Đề luyện tập HSA môn Toán — 50 câu

PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 35. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Đạo hàm của hàm số $y=x^3-2x+1$ là

Câu 2. Hàm số $y=x^2-4x+1$ đạt cực tiểu tại điểm nào?

Câu 3. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$ là

Câu 4. Hàm số $y=x^3-3x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2x+1$ trên đoạn $[-1;2]$ bằng

Câu 6. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=x^2+2x$ tại điểm có hoành độ $x=1$ bằng

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2$ là

Câu 8. Giá trị của $\displaystyle\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x$ bằng

Câu 9. Cho $F'(x)=2x+1$ và $F(0)=2$. Khi đó $F(2)$ bằng

Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ bằng

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{a}=(2;-1;3)$ và $\overrightarrow{b}=(1;2;0)$. Tọa độ của $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai điểm $A(1;0;0)$ và $B(1;3;4)$ bằng

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, trung điểm của đoạn thẳng nối $A(1;2;3)$ và $B(3;0;1)$ là

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm $M(1;2;0)$?

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}=(1;2;-1)$ và $\overrightarrow{v}=(2;0;1)$ bằng

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(1;-2;0)$, bán kính $3$ có phương trình nào?

Câu 17. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu $3$, $5$, $7$, $9$, $11$ bằng

Câu 18. Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu bằng

Câu 19. Một hộp có $4$ thẻ đỏ và $6$ thẻ xanh. Lấy ngẫu nhiên một thẻ. Xác suất lấy được thẻ đỏ bằng

Câu 20. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt $6$ chấm bằng

Câu 21. Cho hai biến cố $A$, $B$ với $P(B)=0,5$ và $P(A\cap B)=0,2$. Xác suất có điều kiện $P(A\mid B)$ bằng

Câu 22. Nghiệm của phương trình $\log_2 x=3$ là

Câu 23. Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=2$. Số hạng $u_5$ bằng

Câu 24. Giá trị của $\sin\dfrac{\pi}{6}$ bằng

Câu 25. Giá trị của $\cos 0$ bằng

Câu 26. Trên đoạn $[0;2\pi]$, phương trình $\sin x=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Câu 27. Thể tích khối lập phương có cạnh bằng $2$ bằng

Câu 28. Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $6$ và chiều cao bằng $4$. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng

Câu 29. Một khối chóp có diện tích đáy bằng $9$ và chiều cao bằng $4$. Thể tích của khối chóp đó bằng

Câu 30. Trong tam giác $ABC$, biết $AB=3$, $AC=4$ và $\widehat{BAC}=90^\circ$. Độ dài $BC$ bằng

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;1)$ và $B(1;3)$ có phương trình là

Câu 32. Phủ định của mệnh đề “Mọi số thực đều có bình phương không âm” là mệnh đề nào?

Dùng dữ kiện sau cho Câu 33, Câu 34 và Câu 35.

Một cơ sở sản xuất ước tính lợi nhuận khi bán hết $x$ trăm sản phẩm là $P(x)=-x^2+8x-7$ triệu đồng, với $0\le x\le 7$.

Câu 33. Đạo hàm của hàm số $P(x)$ là

Câu 34. Lợi nhuận lớn nhất đạt được khi cơ sở bán hết bao nhiêu trăm sản phẩm?

Câu 35. Lợi nhuận lớn nhất của cơ sở theo mô hình trên bằng bao nhiêu triệu đồng?

PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 36 đến Câu 50. Mỗi câu ghi một kết quả bằng số.

Câu 36. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^2-6x+13$ trên đoạn $[0;5]$ bằng bao nhiêu?

Câu 37. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $40$ m. Diện tích lớn nhất của mảnh vườn đó bằng bao nhiêu mét vuông?

Câu 38. Một vật chuyển động thẳng có tọa độ $s(t)=t^3-6t^2+9t$, trong đó $s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây và $t\ge 0$. Vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bằng $0$ là bao nhiêu mét trên giây?

Câu 39. Biết $\displaystyle\int_0^2 (ax+1)\,\mathrm{d}x=8$. Tìm $a$.

Câu 40. Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t)=2t+1$ m/s, trong đó $t$ tính bằng giây. Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm $t=3$ bằng bao nhiêu mét?

Câu 41. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;2;0)$, $B(3;0;2)$. Điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều $A$, $B$. Tính hoành độ của $M$.

Câu 42. Mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tự học mỗi ngày của $20$ học sinh được cho như sau:

Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, theo đơn vị giờ.

Câu 43. Một hộp có $5$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh; các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi. Tính xác suất lấy được $2$ viên cùng màu. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 44. Một hộp có $3$ viên bi đỏ và $2$ viên bi xanh; các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy lần lượt $2$ viên bi, không hoàn lại. Biết viên thứ nhất màu đỏ, tính xác suất để viên thứ hai cũng màu đỏ.

Câu 45. Tính $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$.

Câu 46. Một người tiết kiệm $1$ triệu đồng vào tuần đầu. Mỗi tuần sau, số tiền tiết kiệm bằng $1,5$ lần số tiền tiết kiệm của tuần ngay trước đó. Tổng số tiền người ấy tiết kiệm trong $4$ tuần đầu bằng bao nhiêu triệu đồng?

Câu 47. Một bánh xe quay đều được $3$ vòng trong $2$ giây. Trong $5$ giây, một điểm trên bánh xe quét được góc bao nhiêu radian? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $x^2-5x+6\le 0$?

Câu 49. Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước $3$ cm, $4$ cm và $12$ cm. Độ dài đường chéo của khối hộp bằng bao nhiêu xăng-ti-mét?

Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(0;0)$, $B(6;0)$ và $M$ thuộc đường thẳng $x=2$. Giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ bằng bao nhiêu?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm trả lời ngắn

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Ta có $(x^3-2x+1)'=3x^2-2$. Chọn A.

Câu 2

Ta viết $y=(x-2)^2-3$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Chọn B.

Câu 3

Mẫu số bằng $0$ tại $x=3$, còn tử số tại đó bằng $7\ne 0$. Do đó $x=3$ là tiệm cận đứng. Chọn C.

Câu 4

Ta có $y'=3(x^2-1)$. Với $x>1$ thì $y'>0$, nên hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$. Chọn D.

Câu 5

Hàm số đồng biến trên $[-1;2]$ nên giá trị lớn nhất là $y(2)=5$. Chọn A.

Câu 6

Ta có $y'=2x+2$, suy ra hệ số góc cần tìm là $y'(1)=4$. Chọn B.

Câu 7

Vì $(x^3)'=3x^2$ nên một nguyên hàm của $f(x)$ là $x^3$. Chọn C.

Câu 8

Ta có $\displaystyle\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=\left.x^2\right|_0^1=1$. Chọn D.

Câu 9

Từ $F'(x)=2x+1$, suy ra $F(x)=x^2+x+C$. Điều kiện $F(0)=2$ cho $C=2$, do đó $F(2)=8$. Chọn A.

Câu 10

Trên đoạn $[0;2]$, ta có $x\ge 0$. Diện tích cần tìm là $\displaystyle S=\int_0^2x\,\mathrm{d}x=2$. Chọn B.

Câu 11

Cộng các tọa độ tương ứng, được $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3;1;3)$. Chọn C.

Câu 12

Ta có $AB=\sqrt{(1-1)^2+(3-0)^2+(4-0)^2}=5$. Chọn D.

Câu 13

Trung điểm có tọa độ $\left(\dfrac{1+3}{2};\dfrac{2+0}{2};\dfrac{3+1}{2}\right)=(2;1;2)$. Chọn A.

Câu 14

Thay tọa độ $M$ vào phương trình $x+y+z-3=0$, ta được $1+2+0-3=0$. Chọn B.

Câu 15

Ta có $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1\cdot 2+2\cdot 0+(-1)\cdot 1=1$. Chọn C.

Câu 16

Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;0)$, bán kính $3$ là $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9$. Chọn D.

Câu 17

Giá trị lớn nhất là $11$, giá trị nhỏ nhất là $3$. Khoảng biến thiên bằng $11-3=8$. Chọn A.

Câu 18

Theo định nghĩa, độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai. Chọn B.

Câu 19

Có $4$ kết quả thuận lợi trong $10$ kết quả đồng khả năng. Xác suất là $\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$. Chọn C.

Câu 20

Hai lần gieo độc lập, mỗi lần xuất hiện mặt $6$ chấm có xác suất $\dfrac{1}{6}$. Xác suất cần tìm là $\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$. Chọn D.

Câu 21

Theo công thức xác suất có điều kiện, $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,2}{0,5}=0,4$. Chọn A.

Câu 22

Ta có $\log_2x=3\Leftrightarrow x=2^3=8$. Chọn B.

Câu 23

Số hạng thứ năm là $u_5=u_1+4d=3+4\cdot 2=11$. Chọn C.

Câu 24

Theo giá trị lượng giác cơ bản, $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$. Chọn D.

Câu 25

Theo giá trị lượng giác cơ bản, $\cos 0=1$. Chọn A.

Câu 26

Phương trình $\sin x=0$ có nghiệm $x=k\pi$, với $k$ nguyên. Trên đoạn $[0;2\pi]$ có ba nghiệm $0$, $\pi$, $2\pi$. Chọn B.

Câu 27

Thể tích khối lập phương là $V=2^3=8$. Chọn C.

Câu 28

Thể tích khối lăng trụ là $V=6\cdot 4=24$. Chọn D.

Câu 29

Thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}\cdot 9\cdot 4=12$. Chọn A.

Câu 30

Theo định lí Pythagore, $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Chọn B.

Câu 31

Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $\dfrac{3-1}{1-0}=2$. Đường thẳng đi qua $A(0;1)$ nên có phương trình $y=2x+1$. Chọn C.

Câu 32

Phủ định của mệnh đề có dạng “mọi số thực có tính chất $P$” là “có một số thực không có tính chất $P$”. Do đó mệnh đề cần tìm là: có một số thực có bình phương âm. Chọn D.

Câu 33

Lấy đạo hàm, được $P'(x)=-2x+8$. Chọn A.

Câu 34

Ta có $P(x)=-(x-4)^2+9$. Vì $4\in[0;7]$, lợi nhuận lớn nhất đạt được khi $x=4$, tức bán hết $4$ trăm sản phẩm. Chọn B.

Câu 35

Từ $P(x)=-(x-4)^2+9$, giá trị lớn nhất là $9$ triệu đồng. Tuy nhiên, phương án tương ứng trong đề là B, không phải C.

Câu 36

Ta có $f(x)=(x-3)^2+4$. Vì $3\in[0;5]$, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $4$.

Câu 37

Gọi hai kích thước là $x$ và $20-x$ mét, với $0<x<20$. Diện tích là $S=x(20-x)=100-(x-10)^2\le 100$. Vậy diện tích lớn nhất là $100$ m².

Câu 38

Vận tốc là $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$; gia tốc là $a(t)=v'(t)=6t-12$. Gia tốc bằng $0$ khi $t=2$. Khi đó $v(2)=12-24+9=-3$ m/s.

Câu 39

Ta có $\displaystyle\int_0^2(ax+1)\,\mathrm{d}x=2a+2$. Suy ra $2a+2=8$, nên $a=3$.

Câu 40

Vì $v(t)=2t+1>0$ trên $[0;3]$, quãng đường là $\displaystyle\int_0^3(2t+1)\,\mathrm{d}t=\left.(t^2+t)\right|_0^3=12$ m.

Câu 41

Đặt $M(m;0;0)$. Điều kiện $MA=MB$ tương đương

$$(m-1)^2+4=(m-3)^2+4.$$

Suy ra $(m-1)^2=(m-3)^2$, nên $m=2$.

Câu 42

Các giá trị đại diện là $0,5$; $1,5$; $2,5$; $3,5$. Số trung bình của mẫu ghép nhóm là

$$\overline{x}=\dfrac{2\cdot 0,5+6\cdot 1,5+8\cdot 2,5+4\cdot 3,5}{20}=2,2.$$

Kết quả là $2,2$ giờ.

Câu 43

Số cách lấy $2$ viên bất kì là $C_9^2=36$. Số cách lấy $2$ viên cùng màu là $C_5^2+C_4^2=16$. Xác suất cần tìm là $\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}\approx 0,44$.

Câu 44

Biết viên thứ nhất màu đỏ, hộp còn $2$ viên đỏ trong tổng số $4$ viên. Xác suất để viên thứ hai màu đỏ là $\dfrac{2}{4}=0,5$.

Câu 45

Với $x\ne 2$, ta có $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$. Vậy giới hạn cần tìm bằng $4$.

Câu 46

Số tiền tiết kiệm mỗi tuần tạo thành cấp số nhân có số hạng đầu $1$ và công bội $1,5$. Tổng bốn tuần đầu là

$$S_4=1+1,5+2,25+3,375=8,125.$$

Vậy số tiền cần tìm là $8,125$ triệu đồng.

Câu 47

Trong $5$ giây, bánh xe quay được $\dfrac{3}{2}\cdot 5=7,5$ vòng. Góc quét được là $7,5\cdot 2\pi=15\pi\approx 47,1$ radian.

Câu 48

Ta có $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Bất phương trình tương đương $2\le x\le 3$. Có hai giá trị nguyên là $2$ và $3$.

Câu 49

Theo định lí Pythagore trong không gian, đường chéo có độ dài $\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ cm.

Câu 50

Bất đẳng thức tam giác cho $MA+MB\ge AB=6$. Điểm $M(2;0)$ thuộc đường thẳng $x=2$ và nằm trên đoạn $AB$, nên đạt dấu bằng. Giá trị nhỏ nhất là $6$.