Đề ôn tập Toán 12 – Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

[Đồ thị]

Giá trị cực đại của hàm số bằng bao nhiêu?

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+2)(x-1)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị của $y=f'(x)$ như hình vẽ.

[Đồ thị]

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^2-4x+1$ trên đoạn $[0;3]$ bằng

Câu 6. Hàm số $f(x)=x^3-3x$ trên đoạn $[-2;2]$ có giá trị lớn nhất là $M$ và giá trị nhỏ nhất là $m$. Giá trị của $M+m$ bằng

Câu 7. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+3}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng nào?

Câu 8. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$ là đường thẳng

Câu 9. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

Câu 10. Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 11. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

[Đồ thị]

Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong đã cho?

Câu 12. Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có hai điểm cực trị. Khoảng cách giữa hai điểm đó bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) của mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$.
a) $f'(x)=3x(x-2)$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.
c) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $2$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $4\sqrt{5}$.

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.
a) $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$.
b) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận cắt nhau tại điểm $I(1;2)$.
c) Với mọi $x_1<1<x_2$, ta có $f(x_1)>f(x_2)$.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ bằng $3$.

Câu 4. Một cơ sở sản xuất bán hết $x$ sản phẩm mỗi ngày, với $x$ là số nguyên và $0\leq x\leq80$. Lợi nhuận mỗi ngày được mô hình hóa bởi $P(x)=-x^2+80x-700$ (nghìn đồng).
a) $P'(x)=-2x+80$.
b) Nếu bán được $20$ sản phẩm thì lợi nhuận là $500$ nghìn đồng.
c) Lợi nhuận lớn nhất mỗi ngày là $900$ nghìn đồng.
d) Cơ sở có lãi khi và chỉ khi bán được từ $10$ đến $70$ sản phẩm mỗi ngày.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$.

Câu 2. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2+3x+1}{x-1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=ax+b$. Tính $a+2b$.

Câu 3. Lợi nhuận khi bán hết $x$ sản phẩm trong một ngày được tính bởi $P(x)=-x^2+80x-700$ (nghìn đồng), với $x$ là số nguyên và $0\leq x\leq80$. Cơ sở phải bán ít nhất bao nhiêu sản phẩm để có lãi?

Câu 4. Một bể chứa nước không nắp có đáy là hình vuông và thể tích $32$ m³. Bỏ qua độ dày của thành và đáy bể. Tìm diện tích nhỏ nhất của vật liệu cần dùng để làm đáy và bốn thành bể, tính bằng m².

Câu 5. Một cửa hàng bán một loại nước uống với giá $30$ nghìn đồng mỗi cốc thì trung bình bán được $2000$ cốc mỗi tháng. Cứ tăng giá thêm $1$ nghìn đồng mỗi cốc thì số cốc bán được mỗi tháng giảm $100$ cốc. Chi phí làm một cốc là $20$ nghìn đồng. Giả sử số cốc dự kiến bán được đều được bán hết và giá bán chỉ tăng theo từng mức $1$ nghìn đồng, tối đa $20$ nghìn đồng so với giá ban đầu. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu nghìn đồng mỗi cốc để lợi nhuận hằng tháng lớn nhất?

Câu 6. Một cổng vòm có dạng parabol, được mô hình hóa bởi đường cong $y=12-\dfrac{x^2}{3}$ như hình vẽ; các đơn vị trên hai trục đều tính bằng mét. Người ta đặt một khung cửa hình chữ nhật có đáy nằm trên mặt đất, hai đỉnh trên nằm trên cổng vòm và diện tích lớn nhất có thể. Tính diện tích đó, theo đơn vị m².

[Đồ thị]

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
- Phần II được chấm theo số ý đúng trong từng câu; không cộng điểm từng ý theo tỉ lệ đều.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Giải thích ngắn:

Câu 1. Bảng biến thiên cho thấy hàm số tăng trên $(-2;1)$.

Câu 2. Điểm cực đại của đồ thị là $(1;3)$ nên giá trị cực đại bằng $3$.

Câu 3. $f'(x)<0$ khi $-2<x<1$.

Câu 4. Đồ thị $f'(x)$ nằm phía trên trục hoành trên khoảng $(-1;1)$.

Câu 5. $f(0)=1$, $f(3)=-2$; đỉnh parabol là điểm cực tiểu. Do đó giá trị lớn nhất bằng $1$.

Câu 6. Xét hai đầu mút và các điểm tới hạn $x=-1$, $x=1$, được $M=2$, $m=-2$.

Câu 7. Giới hạn của hàm số tại vô cực bằng $2$.

Câu 8. $\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}=x+1+\dfrac{2}{x+1}$.

Câu 9. Hai đường tiệm cận là $x=1$ và $y=2$.

Câu 10. Đồ thị cắt trục tung tại $-1$, có cực đại tại $(-1;1)$ và cực tiểu tại $(1;-3)$.

Câu 11. Đồ thị có các tiệm cận $x=1$, $y=2$ và đi qua $(0;-1)$.

Câu 12. Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;-2)$; khoảng cách bằng $\sqrt{2^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Trong mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Giải thích ngắn:

Câu 1. $f'(x)=3x(x-2)$; hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ và đạt cực tiểu tại $x=2$. Trên $[-1;3]$, các giá trị tại hai đầu mút và hai điểm tới hạn là $f(-1)=-2$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=2$.

Câu 2. $f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}$ và $f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$. Hàm số không xác định tại $x=1$, nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(-1;3)$. Hai điểm cực trị là $(-1;-2)$ và $(3;6)$, có khoảng cách $4\sqrt{5}$.

Câu 3. $f(x)=2+\dfrac{3}{x-1}$ và $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$. Nếu $x_1<1<x_2$ thì $f(x_1)<2<f(x_2)$. Trên $[2;4]$, hàm số nghịch biến nên giá trị nhỏ nhất là $f(4)=3$.

Câu 4. $P(20)=500$; $P(x)=-(x-40)^2+900$ nên lợi nhuận lớn nhất là $900$ nghìn đồng. Cơ sở có lãi khi $10<x<70$, tức bán từ $11$ đến $69$ sản phẩm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Lời giải tóm tắt:

Câu 1. $y'=3(x-1)(x-3)$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $x=3$, nên giá trị cực tiểu là $y(3)=1$.

Câu 2. $\dfrac{2x^2+3x+1}{x-1}=2x+5+\dfrac{6}{x-1}$. Suy ra $a=2$, $b=5$ và $a+2b=12$.

Câu 3. $P(x)>0$ tương đương $10<x<70$. Vì $x$ nguyên nên số sản phẩm ít nhất là $11$.

Câu 4. Gọi cạnh đáy là $x$ m, $x>0$; chiều cao là $\dfrac{32}{x^2}$ m. Diện tích vật liệu là $S(x)=x^2+\dfrac{128}{x}$. Ta có $S'(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}$, bằng $0$ tại $x=4$ và đổi dấu từ âm sang dương. Vậy $S_{\min}=48$ m².

Câu 5. Gọi $x$ là số lần tăng $1$ nghìn đồng, với $x$ nguyên và $0\leq x\leq20$. Lợi nhuận tính theo nghìn đồng là

$$P(x)=(10+x)(2000-100x)=-100(x-5)^2+22500.$$

Lợi nhuận lớn nhất khi $x=5$; giá bán cần chọn là $35$ nghìn đồng mỗi cốc.

Câu 6. Gọi hoành độ đỉnh trên bên phải của khung cửa là $x$, với $0<x<6$. Hai đỉnh trên cùng độ cao và nằm trên parabol nên có hoành độ đối nhau. Diện tích khung cửa là

$$S(x)=2x\left(12-\dfrac{x^2}{3}\right).$$

Ta có $S'(x)=24-2x^2$, bằng $0$ tại $x=2\sqrt{3}$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại đó, nên diện tích lớn nhất là

$$S_{\max}=S(2\sqrt{3})=32\sqrt{3}\ \text{m}^2.$$

Đính chính đáp án Câu 6: $32\sqrt{3}$ m². Nếu yêu cầu trả lời bằng số thập phân, kết quả làm tròn đến hàng phần mười là $55,4$ m².