Đề ôn tập tốt nghiệp THPT môn Toán 12 – Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Hàm số $y = -x^3 + 3x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ là điểm nào dưới đây?

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số $y = f(x)$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc bốn $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \ne 0$) có hệ số $a > 0$ và $b < 0$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 2$. Điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 11 (0,25 điểm). Hàm số $y = \sqrt{x^2 - 2x}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 12 (0,25 điểm). Một công ty sản xuất một loại sản phẩm nhận thấy hàm doanh thu $R(x)$ (đơn vị: triệu đồng) phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ bán ra ($x \ge 0$) theo công thức $R(x) = -x^3 + 30x^2 + 900x$. Doanh thu tăng khi số lượng sản phẩm $x$ nằm trong khoảng nào?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = x^3 - 3x^2 + 1$.
a) Đạo hàm của hàm số là $y' = 3x^2 - 6x$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-3$.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $2\sqrt{5}$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số có biểu thức $y' = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$.
c) Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.
d) Tích các giá trị cực trị của hàm số bằng $-3$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
b) Hàm số có đúng $2$ điểm cực trị.
c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 2$.
d) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = -x^3 + 3x^2 - 1$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
b) Đạo hàm của hàm số có biểu thức $y' = -3x^2 + 6x$.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm $M(0; -1)$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3(x - 3)^4$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số bậc bốn $y = \dfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$ có đồ thị $(C)$. Gọi $S$ là diện tích của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị $(C)$. Tính diện tích $S$.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 4}{x - 1}$. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$. Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A$ và $B$. Tính tổng tung độ $y_A + y_B$ của hai điểm cực trị đó.

Câu 5 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A, B$ lần lượt là hai điểm cực trị của $(C)$. Tính hệ số góc $k$ của đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.

Câu 6 (0,5 điểm). Giả sử số lượng vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy sau $t$ giờ kể từ lúc bắt đầu được mô hình hoá bởi hàm số $N(t) = -t^3 + 12t^2 + 1000$ với $t \ge 0$. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu thì số lượng vi khuẩn bắt đầu có xu hướng giảm?

--------- HẾT ---------

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Phần I gồm 12 câu, mỗi câu chọn đúng được 0,25 điểm. Tổng 3,0 điểm.
- Phần II gồm 4 câu, mỗi câu tối đa 1,0 điểm. Điểm từng câu tính theo quy tắc luỹ tiến:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.
- Phần III gồm 6 câu, mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Tổng 3,0 điểm.

B. BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)