Đề kiểm tra Toán 12 – Ứng dụng đạo hàm và vectơ trong không gian

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Một xưởng tái chế dự kiến chi phí xử lí $x$ tấn nhựa trong một ngày là $C(x)=x^2+20x+900$ nghìn đồng, với $10\leq x\leq 40$. Xưởng có tối đa $45$ tấn nhựa cần xử lí. Theo mô hình, chi phí trung bình cho mỗi tấn nhỏ nhất khi xử lí bao nhiêu tấn trong ngày?

Câu 2 (0,25 điểm). Một robot kiểm tra đường ống chuyển động trên một đoạn thẳng. Tọa độ của robot so với một điểm mốc là $s(t)=t^3-6t^2+9t+2$ mét, trong đó $t$ tính bằng giây và $0\leq t\leq 4$. Quãng đường robot đi được trong bốn giây đó bằng bao nhiêu mét?

Câu 3 (0,25 điểm). Một nhà vườn dùng $120$ m lưới để quây ba cạnh của một khu trồng rau hình chữ nhật, cạnh còn lại nằm sát tường. Trên một cạnh vuông góc với tường có chừa một lối đi rộng $2$ m không cần lưới. Diện tích lớn nhất của khu trồng rau là bao nhiêu mét vuông?

Câu 4 (0,25 điểm). Một điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^2-2x$ và có hoành độ không âm. Khi khoảng cách từ $M$ đến điểm $A(1;3)$ nhỏ nhất, hoành độ của $M$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Một gian hàng trực tuyến bán $x$ bộ sản phẩm mỗi ngày, với $0\leq x\leq 80$ và $x$ nguyên. Giá bán mỗi bộ theo dự báo là $p(x)=120-0,5x$ nghìn đồng; tổng chi phí là $C(x)=30x+700$ nghìn đồng. Phí duy trì nền tảng đã được tính trong $C(x)$. Lợi nhuận lớn nhất theo mô hình bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 6 (0,25 điểm). Nồng độ một chất trong nước sau khi xử lí được mô hình hóa bởi $c(t)=\dfrac{6t}{t^2+4}$ mg/L, trong đó $t$ tính bằng giờ và $0\leq t\leq 5$. Hệ thống được kiểm tra định kì sau mỗi $30$ phút, nhưng mô hình được xét liên tục. Nồng độ lớn nhất trong khoảng thời gian trên là bao nhiêu mg/L?

Câu 7 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị bay đi từ $A(1;2;3)$ đến $B(4;0;5)$, sau đó thực hiện độ dời $\overrightarrow{BC}=(-1;3;-2)$. Một trạm sạc đặt tại $S(2;2;1)$. Khoảng cách từ vị trí cuối $C$ đến trạm sạc bằng bao nhiêu đơn vị độ dài?

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, một vật dịch chuyển từ $A(1;-1;2)$ đến $B(4;1;0)$ dưới tác dụng của lực không đổi $\overrightarrow{F}=(2;-1;3)$ N. Mỗi đơn vị tọa độ ứng với $1$ m. Công của lực $\overrightarrow{F}$ trên quãng dịch chuyển đó bằng bao nhiêu jun? Biết công bằng tích vô hướng của lực và vectơ dịch chuyển.

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;2;-1)$, $B(3;0;2)$ và $C(-1;1;3)$. Điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành có tọa độ là

Câu 10 (0,25 điểm). Một thiết bị chịu ba lực có tổng bằng vectơ không. Trong hệ trục $Oxyz$, hai lực đầu là $\overrightarrow{F_1}=(2;-1;3)$ N và $\overrightarrow{F_2}=(-1;4;1)$ N. Độ lớn của lực thứ ba bằng bao nhiêu niutơn?

Câu 11 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;0;2)$, $B(3;2;0)$ và $C(0;1;1)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ và thỏa mãn $AM=2MB$. Tích vô hướng $\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB}$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Một tấm vật liệu hình chữ nhật kích thước $30$ cm và $20$ cm được cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gấp thành hộp không nắp. Do yêu cầu đóng gói, chiều cao hộp phải từ $4$ cm đến $6$ cm. Chiều cao để thể tích hộp lớn nhất là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG, SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Một cơ sở cho thuê xe đạp điện dự báo: khi giá thuê là $p(x)=100-x$ nghìn đồng một lượt thì có $x$ lượt thuê mỗi ngày, với $0\leq x\leq 80$. Tổng chi phí mỗi ngày là $C(x)=20x+700$ nghìn đồng, đã bao gồm phí sạc và bảo dưỡng. Gọi $P(x)$ là lợi nhuận mỗi ngày, tính bằng nghìn đồng.
a) $P(20)=500$.
b) Khi số lượt thuê tăng từ $40$ lên $60$, lợi nhuận theo mô hình tăng.
c) Lợi nhuận lớn nhất theo mô hình là $900$ nghìn đồng.
d) Để lợi nhuận không dưới $500$ nghìn đồng thì số lượt thuê phải từ $20$ đến $60$, kể cả hai giá trị này.

Câu 2 (1,0 điểm). Một robot vận chuyển di chuyển trên một đường thẳng trong $5$ giây đầu. Tọa độ của robot là $s(t)=t^3-9t^2+24t+3$ mét, với $t$ tính bằng giây và $0\leq t\leq 5$.
a) Vận tốc của robot tại thời điểm $t=1$ là $9$ m/s.
b) Robot đổi chiều chuyển động hai lần trong khoảng thời gian đã cho.
c) Quãng đường robot đi được từ $t=0$ đến $t=5$ là $20$ m.
d) Vận tốc lớn nhất của robot trong khoảng thời gian đã cho là $24$ m/s.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là mét. Một thiết bị bay đi thẳng từ $A(1;2;1)$ đến $B(4;0;3)$, rồi đi thẳng đến $C(6;1;2)$. Trạm điều khiển đặt tại $O$.
a) Vectơ dịch chuyển trên chặng đầu là $(3;-2;2)$.
b) Độ dời từ $A$ đến $C$ có độ lớn bằng $\sqrt{27}$ m.
c) Hai vectơ dịch chuyển của hai chặng vuông góc với nhau.
d) Tổng chiều dài hai chặng nhỏ hơn $6$ m.

Câu 4 (1,0 điểm). Một cơ sở làm hộp trưng bày không nắp có đáy hình vuông, thể tích $32$ m³. Gọi $x$ mét là cạnh đáy và $h$ mét là chiều cao. Bỏ qua diện tích các mép nối; vật liệu làm đáy và thành có cùng giá trên một mét vuông.
a) $h=\dfrac{32}{x^2}$ với $x>0$.
b) Diện tích vật liệu cần dùng là $S(x)=x^2+\dfrac{128}{x}$ m².
c) Diện tích vật liệu nhỏ nhất khi $x=4$ m.
d) Nếu cạnh đáy bị giới hạn bởi $2\leq x\leq 3$ thì diện tích vật liệu nhỏ nhất bằng $48$ m².

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Một trang trại dùng $200$ m lưới để quây ba cạnh của khu ươm cây hình chữ nhật, cạnh còn lại nằm sát một bức tường dài $120$ m. Trên một cạnh vuông góc với tường chừa một cổng rộng $4$ m không cần lưới. Diện tích lớn nhất của khu ươm cây là bao nhiêu mét vuông?

Câu 2 (0,5 điểm). Một cửa hàng cho thuê pin dự phòng dự báo giá thuê mỗi lượt là $p(x)=120-0,5x$ nghìn đồng khi có $x$ lượt thuê trong ngày. Tổng chi phí là $C(x)=25x+600$ nghìn đồng; trong đó đã gồm $100$ nghìn đồng tiền vệ sinh thiết bị. Với $x$ nguyên và $0\leq x\leq 150$, cần có bao nhiêu lượt thuê mỗi ngày để lợi nhuận lớn nhất?

Câu 3 (0,5 điểm). Một xe tự hành chạy dọc theo một đường thẳng; tọa độ của xe sau $t$ giây là $s(t)=t^3-9t^2+24t+5$ mét, với $0\leq t\leq 5$. Vạch xuất phát của xe cách gốc tọa độ $5$ m. Trong năm giây đầu, xe đi được tổng quãng đường bao nhiêu mét?

Câu 4 (0,5 điểm). Trong hệ trục $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là mét, một thiết bị bay đi từ $A(1;1;2)$ đến $B(4;5;2)$ rồi đến $C(4;5;14)$. Do quy định an toàn, thiết bị phải bay thêm $10\%$ tổng chiều dài hai chặng để dự phòng khi lập kế hoạch năng lượng. Độ dài dùng để lập kế hoạch là bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Câu 5 (0,5 điểm). Một kiện hàng chịu hai lực không đổi $\overrightarrow{F_1}=(3;0;4)$ N và $\overrightarrow{F_2}=(0;4;-1)$ N. Để cân bằng hai lực đó, người ta tác dụng thêm một lực thứ ba. Độ lớn của lực thứ ba bằng bao nhiêu niutơn? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Câu 6 (0,5 điểm). Một hộp bảo quản không nắp có đáy hình vuông, thể tích $32$ m³. Vật liệu làm đáy có giá $200$ nghìn đồng/m², vật liệu làm thành có giá $100$ nghìn đồng/m². Bỏ qua hao hụt và mép nối. Để chi phí vật liệu nhỏ nhất, cạnh đáy hộp bằng bao nhiêu mét?, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG, SAI

Trong mỗi câu: trả lời đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.