Đề ôn tập giữa kì I Toán 12 năm học 2026 – 2027

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 2. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x-4}$ là

Câu 3. Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2;3]$ và có đồ thị như hình vẽ.

[Đồ thị]

Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;3]$. Giá trị của $M+m$ bằng

Câu 6. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x^2+4x+1$ trên đoạn $[0;3]$ bằng

Câu 8. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x-2}{1-2x}$ là

Câu 9. Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3x$. Giá trị cực đại của hàm số bằng

Câu 10. Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 11. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2}{x-1}$ có đường tiệm cận xiên là

Câu 12. Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s(t)=t^2+2t$ với $t\geq 0$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t=3$ giây bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$.
a) $f'(x)=3x(x-2)$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$.
c) Hàm số đạt cực đại tại $x=2$.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ bằng $-2$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$.
b) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
c) Hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng $(-\infty;1)$.
d) $f(0)=-1$ và $f(4)=3$.

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-2x+5}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) $f(x)=x-1+\dfrac{4}{x-1}$ với $x\ne 1$.
b) Đường tiệm cận xiên của $(C)$ là $y=x+1$.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;5]$ bằng $4$.
d) Đường thẳng $y=3$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt.

Câu 4. Một cơ sở sản xuất một loại sản phẩm. Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày được mô hình hóa bởi $C(x)=2x^2+80x+1800$, với $x$ là số nguyên dương và $C(x)$ tính bằng nghìn đồng. Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $\overline{C}(x)=\dfrac{C(x)}{x}$.
a) Khi sản xuất $20$ sản phẩm, tổng chi phí là $4200$ nghìn đồng.
b) $\overline{C}(x)=2x+80+\dfrac{1800}{x}$.
c) Đồ thị hàm số $y=\overline{C}(x)$ có đường tiệm cận xiên $y=2x+80$.
d) Chi phí trung bình nhỏ nhất khi cơ sở sản xuất $20$ sản phẩm mỗi ngày.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s(t)=-t^3+12t^2+5t$ với $0\leq t\leq 6$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=t_0$, vận tốc tức thời của vật tăng; sau thời điểm $t_0$, vận tốc tức thời giảm. Tìm $t_0$.

Câu 2. Cho hàm số $y=2^{x^3-6x^2+5}$. Hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$. Tìm $x_0$.

Câu 3. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2x^2+3x+5}{x-2}$ có đường tiệm cận xiên $y=ax+b$. Tính $P=a-2b$.

Câu 4. Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f'(x)=(x+1)^2(x-2)(x-5)^3$. Hàm số $g(x)=f(x^2-4x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 5. Hai vị trí $A$, $B$ cùng nằm về một phía của một bờ sông thẳng. Khoảng cách từ $A$, $B$ đến bờ sông lần lượt là $140$ m, $500$ m và khoảng cách $AB=600$ m. Một người đi từ $A$ đến một điểm trên bờ sông để lấy nước, sau đó đi thẳng đến $B$. Tìm tổng quãng đường ngắn nhất người đó có thể đi, tính bằng mét.

Câu 6. Một người có $100$ m lưới thép để rào ba cạnh của một khu đất hình chữ nhật tiếp giáp với bờ sông thẳng; cạnh còn lại nằm sát bờ sông và không cần rào. Diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào là bao nhiêu mét vuông?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Mỗi câu trả lời đúng ở phần I được $0,25$ điểm.

Ở phần II, điểm của mỗi câu được tính theo số ý trả lời đúng: đúng $1$ ý được $0,1$ điểm; đúng $2$ ý được $0,25$ điểm; đúng $3$ ý được $0,5$ điểm; đúng cả $4$ ý được $1,0$ điểm; không đúng ý nào được $0$ điểm.

Mỗi câu trả lời đúng ở phần III được $0,5$ điểm. Các lời giải dưới đây giúp đối chiếu kết quả.

B. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Hướng dẫn chi tiết Câu 1

a) Đúng. Lấy đạo hàm được $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.

b) Đúng. Với $x>2$, ta có $f'(x)>0$ nên hàm số đồng biến trên $(2;+\infty)$.

c) Sai. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.

d) Đúng. Trên $[0;3]$, các điểm cần xét là $0$, $2$, $3$. Vì $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=2$ nên giá trị nhỏ nhất bằng $-2$.

Hướng dẫn chi tiết Câu 2

a) Đúng. Viết $f(x)=2+\dfrac{3}{x-1}$, suy ra hai đường tiệm cận là $x=1$ và $y=2$.

b) Đúng. Với $x\ne 1$, $f'(x)=-\dfrac{3}{(x-1)^2}<0$.

c) Sai. Trên $(-\infty;1)$, ta có $f(x)<2$ và $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2$; hàm số không đạt giá trị $2$ nên không có giá trị lớn nhất trên khoảng này.

d) Đúng. Thay trực tiếp được $f(0)=-1$ và $f(4)=3$.

Hướng dẫn chi tiết Câu 3

a) Đúng. Chia đa thức được $x^2-2x+5=(x-1)^2+4$.

b) Sai. Từ câu a), đường tiệm cận xiên là $y=x-1$.

c) Đúng. Ta có $f'(x)=1-\dfrac{4}{(x-1)^2}$. Trên $[2;5]$, đạo hàm bằng $0$ tại $x=3$. So sánh $f(2)=5$, $f(3)=4$, $f(5)=5$, suy ra giá trị nhỏ nhất bằng $4$.

d) Sai. Đặt $t=x-1\ne 0$, phương trình $f(x)=3$ tương đương $t^2-3t+4=0$. Phương trình có $\Delta=-7<0$, nên đường thẳng $y=3$ không cắt $(C)$.

Hướng dẫn chi tiết Câu 4

a) Đúng. $C(20)=2\cdot20^2+80\cdot20+1800=4200$ nghìn đồng.

b) Đúng. Chia $C(x)$ cho $x$ được $\overline{C}(x)=2x+80+\dfrac{1800}{x}$.

c) Đúng. Vì $\overline{C}(x)-(2x+80)=\dfrac{1800}{x}\to 0$ khi $x\to+\infty$, nên $y=2x+80$ là tiệm cận xiên.

d) Sai. Với $x>0$, $\overline{C}'(x)=2-\dfrac{1800}{x^2}$ bằng $0$ tại $x=30$; đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại đó. Vì $30$ là số nguyên dương, chi phí trung bình nhỏ nhất khi sản xuất $30$ sản phẩm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Hướng dẫn chi tiết Câu 1

Vận tốc tức thời là $v(t)=s'(t)=-3t^2+24t+5$.

Ta có $v'(t)=-6t+24$, dương khi $0<t<4$ và âm khi $4<t<6$. Vậy $t_0=4$ giây.

Hướng dẫn chi tiết Câu 2

Đặt $u(x)=x^3-6x^2+5$. Vì hàm số $2^u$ đồng biến theo $u$, điểm cực đại của hàm số đã cho cũng là điểm cực đại của $u$.

Ta có $u'(x)=3x(x-4)$, đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $0$. Vậy $x_0=0$.

Hướng dẫn chi tiết Câu 3

Chia đa thức:

$$\dfrac{-2x^2+3x+5}{x-2}=-2x-1+\dfrac{3}{x-2}.$$

Do đó $a=-2$, $b=-1$ và $P=a-2b=-2-2(-1)=0$.

Hướng dẫn chi tiết Câu 4

Đặt $u=x^2-4x$. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp:

$$g'(x)=(2x-4)(u+1)^2(u-2)(u-5)^3.$$

Phương trình $g'(x)=0$ có các nghiệm:
$x=2$;
$u=-1$, tức $x=2\pm\sqrt{3}$;
$u=2$, tức $x=2\pm\sqrt{6}$;
$u=5$, tức $x=-1$ hoặc $x=5$.

Tại hai nghiệm của $u=-1$, thừa số $(u+1)^2$ không làm $g'$ đổi dấu. Tại năm nghiệm còn lại, $g'$ đổi dấu. Vậy hàm số $g$ có $5$ điểm cực trị.

Hướng dẫn chi tiết Câu 5

Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$, $B$ lên bờ sông. Khi đó:

$$EF=\sqrt{AB^2-(BF-AE)^2}=\sqrt{600^2-360^2}=480\text{ m}.$$

Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua bờ sông. Với mọi điểm $M$ trên bờ sông, $MA=MA'$, nên $MA+MB=MA'+MB\geq A'B$. Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của $A'B$ với bờ sông.

Vậy quãng đường ngắn nhất là:

$$A'B=\sqrt{480^2+(140+500)^2}=800\text{ m}.$$

Hướng dẫn chi tiết Câu 6

Gọi $x$ là chiều rộng vuông góc với bờ sông, đơn vị mét. Chiều dài cạnh được rào song song với bờ sông là $100-2x$, với $0<x<50$.

Diện tích khu đất là $S(x)=x(100-2x)=-2(x-25)^2+1250$. Do đó diện tích lớn nhất bằng $1250$ m², đạt được khi $x=25$ m.

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo quy tắc chấm tương ứng.