Đề kiểm tra thường xuyên môn Toán lớp 12 (mã đề 209) năm 2026

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ $(a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 2. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$, công bội $q = -2$. Số hạng thứ 5 của cấp số nhân đó là:

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(Oyz)$ và $(Oxz)$ lần lượt là $M_1(0; 3; -5)$ và $M_2(-2; 0; -5)$. Tọa độ điểm $M$ là:

Câu 4. Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 3a$, $AB = a$. Khi đó, côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB'}$ và $\overrightarrow{A'C}$ bằng:

Câu 5. Cho $\log_a b = 5$. Giá trị của biểu thức $\log_a(a^2 b)$ bằng:

Câu 6. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

[Bảng biến thiên]

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

Câu 7. Cho khối chóp $S.ABC$ có chiều cao bằng $3$, đáy là tam giác $ABC$ có diện tích bằng $10$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3; 1; -2)$ và $B(2; -3; 5)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$. Tọa độ điểm $M$ là:

Câu 9. Cho hàm số $f(x) = \dfrac{ax^2 + 2x - 5}{x^2 - 3x + 2}$ (với $a$ là hằng số). Biết rằng $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 1$. Giá trị của $f(1)$ bằng:

Câu 10. Bạn An có một tấm bìa hình vuông cạnh 25 cm. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp và dán lại thành một hình hộp chữ nhật (không có nắp). Để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là:

Câu 11. Tại một hội thảo quốc tế có 50 nhà khoa học, trong đó có 31 người thành thạo tiếng Anh, 21 người thành thạo tiếng Pháp và 5 người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người trong hội thảo. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là:

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và $SA = \sqrt{5}$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = 2$, $\widehat{ABC} = 135^\circ$. Số đo của góc nhị diện $[A, SC, B]$ bằng bao nhiêu?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x) = 90 - 18\ln(x + 2)$.

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-2; +\infty)$.

b) Tập xác định của hàm số đã cho là $D = (-2; +\infty)$.

c) Bất phương trình $f(x) \geq 42$ có đúng 13 nghiệm nguyên.

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x) = f(x) + 3x$ trên đoạn $[1; 5]$ bằng $105 - 18\ln 7$.

Câu 2. Một hộp chứa các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau gồm 4 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi từ hộp, trong đó có $x$ viên bi trắng, $y$ viên bi đỏ và $z$ viên bi xanh.

a) Số phần tử của không gian mẫu là $C_{17}^5$.

b) Xác suất lấy được 5 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ lớn hơn $0{,}93$.

c) Xác suất lấy được 5 viên bi đều màu đỏ bằng $\dfrac{3}{884}$.

d) Xác suất lấy được 5 viên bi đủ cả ba màu, đồng thời ba số $z - x$, $x - y$, $y - z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng $\dfrac{105}{442}$.

Câu 3. Trong một nhà máy thông minh, hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập để điều hành các thiết bị tự động, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Mặt sàn nhà máy nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một bộ định tuyến phát sóng Wi-Fi được treo tại vị trí $A(1; 2; 12)$, một cảm biến đo chấn động được gắn ngầm dưới nền nhà máy tại vị trí $B(10; 14; -8)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt sàn. Một robot tự hành $M$ di chuyển trên mặt sàn và luôn giữ khoảng cách đến bộ định tuyến $A$ bằng 15 m. Biết rằng robot $M$ có nhiệm vụ đồng bộ dữ liệu với cảm biến $B$ và quá trình này đạt độ ổn định cao nhất khi khoảng cách giữa robot và cảm biến là nhỏ nhất.

[Hình vẽ]

a) Điểm $H$ có tọa độ là $(1; 2; 0)$.

b) Khoảng cách từ cảm biến $B$ đến mặt sàn nhà máy là 10 m.

c) Trong quá trình di chuyển, khoảng cách từ $M$ đến điểm $H$ luôn không đổi và bằng 3 m.

d) Khi quá trình đồng bộ dữ liệu đạt độ ổn định cao nhất, khoảng cách giữa robot $M$ và cảm biến $B$ là 10 m.

Câu 4. Khảo sát thời gian tự học tại nhà trong một đêm (tính theo phút) của 35 học sinh thuộc hai nhóm: Nhóm A và B. Kết quả được thu thập và tổng hợp trong bảng tần số ghép nhóm sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm cho cả 35 học sinh là $R = 150$ (phút).

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho cả 35 học sinh là $R = 62{,}5$ (phút), (làm tròn đến hàng phần chục).

c) Thời gian tự học của nhóm B đồng đều hơn nhóm A.

d) Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 35 học sinh trên. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn có cả hai nhóm A, B và có đúng 2 học sinh tự học từ 180 phút trở lên là $\dfrac{5558}{52360}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100 km. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh, trong đó bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3; 2; 1)$, $B(2; 6; 4)$, $C(4; 5; 7)$ và $D(6; 4; 5)$. Giả sử lúc đầu vật $M$ ở $O$, sau đó 2 phút cả bốn vệ tinh bắn tín hiệu về vật $M$ và đo được $MA = 1$, $MB = 5$, $MC = 7$ và $MD = 6$. Nếu coi như vật $M$ chuyển động thẳng đều thì tốc độ của vật $M$ bằng bao nhiêu (đơn vị: m/s)?

Câu 2. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A'A = A'B = A'C$, cạnh bên $AA' = 4$, đáy $ABC$ là tam giác đều. Biết mặt phẳng $(BCC'B')$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $60^\circ$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

Câu 3. Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB = 3$ m, $BB' = BC = 4$ m, tại $C$ có một tổ kiến. Kiến 1 xuất phát từ $A'$ bò về tổ với vận tốc 0,02 m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A'B$, $BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc 0,06 m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp $DC'$, $C'C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi khi kiến 2 còn cách tổ 1 m thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

[Hình vẽ]

Câu 4. Một công ty A chuyên sản xuất giấy đã nhận được một đơn đặt hàng theo tháng từ đối tác B, mỗi tháng công ty A phải cung cấp cho đối tác B ít nhất 2800 kg giấy in và 2400 kg giấy carton. Công ty A sử dụng hai loại nguyên liệu là gỗ keo và gỗ bạch đàn. Từ một tấn gỗ keo sản xuất ra được 200 kg giấy in và 300 kg giấy carton; từ một tấn gỗ bạch đàn sản xuất ra được 300 kg giấy in và 150 kg giấy carton. Một tấn gỗ keo có giá là 1,2 triệu đồng và một tấn gỗ bạch đàn có giá là 1,5 triệu đồng. Biết mỗi tháng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ cung cấp không quá 9 tấn gỗ keo và không quá 10 tấn gỗ bạch đàn. Số tiền nhỏ nhất mà công ty A cần dùng mỗi tháng để mua nguyên liệu là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 5. Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 1. Cung $AC$ là một phần tư đường tròn tâm $D$, bán kính $AD$. Giả sử $P$ là điểm thay đổi trên cung $AC$ ($P$ khác $A$ và $C$). Tiếp tuyến tại điểm $P$ của cung $AC$ cắt các đoạn thẳng $AB$, $BC$ theo thứ tự tại các điểm $M$, $N$. Diện tích lớn nhất của tam giác $BMN$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

[Hình vẽ]

Câu 6. Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ mười số nguyên $2, 3, \ldots, 11$ và điền vào các ô của hình dưới đây (mỗi ô điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi hàng (kể cả hàng có một ô) bằng nhau?

[Hình vẽ]

--------- HẾT ---------

(Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.
Dựa vào đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy trên khoảng $(-1; 1)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.
Chọn B.

Câu 2.
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
Do đó số hạng thứ năm là:
$u_5 = u_1 \cdot q^4 = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48$.
Chọn C.

Câu 3.
Gọi tọa độ điểm $M$ là $(x; y; z)$.
Hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $(0; y; z) = (0; 3; -5) \Rightarrow y = 3, z = -5$.
Hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $(x; 0; z) = (-2; 0; -5) \Rightarrow x = -2$.
Vậy $M(-2; 3; -5)$.
Chọn C.

Câu 4.
Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA'}$.
Do lăng trụ đều nên $AA' \perp (ABC) \Rightarrow \overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ và $\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $\widehat{BAC} = 60^\circ$ và $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}$.
Tích vô hướng:

$$\overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{A'C} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'})(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA'}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - AA'^2 = \dfrac{a^2}{2} - (3a)^2 = -\dfrac{17a^2}{2}$$

Độ dài hai vectơ:

$$|\overrightarrow{AB'}| = \sqrt{AB^2 + BB'^2} = \sqrt{a^2 + 9a^2} = a\sqrt{10}$$

$$|\overrightarrow{A'C}| = \sqrt{A'A^2 + AC^2} = \sqrt{9a^2 + a^2} = a\sqrt{10}$$

Suy ra:

$$\cos\left(\overrightarrow{AB'}, \overrightarrow{A'C}\right) = \dfrac{\overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{A'C}}{|\overrightarrow{AB'}| \cdot |\overrightarrow{A'C}|} = \dfrac{-\dfrac{17a^2}{2}}{10a^2} = -\dfrac{17}{20}$$

Chọn C.

Câu 5.
Ta có:
$\log_a(a^2 b) = \log_a(a^2) + \log_a b = 2 + 5 = 7$.
Chọn D.

Câu 6.
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$:
- Tại $x = -1$, $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x = -1$ là điểm cực đại.
- Tại $x = 0$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 0$ là điểm cực tiểu.
- Tại $x = 1$, $f'(x)$ không xác định nhưng $f(x)$ liên tục và $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 1$ là điểm cực đại.
- Tại $x = 2$, $f'(x)$ không đổi dấu (âm sang âm).
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn C.

Câu 7.
Thể tích khối chóp là:
$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 10 \cdot 3 = 10$.
Chọn D.

Câu 8.
Vì $M$ thuộc đoạn $AB$ và $MA = 2MB$ nên $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow M - A = 2(B - M) \Leftrightarrow 3\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$.
Tọa độ điểm $M$:

$$x_M = \dfrac{x_A + 2x_B}{3} = \dfrac{3 + 2 \cdot 2}{3} = \dfrac{7}{3}$$

$$y_M = \dfrac{y_A + 2y_B}{3} = \dfrac{1 + 2 \cdot (-3)}{3} = -\dfrac{5}{3}$$

$$z_M = \dfrac{z_A + 2z_B}{3} = \dfrac{-2 + 2 \cdot 5}{3} = \dfrac{8}{3}$$

Vậy $M\left(\dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3}; \dfrac{8}{3}\right)$.
Chọn A.

Câu 9.
Ta có $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Để hàm số liên tục tại điểm $x = 1$ thì tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x \to 1} f(x)$, do đó tử số phải nhận $x = 1$ làm nghiệm:

$$a(1)^2 + 2(1) - 5 = 0 \Leftrightarrow a - 3 = 0 \Leftrightarrow a = 3$$

Khi đó tử số là $3x^2 + 2x - 5 = (x - 1)(3x + 5)$.
Giới hạn:

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(3x + 5)}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{3x + 5}{x - 2} = \dfrac{3(1) + 5}{1 - 2} = -8$$

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = -8$.
Chọn B.

Câu 10.
Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ bị cắt là $x$ (cm), với $0 < x < 12{,}5$.
Khi gấp lại, đáy hộp là hình vuông có cạnh $25 - 2x$ (cm) và chiều cao là $x$ (cm).
Thể tích của khối hộp là:

$$V(x) = x(25 - 2x)^2 = 4x^3 - 100x^2 + 625x$$

Đạo hàm:

$$V'(x) = 12x^2 - 200x + 625$$

Cho $V'(x) = 0 \Leftrightarrow (2x - 25)(6x - 25) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{25}{6}$ (thỏa mãn $0 < x < 12{,}5$).
Bảng biến thiên cho thấy $V(x)$ đạt cực đại tại $x = \dfrac{25}{6}$ cm.
Chọn A.

Câu 11.
Gọi $A$ là tập hợp các nhà khoa học thành thạo tiếng Anh, $B$ là tập hợp các nhà khoa học thành thạo tiếng Pháp.
Theo đề bài, $|A| = 31$, $|B| = 21$, $|A \cap B| = 5$.
Số nhà khoa học thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng là:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 31 + 21 - 5 = 47$$

Xác suất để chọn được người thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng là:

$$P = \dfrac{47}{50}$$

Chọn A.

Câu 12.
Trong tam giác $ABC$, theo định lí côsin:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos 135^\circ = 2 + 4 - 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 10 \Rightarrow AC = \sqrt{10}$$

Diện tích tam giác $ABC$:

$$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \sin 135^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1$$

Kẻ đường cao $BK$ của $\triangle ABC$ ($K \in AC$):

$$BK = \dfrac{2S_{\triangle ABC}}{AC} = \dfrac{2}{\sqrt{10}}$$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BK$, kết hợp $BK \perp AC \Rightarrow BK \perp (SAC) \Rightarrow BK \perp SC$.
Từ $K$ kẻ $KH \perp SC$ ($H \in SC$). Khi đó $SC \perp (BKH) \Rightarrow SC \perp BH$.
Do đó góc nhị diện $[A, SC, B]$ chính là $\widehat{BHK}$.
Vì $BK \perp (SAC) \supset KH$ nên $\triangle BKH$ vuông tại $K$.
Trong $\triangle ABK$ vuông tại $K$:

$$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{2 - \dfrac{4}{10}} = \dfrac{4}{\sqrt{10}} \Rightarrow KC = AC - AK = \sqrt{10} - \dfrac{4}{\sqrt{10}} = \dfrac{6}{\sqrt{10}}$$

Trong tam giác vuông $SAC$ tại $A$:

$$\sin \widehat{SCA} = \dfrac{SA}{SC} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{SA^2 + AC^2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5 + 10}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Trong tam giác vuông $KHC$ tại $H$:

$$KH = KC \cdot \sin \widehat{SCA} = \dfrac{6}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$$

Suy ra:

$$\tan \widehat{BHK} = \dfrac{BK}{KH} = \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{10}}}{\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{BHK} = 30^\circ$$

Chọn A.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1.
Xét hàm số $f(x) = 90 - 18\ln(x + 2)$:
- a) Đúng. Ta có $f'(x) = -\dfrac{18}{x + 2} < 0$ với mọi $x \in (-2; +\infty)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; +\infty)$.
- b) Đúng. Biểu thức $\ln(x + 2)$ xác định khi $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$. Do đó tập xác định là $D = (-2; +\infty)$.
- c) Sai. Bất phương trình:

$$90 - 18\ln(x + 2) \geq 42 \Leftrightarrow 18\ln(x + 2) \leq 48 \Leftrightarrow \ln(x + 2) \leq \dfrac{8}{3} \Leftrightarrow x + 2 \leq e^{8/3}$$

Kết hợp điều kiện $x > -2$, ta được $-2 < x \leq e^{8/3} - 2 \approx 12{,}39$.
Các nghiệm nguyên là $x \in \{-1; 0; 1; 2; \ldots; 12\}$, có tất cả 14 nghiệm nguyên (khẳng định có 13 nghiệm nguyên là sai).
- d) Sai. Xét $g(x) = 90 - 18\ln(x + 2) + 3x$ trên $[1; 5]$:

$$g'(x) = -\dfrac{18}{x + 2} + 3 = \dfrac{3x - 12}{x + 2} = 0 \Leftrightarrow x = 4 \in [1; 5]$$

Bảng biến thiên cho thấy $g(x)$ nghịch biến trên $[1; 4]$ và đồng biến trên $[4; 5]$.
Do đó $\min_{[1; 5]} g(x) = g(4) = 90 - 18\ln 6 + 12 = 102 - 18\ln 6 \neq 105 - 18\ln 7$.

Câu 2.
Hộp có 17 viên bi gồm 4 trắng, 6 đỏ, 7 xanh. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi:
- a) Đúng. Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 5 viên từ 17 viên: $n(\Omega) = C_{17}^5 = 6188$.
- b) Sai. Biến cố đối của "có ít nhất một viên bi đỏ" là "không có viên bi đỏ nào" (lấy 5 viên từ 11 viên trắng và xanh):
Số cách chọn là $C_{11}^5 = 462$.
Xác suất có ít nhất một viên đỏ là:

$$P = 1 - \dfrac{C_{11}^5}{C_{17}^5} = 1 - \dfrac{462}{6188} = \dfrac{409}{442} \approx 0{,}9253 < 0{,}93$$

- c) Sai. Số cách lấy 5 viên bi đều màu đỏ là $C_6^5 = 6$.
Xác suất là $\dfrac{6}{6188} = \dfrac{3}{3094} \neq \dfrac{3}{884}$.
- d) Đúng. Ba số $z - x$, $x - y$, $y - z$ lập thành cấp số cộng khi:

$$(z - x) + (y - z) = 2(x - y) \Leftrightarrow y - x = 2x - 2y \Leftrightarrow 3x = 3y \Leftrightarrow x = y$$

Vì lấy đủ ba màu nên $x, y, z \geq 1$ và $x + y + z = 5$.
Do $x = y$ nên $2x + z = 5$:
+ Nếu $x = y = 1 \Rightarrow z = 3$: số cách là $C_4^1 \cdot C_6^1 \cdot C_7^3 = 4 \cdot 6 \cdot 35 = 840$.
+ Nếu $x = y = 2 \Rightarrow z = 1$: số cách là $C_4^2 \cdot C_6^2 \cdot C_7^1 = 6 \cdot 15 \cdot 7 = 630$.
Tổng số cách thuận lợi là $840 + 630 = 1470$.
Xác suất là $\dfrac{1470}{6188} = \dfrac{105}{442}$.

Câu 3.
Trong không gian $Oxyz$ với mặt sàn $(Oxy)$, $A(1; 2; 12)$, $B(10; 14; -8)$:
- a) Đúng. Hình chiếu vuông góc của $A(1; 2; 12)$ lên $(Oxy)$ có cao độ bằng 0, tức là $H(1; 2; 0)$.
- b) Sai. Khoảng cách từ $B(10; 14; -8)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ là $|z_B| = |-8| = 8$ m (không phải 10 m).
- c) Sai. Vì $AH \perp (Oxy)$ và $M \in (Oxy)$ nên tam giác $AHM$ vuông tại $H$.
Ta có $AH = 12$ m, $AM = 15$ m nên $HM = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ m (không phải 3 m).
- d) Đúng. Quỹ đạo của robot $M$ trên mặt sàn là đường tròn tâm $H(1; 2; 0)$ bán kính $R = 9$ m.
Hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(Oxy)$ là $B'(10; 14; 0)$.
Độ dài $HB' = \sqrt{(10 - 1)^2 + (14 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ m.
Vì $M \in (Oxy)$ và $B'(10; 14; 0)$ là hình chiếu của $B$ lên $(Oxy)$ với $BB' \perp (Oxy)$, $BB' = 8$ m:

$$MB = \sqrt{MB'^2 + BB'^2} = \sqrt{MB'^2 + 64}$$

$MB$ nhỏ nhất khi $MB'$ nhỏ nhất. Vì $M$ thuộc đường tròn $(H; 9)$ và $B'$ nằm ngoài đường tròn với $HB' = 15$, giá trị nhỏ nhất của $MB'$ là:

$$MB'_{\min} = HB' - R = 15 - 9 = 6\text{ m}$$

Khi đó khoảng cách nhỏ nhất giữa $M$ và $B$ là:

$$MB_{\min} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ m}$$

Câu 4.
- a) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R = 210 - 60 = 150$ (phút).
- b) Đúng. Cỡ mẫu $n = 35$.
Tần số tích lũy: $cf_1 = 6$, $cf_2 = 12$, $cf_3 = 23$, $cf_4 = 29$, $cf_5 = 35$.
Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$: do $\dfrac{n}{4} = 8{,}75$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[90; 120)$:

$$Q_1 = 90 + \dfrac{8{,}75 - 6}{6} \cdot (120 - 90) = 90 + 13{,}75 = 103{,}75$$

Tứ phân vị thứ ba $Q_3$: do $\dfrac{3n}{4} = 26{,}25$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[150; 180)$:

$$Q_3 = 150 + \dfrac{26{,}25 - 23}{6} \cdot (180 - 150) = 150 + 16{,}25 = 166{,}25$$

Khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 166{,}25 - 103{,}75 = 62{,}5\text{ (phút)}$$

- c) Sai. Tính phương sai của hai nhóm:
Giá trị đại diện các khoảng lần lượt là: $75, 105, 135, 165, 195$.
Cỡ mẫu nhóm A là $n_A = 19$, trung bình cộng $\bar{x}_A = 135$, phương sai:

$$s_A^2 = \dfrac{2(75-135)^2 + 4(105-135)^2 + 7(135-135)^2 + 4(165-135)^2 + 2(195-135)^2}{19} = \dfrac{21600}{19} \approx 1136{,}8$$

Cỡ mẫu nhóm B là $n_B = 16$, trung bình cộng $\bar{x}_B = 135$, phương sai:

$$s_B^2 = \dfrac{4(75-135)^2 + 2(105-135)^2 + 4(135-135)^2 + 2(165-135)^2 + 4(195-135)^2}{16} = \dfrac{32400}{16} = 2025$$

Vì $s_A^2 < s_B^2$ nên thời gian tự học của nhóm A đồng đều hơn nhóm B.
- d) Đúng. Số cách chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 35 học sinh là $C_{35}^4 = 52360$.
Số học sinh tự học $\geq 180$ phút là 6 học sinh (2 học sinh nhóm A, 4 học sinh nhóm B).
Số học sinh tự học $< 180$ phút là 29 học sinh (17 học sinh nhóm A, 12 học sinh nhóm B).
Số cách chọn 2 học sinh $\geq 180$ phút và 2 học sinh $< 180$ phút là $C_6^2 \cdot C_{29}^2 = 15 \cdot 406 = 6090$.
Trừ các trường hợp 4 học sinh được chọn chỉ thuộc cùng một nhóm:
+ Chỉ gồm học sinh nhóm A: $C_2^2 \cdot C_{17}^2 = 1 \cdot 136 = 136$ cách.
+ Chỉ gồm học sinh nhóm B: $C_4^2 \cdot C_{12}^2 = 6 \cdot 66 = 396$ cách.
Số cách thỏa mãn là $6090 - 136 - 396 = 5558$.
Xác suất là $\dfrac{5558}{52360}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.
Gọi $M(x; y; z)$ là tọa độ của vật tại thời điểm sau 2 phút.
Theo giả thiết:

$$\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 1 \\ (x - 2)^2 + (y - 6)^2 + (z - 4)^2 = 25 \\ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 + (z - 7)^2 = 49 \\ (x - 6)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 36 \end{cases}$$

Khai triển và trừ phương trình thứ nhất cho ba phương trình còn lại, ta được hệ phương trình bậc nhất:

$$\begin{cases} -x + 4y + 3z = 9 \\ x + 3y + 6z = 14 \\ 3x + 2y + 4z = 14 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$$

Thay $(2; 2; 1)$ vào phương trình đầu: $(2-3)^2 + (2-2)^2 + (1-1)^2 = 1$ (thỏa mãn).
Vậy $M(2; 2; 1)$.
Quãng đường vật di chuyển từ gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ là:

$$OM = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\text{ đơn vị độ dài} = 3 \times 100\text{ km} = 300\text{ km} = 300\,000\text{ m}$$

Thời gian di chuyển: $t = 2\text{ phút} = 120\text{ s}$.
Tốc độ của vật:

$$v = \dfrac{300\,000}{120} = 2500\text{ m/s}$$

Đáp án: 2500

Câu 2.
Vì $A'A = A'B = A'C$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, gọi là $G$.
Gọi $a$ là độ dài cạnh của tam giác đều $ABC$. Bán kính ngoại tiếp đáy là $AG = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Ta có $AM \perp BC$. Vì $A'G \perp (ABC)$ nên $A'G \perp BC$, suy ra $BC \perp (A'AM)$.
Mặt phẳng $(BCC'B')$ chứa cạnh $BC$ và song song với cạnh bên $AA'$.
Vì $BC \perp (A'AM)$ nên góc giữa mặt phẳng $(BCC'B')$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$ chính là góc giữa đường thẳng trong $(A'AM)$ song song với $AA'$ và đường thẳng $AM$.
Vì $A, G, M$ thẳng hàng nên góc này chính là góc nhọn giữa $AA'$ và $AG$, tức là $\widehat{A'AG} = 60^\circ$.
Trong tam giác vuông $A'GA$ tại $G$:

$$A'G = AA' \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

$$AG = AA' \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$$

Từ $AG = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = 2 \Rightarrow a = 2\sqrt{3}$.
Diện tích đáy:

$$S_{\triangle ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$$

Thể tích của khối lăng trụ:

$$V = S_{\triangle ABC} \cdot A'G = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 18$$

Đáp án: 18

Câu 3.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $B(0; 0; 0)$, tia $BA$ dọc theo trục $Ox$, tia $BC$ dọc theo trục $Oy$, tia $BB'$ dọc theo trục $Oz$.
Khi đó tọa độ các điểm là:
$B(0; 0; 0)$, $A(3; 0; 0)$, $A'(3; 0; 4)$, $C(0; 4; 0)$, $C'(0; 4; 4)$, $D(3; 4; 0)$.
- Kiến 2: bò theo đoạn $DC'$ rồi $C'C$.
Độ dài $DC' = \sqrt{(0 - 3)^2 + (4 - 4)^2 + (4 - 0)^2} = 5$ m; độ dài $C'C = 4$ m.
Khi kiến 2 còn cách tổ $C$ 1 m thì kiến 2 đang nằm trên đoạn thẳng $C'C$ và cách $C'$ một khoảng 3 m.
Tọa độ kiến 2 lúc này là $K_2(0; 4; 1)$.
Tổng quãng đường kiến 2 đã bò: $s_2 = 5 + 3 = 8$ m.
Thời gian đã bò: $t = \dfrac{8}{0{,}06} = \dfrac{400}{3}$ giây.
- Kiến 1: bò theo đoạn $A'B$ rồi $BC$.
Độ dài $A'B = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = 5$ m.
Quãng đường kiến 1 bò được sau thời gian $t$:

$$s_1 = v_1 \cdot t = 0{,}02 \cdot \dfrac{400}{3} = \dfrac{8}{3}\text{ m} < 5\text{ m}$$

Do đó kiến 1 vẫn đang trên đoạn $A'B$.
Vectơ $\overrightarrow{A'B} = (-3; 0; -4) \Rightarrow \dfrac{\overrightarrow{A'B}}{|\overrightarrow{A'B}|} = \left(-\dfrac{3}{5}; 0; -\dfrac{4}{5}\right)$.
Tọa độ kiến 1 tại thời điểm đó:

$$K_1 = A' + s_1 \left(-\dfrac{3}{5}; 0; -\dfrac{4}{5}\right) = \left(3 - \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{3}{5}; 0; 4 - \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{4}{5}\right) = \left(\dfrac{7}{5}; 0; \dfrac{28}{15}\right)$$