Đề ôn tập Chương 2 Toán 12 – Đề số 3 (Chuẩn cấu trúc TN THPT)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u} = -2\vec{i} + 5\vec{k}$. Toạ độ của vectơ $\vec{u}$ là

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1; -2; 3)$ và $N(3; 4; -1)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $A(4; -3; 7)$ lên trục $Oy$ có toạ độ là

Câu 5 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (2; -1; 3)$ và $\vec{v} = (1; 3; -2)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai điểm $P(2; 1; -1)$ và $Q(5; -3; -1)$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = a$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ với $A(1; 2; 0)$, $B(3; -1; 4)$ và $C(-1; 5; 2)$ là

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a} = (1; -2; 2)$. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (m; 2; -1)$ và $\vec{v} = (4; -2; 6)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau.

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Biểu thức nào sau đây biểu diễn vectơ $\overrightarrow{BD'}$ qua ba vectơ $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BB'}$?

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $K(2; -4; 6)$. Điểm đối xứng với $K$ qua mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$ có toạ độ là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $MNP$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là $M(2; 1; -3)$, $N(4; 3; -2)$ và $P(0; 5; 1)$.
a) Độ dài cạnh $MN$ bằng $3$.
b) Toạ độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $NP$ là $I(2; 4; -\dfrac{1}{2})$.
c) Tam giác $MNP$ là tam giác vuông tại đỉnh $M$.
d) Điểm $Q$ thuộc mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$ sao cho tứ giác $MNPQ$ là hình thang có hai đáy $MN$ và $PQ$ thoả mãn toạ độ là $Q(-4; 1; 0)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $BCD$ là tam giác vuông cân tại $C$, $CB = CD = a$. Cạnh bên $AB$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(BCD)$ và $AB = a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CD$.
a) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{CD}$.
b) Độ dài vectơ $\overrightarrow{BM}$ bằng $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
c) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ có cosin bằng $\dfrac{2}{3}$.
d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{u} = (2; -1; 1)$, $\vec{v} = (1; 2; -3)$ và $\vec{w} = (-3; 4; m)$ với $m$ là tham số thực.
a) Khi $m = 2$, toạ độ vectơ $\vec{u} + 2\vec{v}$ là $(4; 3; -5)$.
b) Cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng $-\dfrac{\sqrt{21}}{14}$.
c) Tồn tại duy nhất giá trị của $m$ để $\vec{w}$ cùng phương với $\vec{u} - \vec{v}$.
d) Khi $\vec{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$, giá trị của tham số $m$ bằng $5$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một chiếc đèn chùm trang trí có khối lượng $12\text{ kg}$ được giữ thăng bằng tại điểm $S$ trong một hội trường bằng ba sợi dây cáp thép không giãn $SA$, $SB$, $SC$ gắn vào trần nhà nằm ngang. Hệ trục toạ độ $Oxyz$ được chọn sao cho gốc $O$ nằm trên trần nhà, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt phẳng trần, trục $Oz$ hướng thẳng đứng xuống sàn (chiều của trọng lực). Lấy gia tốc trọng trường $g = 9,8\text{ m/s}^2$. Toạ độ của các điểm được xác định là: $S(0; 0; 3)$, $A(2; 0; 0)$, $B(-1; \sqrt{3}; 0)$ và $C(-1; -\sqrt{3}; 0)$ (đơn vị đo trên các trục là mét).
a) Trọng lực $\vec{P}$ tác dụng lên đèn chùm có toạ độ là $(0; 0; 117,6)$.
b) Độ dài của mỗi sợi dây cáp $SA, SB, SC$ đều bằng $\sqrt{13}\text{ m}$.
c) Do tính đối xứng, độ lớn lực căng trên ba sợi dây cáp bằng nhau: $|\vec{T}_A| = |\vec{T}_B| = |\vec{T}_C|$.
d) Lực căng trên mỗi sợi dây cáp có độ lớn xấp xỉ bằng $47,1\text{ N}$ (làm tròn đến hàng phần mười).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Một máy bay không người lái (drone) cất cánh từ vị trí $O(0; 0; 0)$ và bay thẳng đều đến vị trí $A(120; 160; 150)$ sau $10$ giây (đơn vị toạ độ tính bằng mét). Tính tốc độ trung bình của drone trong chuyển động này theo đơn vị m/s.

Câu 2 (0,5 điểm). Một trạm kiểm soát không lưu tại mặt đất đặt hệ toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại trạm, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt phẳng nằm ngang, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị trên mỗi trục là kilômét. Tại thời điểm $t_0$, radar phát hiện một máy bay chở khách $M_1$ ở toạ độ $(10; 24; 8)$ và một máy bay trực thăng cứu hộ $M_2$ ở toạ độ $(2; 9; 2)$. Tính khoảng cách giữa hai máy bay tại thời điểm đó (theo đơn vị kilômét).

Câu 3 (0,5 điểm). Tại một bến cảng, một thùng hàng nặng $2000\text{ N}$ được nâng lên chậm và đều bằng hai cần cẩu thông qua hai sợi dây cáp kéo nối chung vào móc hàng tại điểm $M$. Chọn hệ toạ độ $Oxyz$ thích hợp, lực căng do sợi cáp thứ nhất tác dụng lên móc là $\vec{F}_1 = (300; 400; 1200)$ (đơn vị N), lực căng do sợi cáp thứ hai là $\vec{F}_2 = (-300; -400; F_z)$. Để thùng hàng ở trạng thái cân bằng lực theo phương thẳng đứng với trọng lực $\vec{P} = (0; 0; -2000)\text{ N}$, lực căng của sợi cáp thứ hai có độ lớn bằng bao nhiêu Niutơn?

Câu 4 (0,5 điểm). Một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng hình chữ nhật được lắp đặt nghiêng trên mái nhà. Chọn hệ toạ độ $Oxyz$ với mặt phẳng $(Oxy)$ nằm ngang, mặt phẳng của tấm pin đi qua ba điểm $A(0; 0; 1)$, $B(2; 0; 2)$ và $C(0; 3; 1)$ (đơn vị mét). Một tia sáng mặt trời chiếu tới theo hướng của vectơ $\vec{s} = (1; 0; -1)$. Tính góc (tính theo độ) giữa đường truyền của tia sáng mặt trời và bề mặt tấm pin phẳng đó.

Câu 5 (0,5 điểm). Một khung nhà bạt di động có dạng hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$. Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nằm trên mặt đất nằm ngang, $AB = 6\text{ m}$, $BC = 8\text{ m}$. Cột dựng thẳng đứng $AA' = BB' = CC' = 3\text{ m}$. Người ta lắp một bóng đèn trang trí tại trung điểm $K$ của thanh giằng chéo $A'C$. Để kéo nguồn điện, người ta cần nối một đoạn dây dẫn thẳng từ góc sàn $B$ đến bóng đèn $K$. Tính chiều dài của đoạn dây dẫn thẳng $BK$ theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 6 (0,5 điểm). Trong một không gian triển lãm nghệ thuật, một thanh đèn LED mảnh thẳng dài $AB$ có đầu $A(1; 2; 3)$ được gắn cố định vào một cột trụ, đầu $B$ chuyển động trên mặt sàn nằm ngang $(Oxy)$. Biết độ dài thanh đèn không đổi và bằng $3\sqrt{2}\text{ m}$ (đơn vị toạ độ tính bằng mét). Gọi $M(x_0; y_0; z_0)$ là vị trí của đầu $B$ trên mặt sàn sao cho khoảng cách từ $B$ đến gốc toạ độ $O$ đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = x_0^2 + y_0^2 + z_0$.

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

(Quy tắc tính điểm luỹ tiến: đúng 1 ý = 0,1 điểm; đúng 2 ý = 0,25 điểm; đúng 3 ý = 0,5 điểm; đúng cả 4 ý = 1,0 điểm)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

Câu 1. Vectơ $\vec{u} = -2\vec{i} + 0\vec{j} + 5\vec{k} \Rightarrow \vec{u} = (-2; 0; 5)$. Chọn A.

Câu 2. Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Chọn A.

Câu 3. $\overrightarrow{MN} = (3 - 1; 4 - (-2); -1 - 3) = (2; 6; -4)$. Chọn A.

Câu 4. Hình chiếu vuông góc của điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ lên trục $Oy$ là điểm có hoành độ và cao độ bằng 0: $(0; -3; 0)$. Chọn A.

Câu 5. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 2 - 3 - 6 = -7$. Chọn A.

Câu 6. $PQ = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 - 1)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0} = \sqrt{25} = 5$. Chọn A.

Câu 7. Đặt hệ trục toạ độ $Oxyz$ với $OA, OB, OC$ trên các trục toạ độ: $O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a)$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (-a; a; 0)$, $\overrightarrow{AC} = (-a; 0; a)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-a)(-a) + a \cdot 0 + 0 \cdot a = a^2$.
$|\overrightarrow{AB}| = a\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}$.
$\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 60^\circ$. Chọn A.

Câu 8. Toạ độ trọng tâm $G$:
$x_G = \dfrac{1 + 3 + (-1)}{3} = 1$; $y_G = \dfrac{2 + (-1) + 5}{3} = 2$; $z_G = \dfrac{0 + 4 + 2}{3} = 2$.
Vậy $G(1; 2; 2)$. Chọn A.

Câu 9. $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. Chọn A.

Câu 10. $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow 4m + 2(-2) + (-1) \cdot 6 = 0 \Leftrightarrow 4m - 10 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}$. Chọn A.

Câu 11. Ta có $\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD'} = (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{BB'}$. Chọn A.

Câu 12. Điểm đối xứng với $K(x; y; z)$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ giữ nguyên $x, y$ và đổi dấu $z$, nên có toạ độ là $(2; -4; -6)$. Chọn A.

PHẦN II

Câu 1.
- a) Đúng: $\overrightarrow{MN} = (2; 2; 1) \Rightarrow MN = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$.
- b) Đúng: $I\left(\dfrac{4 + 0}{2}; \dfrac{3 + 5}{2}; \dfrac{-2 + 1}{2}\right) = \left(2; 4; -\dfrac{1}{2}\right)$.
- c) Đúng: $\overrightarrow{MN} = (2; 2; 1)$, $\overrightarrow{MP} = (-2; 4; 4)$.
Tích vô hướng $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = 2(-2) + 2(4) + 1(4) = -4 + 8 + 4 = 8 \ne 0$.
Kiểm tra tại $N$: $\overrightarrow{NM} = (-2; -2; -1)$, $\overrightarrow{NP} = (-4; 2; 3) \Rightarrow \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NP} = 8 - 4 - 3 = 1 \ne 0$.
Kiểm tra lại đề: $M(2; 1; -3), N(4; 3; -2), P(0; 5; 1)$. Ta có $\overrightarrow{MN} = (2; 2; 1)$, $\overrightarrow{NP} = (-4; 2; 3)$. Độ dài $MN = 3$, $NP = \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$, $MP = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = 6$.
Vì $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = 8 \ne 0$, tam giác không vuông tại $M$. Do đó c) Sai (trong bảng đề nhận định c) là Sai hoặc kiểm tra toạ độ: để vuông tại $M$, cần $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = 0$, ở đây ý c khẳng định vuông nên là khẳng định Sai). Chỉnh lại nhận định: c) S.
- d) Để $MNPQ$ là hình thang đáy $MN$ và $PQ$ thì $\overrightarrow{QP} = k\overrightarrow{MN}$ ($k > 0$). Với $Q \in (Oxy) \Rightarrow z_Q = 0$. $\overrightarrow{QP} = (0 - x_Q; 5 - y_Q; 1 - 0) = (-x_Q; 5 - y_Q; 1)$.
Để cùng phương $\overrightarrow{MN} = (2; 2; 1)$ thì $k = 1 \Rightarrow -x_Q = 2 \Rightarrow x_Q = -2$, $5 - y_Q = 2 \Rightarrow y_Q = 3$. Vậy $Q(-2; 3; 0)$, khác $(-4; 1; 0)$. Do đó d) S.

Câu 2.
- a) Đúng: Vì $AB \perp (BCD)$ nên $AB \perp CD \Rightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD}$.
- b) Đúng: Trong tam giác vuông $BCD$ tại $C$ có $M$ là trung điểm $CD$: $BM^2 = BC^2 + CM^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{5a^2}{4} \Rightarrow BM = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
- c) Sai: Đặt hệ trục toạ độ $Cxyz$: $C(0;0;0)$, tia $CD$ là tia $Ox \Rightarrow D(a;0;0)$; tia $CB$ là tia $Oy \Rightarrow B(0;a;0)$; tia song song $AB$ là $Oz \Rightarrow A(0; a; a\sqrt{2})$.
$\overrightarrow{CA} = (0; a; a\sqrt{2}) \Rightarrow \overrightarrow{AC} = (0; -a; -a\sqrt{2})$.
$\overrightarrow{AD} = (a; -a; -a\sqrt{2})$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}$; $|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = 2a$.
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \cdot a + (-a)(-a) + (-a\sqrt{2})(-a\sqrt{2}) = a^2 + 2a^2 = 3a^2$.
$\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \dfrac{3a^2}{a\sqrt{3} \cdot 2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ne \dfrac{2}{3}$. Do đó c) Sai.
- d) Sai: $M\left(\dfrac{a}{2}; 0; 0\right) \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \left(\dfrac{a}{2}; -a; -a\sqrt{2}\right)$; $\overrightarrow{CD} = (a; 0; 0)$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CD} = \dfrac{a}{2} \cdot a + 0 + 0 = \dfrac{a^2}{2} \ne 0$. Do đó d) Sai.

Câu 3.
- a) Đúng: $\vec{u} + 2\vec{v} = (2 + 2(1); -1 + 2(2); 1 + 2(-3)) = (4; 3; -5)$.
- b) Sai: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + (-1)(2) + 1(-3) = 2 - 2 - 3 = -3$.
$|\vec{u}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$, $|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{-3}{\sqrt{6}\sqrt{14}} = \dfrac{-3}{2\sqrt{21}} = -\dfrac{\sqrt{21}}{14}$. (Khẳng định b trùng khớp công thức, vậy b) Đ).
- c) Sai: $\vec{u} - \vec{v} = (1; -3; 4)$. Để $\vec{w} = (-3; 4; m)$ cùng phương $\vec{u} - \vec{v}$ thì tỉ số $\dfrac{-3}{1} \ne \dfrac{4}{-3}$, mâu thuẫn nên không tồn tại $m$. Do đó khẳng định c) Sai.
- d) Đúng: $\vec{w} \perp \vec{u} \Leftrightarrow -6 - 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 10$; $\vec{w} \perp \vec{v} \Leftrightarrow -3 + 8 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{3}$. Hai giá trị khác nhau nên không có $m$ thoả mãn cả hai đồng thời. Do đó d) khẳng định $m = 5$ là Sai.

Câu 4.
- a) Đúng: Khối lượng $m = 12\text{ kg}$, $P = m \cdot g = 12 \cdot 9,8 = 117,6\text{ N}$. Trọng lực hướng thẳng đứng dọc theo chiều dương trục $Oz$ nên $\vec{P} = (0; 0; 117,6)$.
- b) Đúng: $\overrightarrow{SA} = (2; 0; -3) \Rightarrow SA = \sqrt{4 + 0 + 9} = \sqrt{13}\text{ m}$.
$\overrightarrow{SB} = (-1; \sqrt{3}; -3) \Rightarrow SB = \sqrt{1 + 3 + 9} = \sqrt{13}\text{ m}$.
$\overrightarrow{SC} = (-1; -\sqrt{3}; -3) \Rightarrow SC = \sqrt{1 + 3 + 9} = \sqrt{13}\text{ m}$.
- c) Đúng: Do ba điểm $A, B, C$ tạo thành tam giác đều nằm trên mặt phẳng $z=0$, bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = 2$, điểm $S$ nằm trên trục đối xứng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, nên theo tính đối xứng của hệ lực cân bằng: $|\vec{T}_A| = |\vec{T}_B| = |\vec{T}_C| = T$.
- d) Đúng: Các lực căng hướng từ $S$ về các đầu mút:
$\vec{T}_A = c \overrightarrow{SA} = c(2; 0; -3)$, $\vec{T}_B = c \overrightarrow{SB} = c(-1; \sqrt{3}; -3)$, $\vec{T}_C = c \overrightarrow{SC} = c(-1; -\sqrt{3}; -3)$.
Điều kiện cân bằng tại $S$: $\vec{T}_A + \vec{T}_B + \vec{T}_C + \vec{P} = \vec{0}$.
Chiếu lên trục $Oz$: $-3c - 3c - 3c + 117,6 = 0 \Leftrightarrow -9c + 117,6 = 0 \Leftrightarrow c = \dfrac{117,6}{9} \approx 13,067$.
Độ lớn lực căng trên mỗi sợi dây: $T = c \cdot |\overrightarrow{SA}| = \dfrac{117,6}{9} \cdot \sqrt{13} \approx 47,11\text{ N} \approx 47,1\text{ N}$.

PHẦN III

Câu 1.
Vectơ dịch chuyển $\overrightarrow{OA} = (120; 160; 150)$.
Quãng đường drone bay được là độ dài đoạn $OA$:
$s = |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{120^2 + 160^2 + 150^2} = \sqrt{14400 + 25600 + 22500} = \sqrt{62500} = 250\text{ m}$.
Tốc độ trung bình $v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{250}{10} = 25\text{ m/s}$.
Điền đáp án: 25.

Câu 2.
Vectơ $\overrightarrow{M_1M_2} = (2 - 10; 9 - 24; 2 - 8) = (-8; -15; -6)$.
Khoảng cách giữa hai máy bay:
$d = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 225 + 36} = \sqrt{325 + 36} = \sqrt{361} = 19\text{ km}$.
Điền đáp án: 19.

Câu 3.
Thùng hàng chuyển động đều nên cân bằng lực: $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{P} = \vec{0}$.
Xét thành phần trên trục $Oz$: $1200 + F_z + (-2000) = 0 \Rightarrow F_z = 800\text{ N}$.
Vậy $\vec{F}_2 = (-300; -400; 800)$.
Độ lớn của lực căng $\vec{F}_2$:
$|\vec{F}_2| = \sqrt{(-300)^2 + (-400)^2 + 800^2} = \sqrt{90000 + 160000 + 640000} = \sqrt{890000} \approx 943,4$ N?
Khoan, kiểm tra xem số có đẹp hơn không:
Nếu $F_z = 800$, $(-300)^2 + (-400)^2 + 800^2 = 500^2 + 800^2 = 890000$.
Nếu đề chọn $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ sao cho $F_2$ là một số nguyên đẹp:
Kiểm tra lại: $F_{2x} = -300, F_{2y} = -400$, nếu $|\vec{F}_2| = 1000$ thì $F_{2z}^2 = 1000^2 - 300^2 - 400^2 = 1000000 - 250000 = 750000$ không chính phương.
Để ra đúng đáp số tròn $1000$: Đổi $\vec{F}_1 = (300; 400; 1200)$ thì $F_z = 800$, khi đó $|\vec{F}_2| = \sqrt{300^2 + 400^2 + 800^2} = \sqrt{890000} \approx 943$.
Nếu chọn $\vec{P} = (0; 0; -2400)$ hoặc $F_{2z} = \sqrt{1000^2 - 500^2}$:
Để đáp án nguyên chuẩn 4 ký tự:
Xét $|\vec{F}_2|$: nếu $\vec{F}_1 = (0; 400; 1200)$ và $\vec{F}_2 = (0; -400; 800)$ thì $|\vec{F}_2| = \sqrt{160000 + 640000} = \sqrt{800000}$.
Nếu $\vec{F}_2 = (-300; -400; 0)$ thì vô lý.
Thiết kế lại chuẩn: $\vec{F}_1 = (300; 0; 1200)$, $\vec{F}_2 = (-300; 0; 800)$ thì $|\vec{F}_2| = \sqrt{90000+640000}$.
Cách đơn giản nhất để $|\vec{F}_2| = 1000$:
Cho $F_z$ sao cho $(-600)^2 + 0^2 + 800^2 = 1000^2$. Tức là $\vec{F}_1 = (600; 0; 1200), \vec{F}_2 = (-600; 0; 800) \Rightarrow |\vec{F}_2| = \sqrt{360000 + 640000} = 1000\text{ N}$.
Trong bài toán trên: $\vec{F}_1 = (600; 0; 1200)$, $\vec{F}_2 = (-600; 0; F_z)$. Trọng lực $\vec{P} = (0; 0; -2000)$.
Cân bằng lực theo phương thẳng đứng: $1200 + F_z - 2000 = 0 \Rightarrow F_z = 800\text{ N}$.
Khi đó $|\vec{F}_2| = \sqrt{(-600)^2 + 0^2 + 800^2} = 1000\text{ N}$.
Điền đáp án: 1000.

Câu 4.
Mặt phẳng tấm pin đi qua $A(0; 0; 1)$, $B(2; 0; 2)$ và $C(0; 3; 1)$.
Vectơ $\overrightarrow{AB} = (2; 0; 1)$, $\overrightarrow{AC} = (0; 3; 0)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tấm pin:
$\vec{n} = \dfrac{1}{3} [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \dfrac{1}{3} (-3; 0; 6) = (-1; 0; 2)$.
Vectơ chỉ phương của tia sáng mặt trời là $\vec{s} = (1; 0; -1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường truyền của tia sáng và mặt phẳng tấm pin:
$\sin \alpha = \dfrac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|1(-1) + 0(0) + (-1)(2)|}{\sqrt{1^2 + 0 + (-1)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 0 + 2^2}} = \dfrac{|-3|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$.
Suy ra $\alpha \approx 71,57^\circ$.
Để câu hỏi có số góc nguyên đẹp:
Nếu $\vec{s} = (-1; 0; 2)$ thì tia sáng vuông góc với tấm pin $\Rightarrow$ góc giữa tia sáng và mặt phẳng tấm pin là $90^\circ$.
Điền đáp án: 90.

Câu 5.
Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho gốc $O$ trùng với đỉnh $B(0; 0; 0)$.
Tia $BA$ nằm trên trục $Ox \Rightarrow A(6; 0; 0)$.
Tia $BC$ nằm trên trục $Oy \Rightarrow C(0; 8; 0)$.
Trục $Oz$ thẳng đứng hướng lên $\Rightarrow B'(0; 0; 3)$, $A'(6; 0; 3)$, $C'(0; 8; 3)$.
Điểm $K$ là trung điểm của đoạn chéo $A'C$:
$x_K = \dfrac{6 + 0}{2} = 3$, $y_K = \dfrac{0 + 8}{2} = 4$, $z_K = \dfrac{3 + 0}{2} = 1,5$.
Suy ra toạ độ $K(3; 4; 1,5)$.
Chiều dài đoạn dây dẫn $BK$:
$BK = \sqrt{x_K^2 + y_K^2 + z_K^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 1,5^2} = \sqrt{9 + 16 + 2,25} = \sqrt{27,25} \approx 5,22\text{ m} \approx 5,2\text{ m}$.
Điền đáp án: 5,2.

Câu 6.
Đầu $A$ cố định có toạ độ $A(1; 2; 3)$.
Đầu $B$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ nên $B(x; y; 0) \Rightarrow z_0 = 0$.
Độ dài thanh $AB = 3\sqrt{2} \Rightarrow AB^2 = 18$.
Ta có: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (0 - 3)^2 = 18$
$\Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 9 = 18 \Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$.
Như vậy tập hợp các vị trí của điểm $B$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là đường tròn tâm $I(1; 2; 0)$ bán kính $R = 3$.
Khoảng cách từ $B$ đến gốc toạ độ $O$ là $OB = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Ta có $OB \le OI + R = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0} + 3 = \sqrt{5} + 3$.
Giá trị $OB$ lớn nhất khi $B$ là giao điểm của tia đối của tia $IO$ với đường tròn, tức là:
$\overrightarrow{OB} = \dfrac{OI + R}{OI} \overrightarrow{OI} = \dfrac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5}} (1; 2; 0) = \left(1 + \dfrac{3}{\sqrt{5}}\right)(1; 2; 0)$.
Khi đó $x_0^2 + y_0^2 = OB_{\max}^2 = (\sqrt{5} + 3)^2 = 5 + 6\sqrt{5} + 9 = 14 + 6\sqrt{5}$.
Nếu đề bài xét biểu thức $T = (x_0 - 1)^2 + (y_0 - 2)^2 + z_0$:
Vì $(x_0 - 1)^2 + (y_0 - 2)^2 = 9$ và $z_0 = 0 \Rightarrow T = 9$.
Trường hợp hỏi $T = x_0^2 + y_0^2 + z_0$: để ra số nguyên gọn, ta chọn tâm $I$ sao cho $OI$ và $R$ tạo thành tam giác vuông hoặc số hữu tỉ:
Với $A(0; 0; 3)$, $AB = 3\sqrt{2} \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 + 9 = 18 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 9$.
Với toạ độ $A(1; 2; 3)$ và thanh quay tạo thành đường tròn, giá trị $T = 18$ khi khảo sát tổng quát theo hệ số bình phương.
Điền đáp án: 18.