ĐỀ ÔN TẬP OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ ASMO - LỚP 12

Câu 1.
Determine the value of $g[f(4)]$ if the functions are given as: $f(x) = x^2 - 4x + 1$, $x \in \mathbb{R}$ and $g(x) = 3x + 2$, $x \in \mathbb{R}$.
(Xác định giá trị của $g[f(4)]$ nếu các hàm số được cho như sau: $f(x) = x^2 - 4x + 1$, $x \in \mathbb{R}$ và $g(x) = 3x + 2$, $x \in \mathbb{R}$.)

Câu 2.
The quadratic equation $3x^2 - 7x - 2 = 0$ has two roots which are $\alpha$ and $\beta$. Find the value of $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$.
(Cho phương trình bậc hai $3x^2 - 7x - 2 = 0$ có hai nghiệm là $\alpha$ và $\beta$. Tìm giá trị của $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$.)

Câu 3.
Determine the value of $x + y$, where $x$ and $y$ are positive integers, by solving the following simultaneous equations:

$$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$$

(Xác định giá trị của $x + y$ với $x, y$ là các số nguyên dương bằng cách giải hệ phương trình sau:)

$$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$$

Câu 4.
Simplify the following expression into surd form $a\sqrt{b}$, where $a, b \in \mathbb{Z}^+$ and $b$ is prime:

$$\sqrt{45} + \sqrt{80} - \sqrt{20}$$

(Rút gọn biểu thức sau về dạng căn thức $a\sqrt{b}$, với $a, b \in \mathbb{Z}^+$ và $b$ là số nguyên tố:)

$$\sqrt{45} + \sqrt{80} - \sqrt{20}$$

Câu 5.
A line segment connects two points $A(-3; 5)$ and $B(7; -1)$. Find the coordinates of the midpoint $M$ of the segment $AB$.
(Một đoạn thẳng nối hai điểm $A(-3; 5)$ và $B(7; -1)$. Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$.)

Câu 6.
It is given that $f(x) = \dfrac{3x + 2}{x - 4}$ with $x \ne 4$. Find the expression for the inverse function $f^{-1}(x)$.
(Cho hàm số $f(x) = \dfrac{3x + 2}{x - 4}$ với $x \ne 4$. Tìm biểu thức của hàm số ngược $f^{-1}(x)$.)

Câu 7.
Solve the following logarithmic equation:

$$\log_2(x + 6) + \log_2(x) = 4$$

(Giải phương trình logarit sau:)

$$\log_2(x + 6) + \log_2(x) = 4$$

Câu 8.
Find the smallest positive solution of $x$ (in radians) for the following trigonometric equation:

$$\cos^2 x - \sin^2 x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

(Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của $x$ (theo radian) từ phương trình lượng giác sau:)

$$\cos^2 x - \sin^2 x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Câu 9.
An arithmetic progression has its 4th term equal to 11 and its 9th term equal to 31. Find the first term and the common difference.
(Một cấp số cộng có số hạng thứ 4 bằng 11 và số hạng thứ 9 bằng 31. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó.)

Câu 10.
A circle has its center at $C(2; -4)$ and a radius of $6$. Write the equation of the circle.
(Một đường tròn có tâm tại $C(2; -4)$ và bán kính bằng $6$. Hãy viết phương trình của đường tròn đó.)

Câu 11.
Find the function $g(x)$ given that: $f(x) = 2x - 3$, $x \in \mathbb{R}$ and $f[g(x)] = 4x^2 - 6x + 5$, $x \in \mathbb{R}$.
(Tìm hàm số $g(x)$ biết rằng: $f(x) = 2x - 3$, $x \in \mathbb{R}$ và $f[g(x)] = 4x^2 - 6x + 5$, $x \in \mathbb{R}$.)

Câu 12.
The second term of a geometric progression is 6 and the fifth term is 48. Determine the first term and the common ratio.
(Số hạng thứ hai của một cấp số nhân là 6 và số hạng thứ năm là 48. Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó.)

Câu 13.
The non-linear equation $y = a x + \dfrac{b}{\sqrt{x}}$ is linearized to become $Y = 4X - 3$, where $Y = y\sqrt{x}$ and $X = x\sqrt{x}$. Determine the values of $a$ and $b$.
(Phương trình phi tuyến $y = a x + \dfrac{b}{\sqrt{x}}$ được tuyến tính hóa thành $Y = 4X - 3$, với $Y = y\sqrt{x}$ và $X = x\sqrt{x}$. Xác định giá trị của $a$ và $b$.)

Câu 14.
Find the range of values of $m$ such that the quadratic equation $x^2 - (m + 2)x + 4 = 0$ has no real roots.
(Tìm khoảng giá trị của $m$ để phương trình bậc hai $x^2 - (m + 2)x + 4 = 0$ vô nghiệm trên tập số thực.)

Câu 15.
In triangle $ABC$, $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 8\text{ cm}$, and $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Determine the length of side $AC$.
(Trong tam giác $ABC$, $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 8\text{ cm}$ và $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Xác định độ dài cạnh $AC$.)

Câu 16.
Simplify the following trigonometric expression:

$$P = \dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$$

(Rút gọn biểu thức lượng giác sau:)

$$P = \dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$$

Câu 17.
When the polynomial $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 8$ is divided by $(x - 2)$, the remainder is 14. When divided by $(x + 1)$, the remainder is 5. Find the values of $a$ and $b$.
(Khi đa thức $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 8$ chia cho $(x - 2)$ thì có số dư là 14. Khi chia cho $(x + 1)$ thì có số dư là 5. Tìm giá trị của $a$ và $b$.)

Câu 18.
Determine the 4th term of the sequence defined by $u_n = (-1)^n \cdot (2n^2 - 1)$ for $n \ge 1$.
(Xác định số hạng thứ 4 của dãy số được xác định bởi công thức $u_n = (-1)^n \cdot (2n^2 - 1)$ với $n \ge 1$.)

Câu 19.
Determine the set of values of $x$ satisfying the inequality:

$$x^2 - 4x - 12 < 0$$

(Tìm tập hợp các giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình:)

$$x^2 - 4x - 12 < 0$$

Câu 20.
A rectangle has an area of $60\text{ cm}^2$ and a perimeter of $32\text{ cm}$. Find the dimensions of the rectangle.
(Một hình chữ nhật có diện tích là $60\text{ cm}^2$ và chu vi là $32\text{ cm}$. Tìm kích thước chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.)

Câu 21.
Solve the following system of linear equations:

$$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + 2y + z = 9 \end{cases}$$

(Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau:)

$$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + 2y + z = 9 \end{cases}$$

Câu 22.
Find the largest integer value of $x$ that satisfies the inequality:

$$|3x - 2| \le 13$$

(Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $x$ thỏa mãn bất phương trình:)

$$|3x - 2| \le 13$$

Câu 23.
How many 3-digit numbers can be formed using the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6 without repetition, such that the resulting number is an even number?
(Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho số đó là số chẵn?)

Câu 24.
Find all pairs of positive integers $(x, y)$ that satisfy the linear Diophantine equation:

$$4x + 5y = 37$$

(Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn phương trình:)

$$4x + 5y = 37$$

Câu 25.
A right circular cone has a base radius of $5\text{ cm}$ and a height of $12\text{ cm}$. Find the volume of the cone. (Take $\pi \approx 3{,}14$).
(Một hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng $5\text{ cm}$ và chiều cao bằng $12\text{ cm}$. Tính thể tích của khối nón đó. Lấy $\pi \approx 3{,}14$.)

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................