Đề kiểm tra Toán 12 - Chương Vectơ và hệ toạ độ trong không gian (Oxyz)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, vectơ đơn vị trên trục cao $Oz$ là

Câu 2 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{OM} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}$. Toạ độ của điểm $M$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(3; 0; -1)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(2; 4; -1)$ và $N(4; 0; 3)$. Toạ độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; -2; 3)$ và $\vec{v} = (3; 1; -2)$. Toạ độ của vectơ $\vec{a} = \vec{u} + \vec{v}$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a} = (2; -1; 3)$. Toạ độ của vectơ $-2\vec{a}$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, độ dài của vectơ $\vec{u} = (2; -1; -2)$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 2; -3)$ và $\vec{b} = (-2; 1; 1)$. Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $A(3; -2; 5)$ trên mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$ có toạ độ là

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1; 2; 0)$, $B(2; -1; 1)$ và $C(3; 2; 2)$. Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

Câu 11 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai điểm $A(1; 0; 2)$ và $B(-1; 2; 3)$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 1; -1)$ và $\vec{v} = (1; m; 3)$. Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi giá trị của $m$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau:
a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.
c) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C'D'}$.
d) $\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$.

Câu 2 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; -1; 1)$, $B(0; 3; 1)$ và $C(4; 1; -2)$.
a) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có toạ độ là $(-2; 4; 0)$.
b) Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $BC$ có toạ độ là $(2; 2; 0)$.
c) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ là $(2; 1; 0)$.
d) Toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là $D(6; -3; -2)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; -2)$ và $\vec{b} = (1; -2; 2)$.
a) Độ dài của vectơ $\vec{a}$ bằng $3$.
b) Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ bằng $-4$.
c) Toạ độ của vectơ $\vec{u} = \vec{a} - 2\vec{b}$ là $(0; 5; -6)$.
d) Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc vuông.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1; -2; 3)$.
a) Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên trục hoành $Ox$ là điểm $M_1(1; 0; 0)$.
b) Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng toạ độ $(Oyz)$ là điểm $M_2(0; -2; 3)$.
c) Khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc toạ độ $O$ bằng $\sqrt{14}$.
d) Điểm đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ có toạ độ là $(-1; 2; 3)$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u} = 3\vec{i} - 4\vec{k}$. Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$.

Câu 2 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; 1; -3)$ và $B(4; 5; 1)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Câu 3 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (3; -1; 2)$ và $\vec{b} = (2; 4; -1)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Câu 4 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -1; 2)$ và $B(3; 1; 4)$. Tìm cao độ của trung điểm đoạn thẳng $AB$.

Câu 5 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ trùng với gốc toạ độ $O$. Biết $A(2; -1; 3)$ và $B(1; 4; -2)$, tìm toạ độ hoành độ của điểm $C$.

Câu 6 (0,5 điểm). Một chiếc đèn chùm có khối lượng $m = 6\text{ kg}$ được treo cân bằng trong không gian nhờ ba sợi dây cáp như nhau buộc vào trần nhà. Khi chọn hệ toạ độ $Oxyz$ thích hợp, các lực căng của ba sợi dây được biểu diễn bởi ba vectơ $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ và trọng lực tác dụng lên đèn là $\vec{P} = (0; 0; -60)$ (đơn vị lực tính bằng Newton). Tính độ lớn tổng lực căng $\left|\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\right|$ theo đơn vị Newton.

--------- HẾT ---------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (Mỗi câu đúng được 0,25 điểm)

Hướng dẫn ngắn gọn một số câu:
- Câu 1: Trục $Oz$ có vectơ đơn vị $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
- Câu 2: $\overrightarrow{OM} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k} \Rightarrow M(2; -3; 1)$.
- Câu 3: $\overrightarrow{AB} = (3-1; 0-(-2); -1-3) = (2; 2; -4)$.
- Câu 7: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.
- Câu 8: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot(-2) + 2\cdot1 + (-3)\cdot1 = -2 + 2 - 3 = -3$.
- Câu 12: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow 2\cdot1 + 1\cdot m + (-1)\cdot3 = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

B. ĐÁP ÁN PHẦN II

- Điểm tối đa mỗi câu là 1,0 điểm.
- Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

C. ĐÁP ÁN PHẦN III (Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)