Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng – Toán 12

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x - 3y + z - 5 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là

Câu 2 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - z + 3 = 0$?

Câu 3 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là

Câu 4 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1; -2; 3)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (2; 1; -1)$ làm vectơ pháp tuyến là

Câu 5 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 0; 0)$, $B(0; -3; 0)$, $C(0; 0; 4)$. Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng $(ABC)$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{-1} = 1$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; 0; -2)$ và song song với mặt phẳng $(\beta): 2x - y + 3z + 1 = 0$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(1; 2; -1)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - 2y + z + 10 = 0$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 1 = 0$ và $(Q): 4x - 2y + 4z + 5 = 0$. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 0; 1)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là

Câu 11 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, côsin của góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $(Q): 2x - 2y + z + 3 = 0$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; 2; 1)$ đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(Q): x - y = 0$ và $(R): y - z = 0$ có phương trình là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$, $C(0; 0; 2)$.
a) Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình theo đoạn chắn là $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{2} = 1$.
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ có tọa độ là $\vec{n} = (2; 1; 2)$.
c) Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\dfrac{4}{3}$.
d) Góc giữa mặt phẳng $(ABC)$ và mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ bằng $60^\circ$.

Câu 2 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1; 2; -3)$ và mặt phẳng $(P): 2x - 2y + z + 9 = 0$.
a) Điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(P)$.
b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $4$.
c) Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $2x - 2y + z + 5 = 0$.
d) Mặt cầu $(S)$ có tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 16$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(\alpha): 2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(\beta): 2x - y + 2z + 6 = 0$.
a) Điểm $M(1; 1; 1)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ bằng $3$.
c) Mặt phẳng $(\gamma)$ song song và cách đều hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ có phương trình là $2x - y + 2z + 1{,}5 = 0$.
d) Điểm $N(0; 0; 0)$ cách đều hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong một căn phòng triển lãm có dạng hình hộp chữ nhật được thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), mặt sàn trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$. Một tấm vách kính ngăn trang trí nằm trên mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 2)$ và $C(0; 3; 1)$.
a) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB} = (4; 0; 2)$ và $\overrightarrow{AC} = (0; 3; 1)$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa vách kính có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; 2; -6)$.
c) Góc nghiêng giữa tấm vách kính và sàn nhà (làm tròn đến độ) xấp xỉ bằng $31^\circ$.
d) Một thiết bị chiếu sáng đặt tại vị trí $S(2; 1; 3)$ trên trần nhà. Khoảng cách từ thiết bị chiếu sáng $S$ đến mặt phẳng vách kính $(P)$ bằng $\dfrac{10}{7}$ m.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, tìm giá trị của tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P): mx - 2y + 3z - 1 = 0$ và $(Q): 2x + my - z + 4 = 0$ vuông góc với nhau.

Câu 2 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách từ điểm $A(2; -1; 5)$ đến mặt phẳng $(P): 3x - 4z + 4 = 0$.

Câu 3 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; 0)$ và $B(-1; 0; 2)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + y + z - 3 = 0$ có phương trình dạng $ax + by + cz + d = 0$ (với $a, b, c, d$ là các số nguyên tối giản, $a > 0$). Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c + d$.

Câu 4 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + y - 2z + 1 = 0$ và $(Q): 2x - y + z - 3 = 0$. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3; 4; 5)$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x - y + 2z - 3 = 0$. Gọi $H(x_0; y_0; z_0)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(\alpha)$. Tính tổng $S = x_0 + y_0 + z_0$.

Câu 6 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị đo là mét), một mái che của khán đài sân vận động nằm trên mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 12 = 0$. Tại vị trí $A(3; 5; 8)$ người ta muốn treo một thiết bị cảm biến vuông góc xuống bề mặt mái che. Tính độ dài ngắn nhất của dây cáp nối từ thiết bị $A$ đến mái che.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Cán bộ chấm thi chấm đúng theo hướng dẫn chấm và thang điểm của tổ chuyên môn.
- Thí sinh làm bài theo cách khác đúng với kiến thức trong chương trình vẫn được cho điểm tối đa của câu/ý đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các phần, không làm tròn số điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

(Riêng Câu 2, cả hai điểm $M(1; -2; 0)$ ở phương án A và $N(0; -1; 1)$ ở phương án B khi thay vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đều thỏa mãn $x + 2y - z + 3 = 0$. Thí sinh chọn A hoặc B đều được tính trọn 0,25 điểm).

Tóm tắt căn cứ lựa chọn đáp án:
- Câu 1 (B): $(P): 2x - 3y + z - 5 = 0 \Rightarrow \vec{n}_2 = (2; -3; 1)$.
- Câu 2 (A/B): Thay tọa độ $M(1; -2; 0)$ vào phương trình: $1 + 2(-2) - 0 + 3 = 0$ (thỏa mãn). Tương tự $N(0; -1; 1)$ cũng thỏa mãn.
- Câu 3 (C): Mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$.
- Câu 4 (A): Phương trình mặt phẳng là $2(x - 1) + 1(y + 2) - 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z + 3 = 0$.
- Câu 5 (C): Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{-3} + \dfrac{z}{4} = 1$.
- Câu 6 (B): Phương trình $(P) \Leftrightarrow 2x + 3y - 6z - 6 = 0 \Rightarrow \vec{n} = (2; 3; -6)$.
- Câu 7 (A): Mặt phẳng song song với $(\beta)$ có dạng $2x - y + 3z + D = 0$ ($D \ne 1$). Đi qua $A(1; 0; -2) \Rightarrow 2(1) - 0 + 3(-2) + D = 0 \Rightarrow D = 4$. Vậy phương trình là $2x - y + 3z + 4 = 0$.
- Câu 8 (B): $d(M, (P)) = \dfrac{|2(1) - 2(2) + (-1) + 10|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \dfrac{7}{3}$.
- Câu 9 (B): Ta có $\dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{2}{4} \ne \dfrac{-1}{5}$ nên hai mặt phẳng song song với nhau.
- Câu 10 (A): Trung điểm $AB$ là $I(2; 1; 2)$, $\overrightarrow{AB} = (2; -2; -2) = 2(1; -1; -1)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ nhận $\vec{n} = (1; -1; -1)$ làm VTPT: $1(x - 2) - 1(y - 1) - 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0$.
- Câu 11 (A): $\vec{n}_P = (1; 2; -2)$, $\vec{n}_Q = (2; -2; 1) \Rightarrow \cos((P), (Q)) = \dfrac{|1\cdot 2 + 2(-2) + (-2)\cdot 1|}{\sqrt{1+4+4}\cdot\sqrt{4+4+1}} = \dfrac{|-4|}{3\cdot 3} = \dfrac{4}{9}$.
- Câu 12 (A): $\vec{n}_Q = (1; -1; 0)$, $\vec{n}_R = (0; 1; -1) \Rightarrow \vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{n}_R] = (1; 1; 1)$. Phương trình qua $M(1; 2; 1)$: $1(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0$.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm theo quy định của Bộ GD&ĐT cho từng câu:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm

Bảng đáp án Đúng / Sai

Hướng dẫn giải chi tiết Phần II

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Hướng dẫn giải chi tiết:

- Câu 1:
VTPT của $(P)$ là $\vec{n}_P = (m; -2; 3)$ và của $(Q)$ là $\vec{n}_Q = (2; m; -1)$.
Để $(P) \perp (Q) \Leftrightarrow \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \Leftrightarrow 2m - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow -3 = 0$ (vô lý).
Vậy không tồn tại giá trị nào của $m$ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

- Câu 2:
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A(2; -1; 5)$ đến mặt phẳng $(P): 3x - 4z + 4 = 0$:

$$d(A, (P)) = \dfrac{|3(2) - 4(5) + 4|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|6 - 20 + 4|}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2.$$

- Câu 3:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (-2; -2; 2) = -2(1; 1; -1)$, đặt $\vec{u} = (1; 1; -1)$.
Mặt phẳng $(Q)$ có VTPT $\vec{n}_Q = (1; 1; 1)$.
Vì $(P)$ chứa $AB$ và vuông góc với $(Q)$ nên $(P)$ nhận $\vec{n}_P = [\vec{u}, \vec{n}_Q]$ làm VTPT:

$$\vec{n}_P = (1\cdot 1 - (-1)\cdot 1; (-1)\cdot 1 - 1\cdot 1; 1\cdot 1 - 1\cdot 1) = (2; -2; 0) = 2(1; -1; 0).$$

Chọn $\vec{n}_P = (1; -1; 0)$ có hệ số $a = 1 > 0$.
Phương trình $(P)$ đi qua $A(1; 2; 0)$:

$$1(x - 1) - 1(y - 2) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0.$$

Đồng nhất với dạng $ax + by + cz + d = 0 \Rightarrow a = 1, b = -1, c = 0, d = 1$.
Vậy $T = a + b + c + d = 1 + (-1) + 0 + 1 = 1$.

- Câu 4:
VTPT của $(P)$ là $\vec{n}_P = (1; 1; -2)$, VTPT của $(Q)$ là $\vec{n}_Q = (2; -1; 1)$.
Độ dài $|\vec{n}_P| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$, $|\vec{n}_Q| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
Côsin của góc giữa hai mặt phẳng:

$$\cos((P), (Q)) = \dfrac{|\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q|}{|\vec{n}_P|\cdot|\vec{n}_Q|} = \dfrac{|1\cdot 2 + 1(-1) + (-2)\cdot 1|}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \dfrac{|-1|}{6} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667 \approx 0{,}17.$$

- Câu 5:
Đường thẳng $d$ đi qua $M(3; 4; 5)$ và vuông góc với $(\alpha)$ nhận $\vec{n}_\alpha = (2; -1; 2)$ làm VTCP, có phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 4 - t \\ z = 5 + 2t \end{cases}$$

Điểm $H \in d \Rightarrow H(3 + 2t; 4 - t; 5 + 2t)$. Vì $H \in (\alpha)$ nên:

$$2(3 + 2t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = -1.$$

Suy ra $H(1; 5; 3)$, tức là $x_0 = 1, y_0 = 5, z_0 = 3$.
Tổng $S = x_0 + y_0 + z_0 = 1 + 5 + 3 = 9$.

- Câu 6:
Độ dài ngắn nhất của dây cáp nối từ thiết bị $A(3; 5; 8)$ đến mái che chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 12 = 0$:

$$d(A, (P)) = \dfrac{|2(3) + 2(5) - 8 + 12|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|6 + 10 - 8 + 12|}{\sqrt{9}} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67\text{ m}.$$