Đề ôn tập TN THPT Toán 12 - Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ ÔN TẬP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC

Đề chính thức

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bài thi: TOÁN HỌC

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh: ................................................................

Số báo danh: ............................................................

Mã đề: 101

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 2)$

B. $(-\infty; 3)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-2; +\infty)$

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $2$

B. $4$

C. $0$

D. $1$

Câu 4 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $x = -1$

B. $x = 2$

C. $x = 1$

D. $y = 2$

Câu 5 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $y = x + 3$

B. $y = x - 3$

C. $y = x + 1$

D. $y = x - 1$

Câu 6 (0,25 điểm). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ là điểm nào dưới đây?

A. $I(2; 3)$

B. $I(-2; 3)$

C. $I(-2; -1)$

D. $I(3; -2)$

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị đi qua điểm cực đại $A(0; 2)$ và điểm cực tiểu $B(2; -2)$ . Toạ độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là

A. $(1; 0)$

B. $(0; 1)$

C. $(2; 0)$

D. $(1; -1)$

Câu 8 (0,25 điểm). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ ?

A. $y = x^3 + 3x$

B. $y = x^4 + 2x^2$

C. $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$

D. $y = -x^3 - x$

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 10 (0,25 điểm). Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -\dfrac{1}{3}t^3 + 6t^2$ , với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được. Vận tốc tức thời của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm

A. $t = 6\text{ s}$

B. $t = 12\text{ s}$

C. $t = 3\text{ s}$

D. $t = 4\text{ s}$

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

[Đồ thị]

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a > 0, d > 0$

B. $a < 0, d > 0$

C. $a > 0, d < 0$

D. $a < 0, d < 0$

Câu 12 (0,25 điểm). Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4$ và trục hoành là

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị là $(C)$ .
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = 3x^2 - 6x$ .
b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ .
c) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $(C)$ là $M(2; -2)$ .
d) Đường thẳng $d: y = m$ cắt đồ thị $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $-2 < m < 2$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ có đồ thị là $(H)$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .
b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$ .
c) Đồ thị $(H)$ có đường tiệm cận đứng $x = -1$ và đường tiệm cận ngang $y = 2$ .
d) Giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm $I(2; -1)$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ .
a) Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ là đường thẳng $y = x$ .
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$ với mọi $x \ne 1$ .
c) Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng $3$ .
d) Khoảng cách từ gốc toạ độ $O(0; 0)$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ bằng $0$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Một người thợ muốn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích tối đa từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $60\text{ cm} \times 96\text{ cm}$ . Người thợ cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh bằng $x\text{ cm}$ ở bốn góc rồi gập mép xung quanh lên để tạo thành thùng.
a) Điều kiện xác định của $x$ để có thể tạo thành hình hộp là $0 < x < 30$ .
b) Thể tích của chiếc thùng tạo thành được biểu thị bởi công thức $V(x) = 4x(30 - x)(48 - x)\text{ cm}^3$ .
c) Đạo hàm $V'(x) = 12(x^2 - 52x + 480)$ với mọi $x \in (0; 30)$ .
d) Thể tích lớn nhất của chiếc thùng đạt được bằng $20736\text{ cm}^3$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax + 1}{bx - 2}$ có đồ thị nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = 3$ làm tiệm cận ngang. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Một chất điểm chuyển động thẳng với phương trình quãng đường $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 24t$ , trong đó $t$ tính bằng giây ( $t \ge 0$ ) và $s$ tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t$ bằng bao nhiêu giây?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x + m}{x - 1}$ ( $m$ là tham số thực). Biết rằng trên đoạn $[2; 4]$ , giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $3$ . Tìm giá trị của tham số $m$ .

Câu 5 (0,5 điểm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m + 2)x - 5$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ ?

Câu 6 (0,5 điểm). Một bác nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật tiếp giáp với bờ tường thẳng của một công trình có sẵn (không cần rào phía bờ tường). Bác có một cuộn lưới thép dài đúng $120\text{ m}$ . Hỏi diện tích lớn nhất của khu đất mà bác nông dân rào được bằng bao nhiêu mét vuông?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	C	C	B	A	A	B	A	A	B	A	A	C

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Quy tắc tính điểm từng câu:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong một câu: được 0,10 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong một câu: được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong một câu: được 0,50 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong một câu: được 1,00 điểm.

Câu	Ý a)	Ý b)	Ý c)	Ý d)
1	Đ	S	Đ	Đ
2	Đ	Đ	Đ	S
3	Đ	Đ	S	Đ
4	Đ	Đ	Đ	S

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)

Câu	Lời giải tóm tắt	Đáp án
1	Ta có $f'(x) = 4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \in [0; 2] \\ x = 1 \in [0; 2] \\ x = -1 \notin [0; 2] \end{array}\right.$ . Tính các giá trị: $f(0) = 3$ ; $f(1) = 2$ ; $f(2) = 2^4 - 2\cdot 2^2 + 3 = 11$ . Do đó $\max_{[0; 2]} f(x) = f(2) = 11$ .	11
2	Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = \dfrac{2}{b} = 1 \Rightarrow b = 2$ . Tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{b} = 3 \Rightarrow a = 3b = 6$ . Vậy $P = a + b = 6 + 2 = 8$ .	8
3	Vận tốc tức thời là $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 24$ . Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh tại $t = -\dfrac{18}{2\cdot(-3)} = 3$ . Vậy vận tốc đạt cực đại tại thời điểm $t = 3\text{ s}$ .	3
4	Ta có $y' = \dfrac{-1 - m}{(x - 1)^2}$ với mọi $x \in [2; 4]$ . • Nếu $-1 - m > 0 \Leftrightarrow m < -1$ : hàm số đồng biến trên $[2; 4]$ , nên $\min_{[2; 4]} y = y(2) = 2 + m = 3 \Rightarrow m = 1$ (loại). • Nếu $-1 - m < 0 \Leftrightarrow m > -1$ : hàm số nghịch biến trên $[2; 4]$ , nên $\min_{[2; 4]} y = y(4) = \dfrac{4 + m}{3} = 3 \Rightarrow m = 5$ (thỏa mãn $m > -1$ ). • Nếu $m = -1$ : hàm số suy biến thành hàm hằng $y = 1 \ne 3$ . Vậy $m = 5$ .	5
5	Ta có $y' = x^2 - 2mx + m + 2$ . Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta' \le 0$ . $\Delta' = m^2 - (m + 2) = m^2 - m - 2 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 2$ . Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-1; 0; 1; 2\}$ . Vậy có 4 giá trị nguyên.	4
6	Gọi $x$ là chiều rộng của mảnh đất ( $x > 0$ , đơn vị mét). Khi đó chiều dài mảnh đất là $120 - 2x$ (mét, với $0 < x < 60$ ). Diện tích mảnh đất là $S(x) = x(120 - 2x) = -2x^2 + 120x$ . Hàm số $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x = -\dfrac{120}{2\cdot(-2)} = 30\text{ m}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích là $S(30) = 30 \cdot (120 - 60) = 1800\text{ m}^2$ .	1800

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KÌ

MÔN: TOÁN 12 – CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Khung ma trận theo định dạng cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025 (Công văn 7991/BGDĐT-GDTrH)