Đề ôn thi ĐGNL (HSA) môn Toán - Chuyên đề Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

PHẦN 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BỐN LỰA CHỌN

Thí sinh chọn một phương án đúng duy nhất trong mỗi câu hỏi.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{x - m + 2}{x + 1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 4. Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 3mx + 1$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thoả mãn $x_1^2 + x_2^2 = 6$?

Câu 5. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)(x + 2)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $g(x) = f(1 - 2x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

PHẦN 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐIỀN ĐÁP SỐ

Thí sinh giải bài toán và điền đáp số vào ô trống tương ứng.

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (2m + 3)x - 5$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$?

Câu 7. Cho hàm số $y = -x^3 + 3x + 1$ có hai điểm cực trị là $A$ và $B$. Tính diện tích tam giác $OAB$ với $O$ là gốc tọa độ.

Câu 8. Một người thợ gò một chiếc thùng tôn không nắp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, thể tích bằng $500\text{ dm}^3$. Để tiết kiệm tôn nhất (diện tích tôn toàn phần là nhỏ nhất, bỏ qua diện tích mép hàn), độ dài cạnh đáy của thùng tôn phải bằng bao nhiêu đêximét?

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{x + 2m}{x - m + 3}$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$?

Câu 10. Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 5)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hỏi hàm số $g(x) = f(x^2 - 4x)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

BẢNG ĐÁP ÁN TỔNG HỢP

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $y' > 0$ trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.
Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.
Chọn C.

Câu 2.
Ta có $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$.
Phương trình $f'(x) = 0 \iff \left[\begin{aligned}& x = 0 \\& x = 1 \\& x = -2\end{aligned}\right.$
- Nghiệm $x = 0$ là nghiệm bội 1 (nghiệm bội lẻ) nên $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = 0$.
- Nghiệm $x = 1$ là nghiệm bội 2 (nghiệm bội chẵn) nên $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = 1$.
- Nghiệm $x = -2$ là nghiệm bội 3 (nghiệm bội lẻ) nên $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = -2$.
Vậy hàm số có đúng 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = -2$.
Chọn B.

Câu 3.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
Đạo hàm: $y' = \dfrac{1 \cdot 1 - (-m + 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{m - 1}{(x + 1)^2}$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:
$y' > 0, \forall x \ne -1 \iff m - 1 > 0 \iff m > 1$.
Chọn B.

Câu 4.
Ta có: $y' = 3x^2 - 6x + 3m$.
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt:
$\Delta' = (-3)^2 - 3 \cdot 3m = 9 - 9m > 0 \iff m < 1$.
Theo định lí Vi-ét, ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 x_2 = m \end{cases}$.
Theo đề bài:
$x_1^2 + x_2^2 = 6 \iff (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 6 \iff 2^2 - 2m = 6 \iff 2m = -2 \iff m = -1$.
Giá trị $m = -1$ thỏa mãn điều kiện $m < 1$.
Vậy có đúng 1 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Chọn B.

Câu 5.
Ta có: $g'(x) = (1 - 2x)' \cdot f'(1 - 2x) = -2 f'(1 - 2x)$.
Theo giả thiết $f'(t) = (t - 1)(t + 2)$, suy ra:
$g'(x) = -2 (1 - 2x - 1)(1 - 2x + 2) = -2(-2x)(3 - 2x) = 4x(3 - 2x)$.
Hàm số nghịch biến khi $g'(x) < 0 \iff 4x(3 - 2x) < 0 \iff \left[\begin{aligned}& x < 0 \\& x > \dfrac{3}{2}\end{aligned}\right.$
Xét các phương án, khoảng $(2; 4) \subset \left(\dfrac{3}{2}; +\infty\right)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; 4)$.
Chọn B.

Câu 6.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y' = x^2 - 2mx + 2m + 3$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$ khi và chỉ khi $y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$:
$\iff \Delta' \le 0 \iff (-m)^2 - (2m + 3) \le 0 \iff m^2 - 2m - 3 \le 0 \iff -1 \le m \le 3$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-1; 0; 1; 2; 3\}$.
Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số $m$.
Điền số: 5

Câu 7.
Ta có $y' = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = 0 \iff \left[\begin{aligned}& x = 1 \implies y = 3 \implies A(1; 3) \\& x = -1 \implies y = -1 \implies B(-1; -1)\end{aligned}\right.$
Diện tích tam giác $OAB$ được tính theo công thức tọa độ:
$S_{OAB} = \dfrac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \dfrac{1}{2} |1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3| = \dfrac{1}{2} |-1 + 3| = 1$.
Điền số: 1

Câu 8.
Gọi cạnh đáy hình vuông là $x$ ($x > 0$, đơn vị dm), chiều cao thùng là $h$ ($h > 0$, đơn vị dm).
Thể tích thùng: $V = x^2 h = 500 \implies h = \dfrac{500}{x^2}$.
Diện tích tôn cần dùng (bằng diện tích toàn phần không nắp):
$S(x) = S_{\text{đáy}} + S_{\text{xq}} = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{500}{x^2} = x^2 + \dfrac{2000}{x}$.
Xét hàm số $S(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$:
$S'(x) = 2x - \dfrac{2000}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 2000}{x^2}$.
$S'(x) = 0 \iff 2x^3 = 2000 \iff x^3 = 1000 \iff x = 10$.
Bảng biến thiên cho thấy $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 10\text{ dm}$.
Điền số: 10

Câu 9.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{m - 3\}$.
Đạo hàm: $y' = \dfrac{1 \cdot (-m + 3) - 1 \cdot 2m}{(x - m + 3)^2} = \dfrac{3 - 3m}{(x - m + 3)^2}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$, cần thoả mãn hai điều kiện:
1) $y' > 0, \forall x \in (1; +\infty) \iff 3 - 3m > 0 \iff m < 1$.
2) Điểm gián đoạn không thuộc khoảng $(1; +\infty) \iff m - 3 \le 1 \iff m \le 4$.
Kết hợp hai điều kiện: $m < 1$.
Do $m \in [-10; 10]$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-10; -9; -8; \dots; 0\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là: $0 - (-10) + 1 = 11$.
Điền số: 11

Câu 10.
Ta có đạo hàm của $g(x)$:
$g'(x) = (x^2 - 4x)' \cdot f'(x^2 - 4x) = (2x - 4) f'(x^2 - 4x)$.
Phương trình $g'(x) = 0 \iff \left[\begin{aligned}& 2x - 4 = 0 \\& f'(x^2 - 4x) = 0\end{aligned}\right.$
- Phương trình $2x - 4 = 0 \iff x = 2$ (nghiệm đơn).
- Phương trình $f'(x^2 - 4x) = 0 \iff \left[\begin{aligned}& x^2 - 4x = -1 \\& x^2 - 4x = 2 \\& x^2 - 4x = 5\end{aligned}\right. \iff \left[\begin{aligned}& x^2 - 4x + 1 = 0 \quad (1) \\& x^2 - 4x - 2 = 0 \quad (2) \\& x^2 - 4x - 5 = 0 \quad (3)\end{aligned}\right.$
Xét từng phương trình:
+ Phương trình (1) có $\Delta' = 3 > 0 \implies$ 2 nghiệm phân biệt khác 2.
+ Phương trình (2) có $\Delta' = 6 > 0 \implies$ 2 nghiệm phân biệt khác 2.
+ Phương trình (3) có $\Delta' = 9 > 0 \implies$ 2 nghiệm phân biệt $x = -1, x = 5$ khác 2.
Các tập nghiệm của (1), (2), (3) đôi một không giao nhau và không chứa $x = 2$.
Như vậy, phương trình $g'(x) = 0$ có tất cả $1 + 2 + 2 + 2 = 7$ nghiệm đơn phân biệt.
Do đó, hàm số $g(x)$ có đúng 7 điểm cực trị.
Điền số: 7