ln8-6\ln4\\ &=6\ln2. \end{aligned}$$

Vậy thể tích bằng $6\ln2$ m³.

d) Sai.

Vì $t^2+4>0$:

$$\begin{aligned} q(t)\ge2 &\iff 12t\ge2(t^2+4)\\ &\iff t^2-6t+4\le0\\ &\iff 3-\sqrt5\le t\le3+\sqrt5. \end{aligned}$$

Hai đầu mút đều thuộc $[0;6]$. Tổng thời gian cần tìm là

$$\Delta t=(3+\sqrt5)-(3-\sqrt5)=2\sqrt5\approx4,472.$$

Thời gian này nhỏ hơn $4,5$ giờ.

Câu 2

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Đúng.

Từ phương trình chính tắc của mặt cầu, ta có

$$I(1;-2;2),\qquad R=5.$$

b) Sai.

Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $z=5$ là

$$d=|2-5|=3.$$

Bán kính đường tròn giao tuyến là

$$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4.$$

Vì vậy bán kính không bằng $3$.

c) Đúng.

Ta có

$$IB=\sqrt{(4-1)^2+(2+2)^2+(2-2)^2}=5,$$

nên $B$ thuộc mặt cầu.

Mặt phẳng tiếp xúc tại $B$ nhận $\overrightarrow{IB}=(3;4;0)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình là

$$3(x-4)+4(y-2)=0 \iff 3x+4y-20=0.$$

d) Sai.

Ta có $IA=13>5$, nên từ $A$ có thể kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu.

Gọi $M(x;y;z)$ là một tiếp điểm. Khi đó $IM\perp AM$, do đó

$$\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AM}=0.$$

Vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IA}$ nên

$$IM^2-\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{IA}=0.$$

Mà $IM^2=25$, $\overrightarrow{IA}=(0;0;13)$, suy ra

$$13(z-2)=25 \iff z=\dfrac{51}{13}.$$

Ngược lại, một điểm $M$ thuộc mặt cầu và thỏa mãn phương trình trên sẽ có $IM\perp AM$, nên $AM$ là tiếp tuyến.

Vậy tập hợp tiếp điểm là đường tròn giao của mặt cầu với mặt phẳng $z=\dfrac{51}{13}$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng này bằng $\dfrac{25}{13}$.

Bán kính đường tròn tiếp điểm là

$$r=\sqrt{25-\left(\dfrac{25}{13}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{3600}{169}} =\dfrac{60}{13}.$$

Mệnh đề đã nhầm khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng tiếp điểm với bán kính đường tròn tiếp điểm.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1

Đáp án: $0,27$.

Không gian mẫu có

$$|\Omega|=C_{10}^3=120$$

cách chọn.

Gọi $E$ là biến cố tổng ba số được chọn là số chẵn. Trong mười số có $5$ số chẵn và $5$ số lẻ.

Tổng ba số là chẵn khi chọn ba số chẵn hoặc chọn hai số lẻ và một số chẵn. Do đó

$$|E|=C_5^3+C_5^2C_5^1=10+50=60.$$

Tích ba số chia hết cho $5$ khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số $5$, $10$.

Nếu không chọn cả $5$ lẫn $10$, ta chọn trong tám số còn lại, gồm $4$ số chẵn và $4$ số lẻ. Trong số đó, số cách có tổng chẵn là

$$C_4^3+C_4^2C_4^1=4+24=28.$$

Vậy số cách thỏa mãn đồng thời hai điều kiện là

$$60-28=32.$$

Xác suất cần tìm:

$$P=\dfrac{32}{120}=\dfrac4{15}\approx0,27.$$

Câu 2

Đáp án: $5$.

Xét điểm $G$ có tọa độ

$$G=\dfrac{A+2B}{3} =\left(\dfrac13;\dfrac23;\dfrac23\right).$$

Ta có đẳng thức

$$MA^2+2MB^2=3MG^2+\dfrac23AB^2.$$

Thật vậy, đẳng thức này thu được bằng cách khai triển bình phương độ dài các vectơ và sử dụng

$$\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0.$$

Vì

$$AB^2=(-1)^2+1^2+1^2=3,$$

nên

$$MA^2+2MB^2=3MG^2+2.$$

Với $M$ thuộc $(P)$, độ dài $MG$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $(P)$.

Khoảng cách từ $G$ đến $(P)$:

$$d(G,(P)) =\dfrac{\left|\dfrac13+2\cdot\dfrac23+2\cdot\dfrac23-6\right|}{\sqrt{1+4+4}} =\dfrac3{3}=1.$$

Suy ra

$$\min(MA^2+2MB^2)=3\cdot1^2+2=5.$$

Dấu bằng đạt tại $M\left(\dfrac23;\dfrac43;\dfrac43\right)$.

Câu 3

Đáp án: $6$ dm.

Gọi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt là $r$, $h$, tính bằng decimet. Điều kiện thể tích:

$$\pi r^2h=54\pi \Rightarrow h=\dfrac{54}{r^2},\qquad r>0.$$

Gọi chi phí vật liệu trên một đơn vị diện tích mặt xung quanh là $c>0$. Chi phí trên một đơn vị diện tích đáy là $2c$.

Vì thùng không có nắp, tổng chi phí là

$$\begin{aligned} T&=2c\pi r^2+c\cdot2\pi rh\\ &=c\pi\left(2r^2+\dfrac{108}{r}\right). \end{aligned}$$

Do $c\pi>0$, cần tìm giá trị nhỏ nhất của

$$F(r)=2r^2+\dfrac{108}{r},\qquad r>0.$$

Ta có

$$F'(r)=4r-\dfrac{108}{r^2} =\dfrac{4(r^3-27)}{r^2}.$$

Suy ra $F$ giảm trên $(0;3)$ và tăng trên $(3;+\infty)$. Chi phí nhỏ nhất khi $r=3$.

Khi đó

$$h=\dfrac{54}{3^2}=6.$$

Vậy chiều cao cần thiết là $6$ dm.

Câu 4

Đáp án: $5$ năm.

Gọi $S_n$ là số tiền trong tài khoản, tính bằng triệu đồng, ngay sau lần gửi thêm cuối năm thứ $n$. Khi đó

$$S_0=80,\qquad S_n=1,05S_{n-1}+10.$$

Sau $n$ năm:

$$\begin{aligned} S_n &=80\cdot1,05^n+10(1+1,05+\cdots+1,05^{n-1})\\ &=80\cdot1,05^n+10\dfrac{1,05^n-1}{0,05}\\ &=280\cdot1,05^n-200. \end{aligned}$$

Điều kiện cần là

$$\begin{aligned} S_n>150 &\iff 280\cdot1,05^n>350\\ &\iff 1,05^n>1,25\\ &\iff n>\dfrac{\ln1,25}{\ln1,05}\approx4,574. \end{aligned}$$

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $n=5$.

Kiểm tra:

$$S_4\approx140,34<150,\qquad S_5\approx157,36>150.$$

Vậy cần ít nhất $5$ năm.

PHẦN IV. TỰ LUẬN

Câu 5

Kết quả: $\dfrac45$.

Gọi $G$ là biến cố “Linh kiện chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là linh kiện tốt”.

Gọi $H$ là biến cố “Hai linh kiện lấy ra từ hộp thứ hai đều tốt”.

Ta có

$$P(G)=\dfrac46=\dfrac23,\qquad P(\overline G)=\dfrac26=\dfrac13.$$

Nếu $G$ xảy ra, hộp thứ hai có $4$ linh kiện tốt và $3$ linh kiện lỗi. Vì chọn đồng thời hai linh kiện:

$$P(H\mid G)=\dfrac{C_4^2}{C_7^2}=\dfrac6{21}=\dfrac27.$$

Nếu $\overline G$ xảy ra, hộp thứ hai có $3$ linh kiện tốt và $4$ linh kiện lỗi. Do đó

$$P(H\mid\overline G)=\dfrac{C_3^2}{C_7^2}=\dfrac3{21}=\dfrac17.$$

Theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(H)=P(G)P(H\mid G)+P(\overline G)P(H\mid\overline G) =\dfrac23\cdot\dfrac27+\dfrac13\cdot\dfrac17 =\dfrac5{21}.$$

Áp dụng công thức Bayes:

$$P(G\mid H) =\dfrac{P(G)P(H\mid G)}{P(H)} =\dfrac{\dfrac23\cdot\dfrac27}{\dfrac5{21}} =\dfrac45.$$

Vậy xác suất cần tìm bằng $\dfrac45$.

Câu 6

Kết quả: $\dfrac{2\sqrt2}{3}a$.

[Hình vẽ]

Lấy điểm $E$ trên tia $DA$, ngoài đoạn $DA$, sao cho

$$AE=AM=\dfrac a2.$$

[Hình vẽ]

Bước 1. Đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc tại $A$, các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt cùng hướng với $AB$, $AD$, $AS$.

Do $AB$, $AD$, $AS$ đôi một vuông góc, ta có

$$\begin{gathered} A(0;0;0),\quad B(2a;0;0),\quad D(0;a;0),\\ C(2a;a;0),\quad S(0;0;2a),\\ M\left(0;\dfrac a2;0\right),\quad E\left(0;-\dfrac a2;0\right). \end{gathered}$$