Đề ôn tập giữa học kì I Toán 12 – Năm học 2026–2027

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Hàm số $y=x^3-3x+2$ đạt cực tiểu tại điểm nào?

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^2-2x$ trên đoạn $[0;3]$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng nào?

Câu 5 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x-1}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng nào?

Câu 6 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$ có phương trình là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+2)(x-1)^2(x-3)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình sau:

[Đồ thị]

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian, với ba điểm $A$, $B$, $C$ bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ có độ dài lần lượt bằng $2$ và $3$, góc giữa chúng bằng $60^\circ$. Tích vô hướng $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Hàm số $y=\dfrac{x+2}{x-1}$ đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty)$?

Câu 12 (0,25 điểm). Đường cong trong hình sau là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$.
a) $f'(x)=3x(x-2)$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $2$.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $-2$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
b) Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;1+\sqrt{2})$.
d) Đường thẳng $y=1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=3$, $AD=4$, $AA'=12$.
a) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
c) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AC'}$ bằng $13$.
d) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một cơ sở sản xuất có chi phí cố định là $24$ triệu đồng và chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là $0,2$ triệu đồng. Gọi $x$ là số sản phẩm được sản xuất, $x$ là số nguyên dương. Chi phí trung bình cho một sản phẩm là $M(x)$, tính bằng triệu đồng.
a) $M(x)=0,2+\dfrac{24}{x}$.
b) Nếu sản xuất $120$ sản phẩm thì chi phí trung bình là $0,4$ triệu đồng một sản phẩm.
c) Chi phí trung bình tăng khi số sản phẩm tăng.
d) Để chi phí trung bình không vượt quá $0,3$ triệu đồng một sản phẩm, cơ sở cần sản xuất ít nhất $240$ sản phẩm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu chỉ ghi kết quả bằng số.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x$ trên đoạn $[0;2]$.

Câu 2 (0,5 điểm). Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-2}$ có tâm đối xứng $I(a;b)$. Tính $a+b$.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 4 (0,5 điểm). Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với giá $p=80-2x$ nghìn đồng một sản phẩm, trong đó $x$ là số sản phẩm bán được mỗi ngày, $0\le x\le 40$. Tìm số sản phẩm cần bán để doanh thu mỗi ngày lớn nhất.

Câu 5 (0,5 điểm). Từ một tấm bìa hình chữ nhật dài $40$ cm, rộng $24$ cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông cạnh $x$ cm rồi gấp thành hộp không nắp như hình minh họa. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

[Hình vẽ]

Câu 6 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm $A(0;3)$ và parabol $(P): y=x^2$ như hình vẽ. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ $A$ đến một điểm thuộc $(P)$. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

[Đồ thị]

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Phần I: mỗi câu trả lời đúng được $0,25$ điểm.
- Phần II: trong mỗi câu, trả lời đúng $1$ ý được $0,1$ điểm; đúng $2$ ý được $0,25$ điểm; đúng $3$ ý được $0,5$ điểm; đúng cả $4$ ý được $1,0$ điểm.
- Phần III: mỗi câu trả lời đúng được $0,5$ điểm.
- Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Giải thích ngắn:

Câu 1. Bảng biến thiên cho thấy $f'(x)<0$ trên $(-1;2)$.

Câu 2. $y'=3(x^2-1)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=1$.

Câu 3. $f(0)=0$, $f(3)=3$; điểm tới hạn $x=1$ cho $f(1)=-1$. Giá trị lớn nhất là $3$.

Câu 4. Mẫu bằng $0$ tại $x=-2$, còn tử khác $0$ tại đó.

Câu 5. Tỉ số các hệ số của $x$ ở tử và mẫu bằng $2$.

Câu 6. $\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}=x+1+\dfrac{2}{x+1}$.

Câu 7. $f'(x)$ đổi dấu tại $x=-2$ và $x=3$, không đổi dấu tại $x=1$.

Câu 8. Từ đồ thị, điểm cực đại có tung độ bằng $2$.

Câu 9. Áp dụng quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Câu 10. $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=2\cdot3\cos60^\circ=3$.

Câu 11. $y'=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0$ trên $(1;+\infty)$.

Câu 12. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và cắt trục hoành tại $x=3$.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Giải thích:

Câu 1. $f'(x)=3x(x-2)$ âm trên $(0;2)$; hàm số đạt cực đại $f(0)=2$. Trên $[-1;3]$, các giá trị cần xét là $f(-1)=-2$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=2$.

Câu 2. $f(x)=x+\dfrac{2}{x-1}$ và $f'(x)=1-\dfrac{2}{(x-1)^2}$. Do đó $f'(x)<0$ trên $(1;1+\sqrt{2})$. Phương trình $f(x)=1$ tương đương $x^2-2x+3=0$, vô nghiệm thực.

Câu 3. Các đẳng thức vectơ ở a), b) theo quy tắc hình hộp và quy tắc hình bình hành. $AC'=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13$; $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2=9$.

Câu 4. Tổng chi phí là $24+0,2x$ triệu đồng, nên $M(x)=0,2+\dfrac{24}{x}$. Hàm $M$ giảm khi $x>0$; $M(120)=0,4$ và $M(x)\le 0,3$ tương đương $x\ge 240$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Hướng dẫn xác định kết quả:

Câu 1. $f'(x)=3x^2-3$. Trên $[0;2]$, xét $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$; giá trị nhỏ nhất bằng $-2$.

Câu 2. Hai đường tiệm cận là $x=2$ và $y=2$, nên $I(2;2)$ và $a+b=4$.

Câu 3. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$. Do đó độ dài cần tìm bằng $2\sqrt{3}\approx 3,46$.

Câu 4. Doanh thu $R(x)=x(80-2x)=-2(x-20)^2+800$ nghìn đồng. Doanh thu lớn nhất khi $x=20$.

Câu 5. Với $0<x<12$, thể tích hộp là $V(x)=x(40-2x)(24-2x)$. Ta có $V'(x)=12x^2-256x+960$. Nghiệm duy nhất của $V'(x)=0$ trong khoảng $(0;12)$ là $x=\dfrac{32-4\sqrt{19}}{3}$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại nghiệm này, nên thể tích lớn nhất khi $x\approx 4,85$ cm.

Câu 6. Với $M(t;t^2)$ thuộc $(P)$, ta có $AM^2=t^2+(t^2-3)^2$. Đặt $u=t^2\ge 0$, suy ra $AM^2=u^2-5u+9=\left(u-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}$. Giá trị nhỏ nhất của $AM$ là $\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx 1,66$.