Đề kiểm tra Toán 12 - 6 câu trắc nghiệm trả lời ngắn (Tương tự Phần III)

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Trong một hoạt động toán học trải nghiệm, người ta thiết kế một sơ đồ mật mã gồm 6 vòng tròn đặt tại 3 đỉnh $A, B, C$ và 3 điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên ba cạnh $AB, BC, CA$ của một tam giác như hình vẽ.

[Hình vẽ]

Người tham gia cần điền 6 số đôi một khác nhau từ tập hợp $X = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ vào 6 vị trí $A, B, C, M, N, P$ sao cho tổng ba số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng nhau, tức là $A + M + B = B + N + C = C + P + A$. Có tất cả bao nhiêu cách điền 6 số thỏa mãn yêu cầu trên?

Câu 2 (0,5 điểm). Một cơ sở sản xuất đồ thủ công mỹ nghệ nếu sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x \in \mathbb{N}^*$, $10 \le x \le 3500$) thì tổng doanh thu thu về khi bán hết toàn bộ số sản phẩm đó là $R(x) = -0,1x^2 + 500x$ (nghìn đồng). Biết rằng tổng chi phí sản xuất cho $x$ sản phẩm trong tháng đó là $C(x) = 200x + 40000$ (nghìn đồng). Để lợi nhuận trong tháng thu được lớn hơn 160 triệu đồng, cơ sở này cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm?

Câu 3 (0,5 điểm). Một xưởng mộc gia công hai loại sản phẩm: bàn làm việc (loại I) và ghế tựa (loại II). Để sản xuất một chiếc bàn loại I cần 2 giờ cưa cắt gỗ và 1 giờ sơn ráp. Để sản xuất một chiếc ghế loại II cần 1 giờ cưa cắt gỗ và 2 giờ sơn ráp. Biết rằng mỗi tuần xưởng chỉ huy động tối đa 180 giờ cưa cắt gỗ và tối đa 150 giờ sơn ráp. Mỗi chiếc bàn loại I bán được tiền lãi là 300 nghìn đồng, mỗi chiếc ghế loại II bán được tiền lãi là 400 nghìn đồng. Giả sử toàn bộ sản phẩm làm ra đều được tiêu thụ hết, số tiền lãi lớn nhất mà xưởng mộc thu được trong một tuần bằng bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 4. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$, biết $SA = SB = 2\sqrt{5}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $BD$ và $SC$ bằng bao nhiêu?

[Hình vẽ]

Câu 5 (0,5 điểm). Có 3 ngăn tủ được đánh số thứ tự 1, 2, 3 và 6 tập hồ sơ khác nhau. Bạn Bình đem xếp hết cả 6 tập hồ sơ đó vào 3 ngăn tủ sao cho mỗi ngăn tủ đều có ít nhất một tập hồ sơ và trong mỗi ngăn, các tập hồ sơ được xếp chồng ngay ngắn thành một tập thẳng đứng. Hai cách xếp được coi là giống nhau nếu số lượng hồ sơ ở mỗi ngăn là như nhau và thứ tự từ trên xuống dưới của các tập hồ sơ trong từng ngăn là như nhau. Gọi $M$ là số cách xếp khác nhau của bạn Bình. Giá trị của $\dfrac{M}{100}$ bằng bao nhiêu?

Câu 6 (0,5 điểm). Một chi tiết trang trí bằng gỗ có dạng khối hình trụ với bán kính đáy $R = 5$ cm và chiều cao $h = 8$ cm. Để tạo điểm nhấn, người ta dùng mũi tiện khoét ở mặt đáy trên của chi tiết một phần có dạng chỏm cầu với chiều sâu khoét là 2 cm, biết chỏm cầu này được tạo thành do cắt một khối cầu có bán kính bằng 5 cm (như hình vẽ bên).

[Hình vẽ]

Thể tích phần gỗ còn lại của chi tiết trang trí đó bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN TRẢ LỜI NGẮN (PHẦN III)

Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm.

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1
Gọi số được điền vào các vị trí tương ứng là $A, B, C, M, N, P \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
Tổng cả 6 số là:

$$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$

Theo giả thiết: $A + M + B = B + N + C = C + P + A = k$.
Cộng tổng ba cạnh lại:

$$3k = (A + M + B) + (B + N + C) + (C + P + A) = (A + B + C + M + N + P) + (A + B + C)$$

$$\implies 3k = 21 + (A + B + C)$$

Do $3k$ và 21 đều chia hết cho 3 nên tổng $A + B + C$ phải chia hết cho 3.
Mặt khác:
- Giá trị nhỏ nhất của $A + B + C$ là $1 + 2 + 3 = 6$.
- Giá trị lớn nhất của $A + B + C$ là $4 + 5 + 6 = 15$.

Xét các trường hợp của bộ ba số $\{A, B, C\}$:
- Trường hợp 1: $A + B + C = 9 \implies 3k = 30 \implies k = 10$.
+ Nếu $\{A, B, C\} = \{1; 2; 6\}$: Khi đó $A + B = 3 \implies M = 10 - 3 = 7 \notin X$ (loại).
+ Nếu $\{A, B, C\} = \{2; 3; 4\}$: Khi đó $B + C = 7 \implies N = 10 - 7 = 3$, trùng với một đỉnh (loại).
+ Nếu $\{A, B, C\} = \{1; 3; 5\}$: Ba số còn lại để điền vào $M, N, P$ là $\{2; 4; 6\}$.
Ta có: $M = 10 - (1+3) = 6$; $N = 10 - (3+5) = 2$; $P = 10 - (5+1) = 4$. Bộ ba $\{6; 2; 4\}$ trùng khớp với ba số còn lại.
Với bộ đỉnh $\{1; 3; 5\}$, có $3! = 6$ cách xếp vào ba đỉnh $A, B, C$. Khi đó mỗi vị trí $M, N, P$ được xác định duy nhất theo hai đỉnh kề với nó. Vậy có 6 cách điền.

- Trường hợp 2: $A + B + C = 12 \implies 3k = 33 \implies k = 11$.
+ Nếu $\{A, B, C\} = \{1; 5; 6\}$: $A + B = 6 \implies M = 11 - 6 = 5$, trùng với đỉnh (loại).
+ Nếu $\{A, B, C\} = \{3; 4; 5\}$: $A + B = 7 \implies M = 11 - 7 = 4$, trùng với đỉnh (loại).
+ Nếu $\{A, B, C\} = \{2; 4; 6\}$: Ba số còn lại là $\{1; 3; 5\}$.
Ta có: $M = 11 - (2+4) = 5$; $N = 11 - (4+6) = 1$; $P = 11 - (6+2) = 3$. Bộ ba $\{5; 1; 3\}$ trùng khớp với ba số còn lại.
Với bộ đỉnh $\{2; 4; 6\}$, có $3! = 6$ cách xếp vào ba đỉnh. Khi đó các số ở giữa được xác định duy nhất. Vậy có 6 cách điền.

- Các trường hợp $A + B + C = 6$ hay $15$ đều dẫn tới số ở giữa không thuộc tập $X$.
Tổng số cách điền thỏa mãn là: $6 + 6 = 12$ cách.

Câu 2
Lợi nhuận thu được trong một tháng khi sản xuất và tiêu thụ $x$ sản phẩm là:

$$P(x) = R(x) - C(x) = (-0,1x^2 + 500x) - (200x + 40000) = -0,1x^2 + 300x - 40000 \text{ (nghìn đồng)}$$

Đổi 160 triệu đồng = $160\,000$ nghìn đồng.
Để lợi nhuận lớn hơn 160 triệu đồng thì:

$$-0,1x^2 + 300x - 40000 > 160\,000$$

$$\iff -0,1x^2 + 300x - 200\,000 > 0$$

$$\iff x^2 - 3000x + 2\,000\,000 < 0$$

$$\iff (x - 1000)(x - 2000) < 0 \iff 1000 < x < 2000$$

Vì $x \in \mathbb{N}^*$, giá trị nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn là $x = 1001$.

Câu 3
Gọi $x, y$ lần lượt là số bàn loại I và số ghế loại II được sản xuất trong một tuần ($x, y \ge 0; x, y \in \mathbb{N}$).
Từ giả thiết về thời gian gia công, ta có hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 2x + y \le 180 \\ x + 2y \le 150 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Số tiền lãi thu được là: $T = 300x + 400y$ (nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác $OAMB$ với tọa độ các đỉnh:
- $O(0; 0)$
- $A(90; 0)$ (giao điểm của $2x + y = 180$ với trục $Ox$)
- $B(0; 75)$ (giao điểm của $x + 2y = 150$ với trục $Oy$)
- $M(70; 40)$ (nghiệm của hệ $\begin{cases} 2x + y = 180 \\ x + 2y = 150 \end{cases}$)

Tính giá trị của $T(x; y) = 300x + 400y$ tại các đỉnh:
- $T(0; 0) = 0$
- $T(90; 0) = 300 \cdot 90 = 27\,000$ (nghìn đồng)
- $T(0; 75) = 400 \cdot 75 = 30\,000$ (nghìn đồng)
- $T(70; 40) = 300 \cdot 70 + 400 \cdot 40 = 21\,000 + 16\,000 = 37\,000$ (nghìn đồng) = 37 triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất có thể đạt được là 37 triệu đồng.

Câu 4
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH \perp AB$.
Mặt khác $(SAB) \perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AB \implies SH \perp (ABCD)$.
Tam giác $SHA$ vuông tại $H$:

$$AH = \dfrac{AB}{2} = 2 \implies SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = 4$$

Gọi $O = AC \cap BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD \perp AC$.
Hơn nữa $BD \perp SH$ (do $SH \perp (ABCD)$), suy ra $BD \perp (SAC)$.
Mặt phẳng $(SAC)$ chứa đường thẳng $SC$ và vuông góc với $BD$ tại $O$.
Kẻ $OK \perp SC$ ($K \in SC$). Khi đó:

$$\begin{cases} OK \perp SC \\ OK \perp BD \quad (\text{do } BD \perp (SAC)) \end{cases} \implies d(BD, SC) = OK$$

Ta tính độ dài $OK$:
Xét tam giác vuông $HBC$: $HC = \sqrt{HB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$.
Tam giác $SHC$ vuông tại $H$: $SC = \sqrt{SH^2 + HC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = 6$.
Mặt khác: $SA = 2\sqrt{5}$, $AC = 4\sqrt{2}$, $OC = \dfrac{AC}{2} = 2\sqrt{2}$.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $SAC$:

$$\cos \widehat{SCA} = \dfrac{SC^2 + AC^2 - SA^2}{2 \cdot SC \cdot AC} = \dfrac{6^2 + (4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2}{2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2}} = \dfrac{36 + 32 - 20}{48\sqrt{2}} = \dfrac{48}{48\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Suy ra $\widehat{SCA} = 45^\circ$.
Tam giác $OKC$ vuông tại $K$ có $\widehat{OCK} = 45^\circ$:

$$OK = OC \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2$$

Vậy khoảng cách cần tìm bằng 2.

Câu 5
Xét bài toán xếp 6 tập hồ sơ khác nhau vào 3 ngăn tủ thứ tự:
- Bước 1: Xếp 6 tập hồ sơ khác nhau thành một hàng ngang có thứ tự từ trái sang phải, có $6! = 720$ cách.
- Bước 2: Giữa 6 tập hồ sơ có 5 khoảng trống (khe). Để chia 6 tập hồ sơ thành 3 phần sao cho mỗi phần có ít nhất một tập hồ sơ tương ứng đặt vào 3 ngăn tủ từ 1 đến 3, ta chọn 2 vị trí trong 5 khoảng trống để đặt vách ngăn.
Số cách chọn vị trí đặt vách ngăn là $C_5^2 = 10$ cách.

Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là:

$$M = 6! \times C_5^2 = 720 \times 10 = 7200 \text{ cách}$$

Giá trị của $\dfrac{M}{100}$ là:

$$\dfrac{7200}{100} = 72$$

Câu 6
Thể tích khối hình trụ ban đầu là:

$$V_{\text{trụ}} = \pi R^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = 200\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Phần khoét bỏ có dạng chỏm cầu với chiều cao $h_0 = 2$ cm được cắt từ khối cầu bán kính $R_0 = 5$ cm.
Thể tích của chỏm cầu được tính theo công thức:

$$V_{\text{chỏm}} = \pi h_0^2 \left(R_0 - \dfrac{h_0}{3}\right) = \pi \cdot 2^2 \left(5 - \dfrac{2}{3}\right) = 4\pi \cdot \dfrac{13}{3} = \dfrac{52\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}$$

(Học sinh cũng có thể tính bằng tích phân: chọn trục $Ox$ hướng dọc theo trục khối cầu, $V_{\text{chỏm}} = \pi \int_{3}^{5} (5^2 - x^2) \mathrm{d}x = \dfrac{52\pi}{3}$ cm$^3$).

Thể tích khối gỗ còn lại là:

$$V = V_{\text{trụ}} - V_{\text{chỏm}} = 200\pi - \dfrac{52\pi}{3} = \dfrac{548\pi}{3} \approx 573,86 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Làm tròn đến hàng đơn vị theo yêu cầu đề bài, ta được kết quả là 574.