ĐỀ KIỂM TRA NÂNG CAO MÔN TOÁN: MŨ VÀ LOGARIT – ỨNG DỤNG KHOA HỌC KỸ THUẬT HIỆN ĐẠI

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (6,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 24. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong kỹ thuật huấn luyện mạng nơ-ron học sâu (Deep Neural Network), để hạn chế hiện tượng triệt tiêu độ dốc khi truyền ngược qua nhiều lớp ẩn, người ta sử dụng hàm kích hoạt mềm điều biến có dạng:

$$f(x) = \ln\left(1 + e^{\alpha x}\right) - \beta x$$

với $\alpha, \beta$ là các tham số thực dương cố định. Đạo hàm $f'(x)$ thể hiện hệ số truyền độ dốc qua nơ-ron. Để thuật toán tối ưu hóa lan truyền ngược không bị phân kỳ và tránh hiện tượng bão hòa cả hai phía, các kỹ sư trí tuệ nhân tạo yêu cầu tập giá trị của $f'(x)$ khi $x$ biến thiên trên $\mathbb{R}$ phải trùng khớp với khoảng $(-0,15; 0,85)$. Khi đó, giá trị của tích $P = \alpha \cdot \beta$ bằng

Câu 2 (0,25 điểm). Trong dây chuyền sản xuất vi xử lý tiên tiến sử dụng hệ thống quang khắc tia cực tím cực sâu (High-NA EUV, bước sóng $\lambda = 13,5\text{ nm}$), chùm photon EUV chiếu xuyên qua lớp chất cảm quang (photoresist) có bề dày $d = 50\text{ nm}$. Cường độ bức xạ $I(x)$ tại độ sâu $x$ ($0 \le x \le d$, tính bằng nm) suy giảm theo định luật Beer-Lambert: $I(x) = I_0 \cdot e^{-\mu x}$, trong đó $I_0$ là cường độ bức xạ trên bề mặt và $\mu$ là hệ số suy giảm quang học ($\text{nm}^{-1}$). Để cấu trúc nano ở đáy lớp cản quang được định hình chính xác, cường độ bức xạ tại đáy $I(d)$ không được thấp hơn $e^{-1,6} I_0$. Biết rằng hệ số $\mu$ phụ thuộc vào nhiệt độ phòng sạch $T$ ($^\circ\text{C}$) theo công thức $\mu(T) = 0,04 \cdot \ln\left(1 + \dfrac{T}{100}\right)$. Nhiệt độ phòng sạch tối đa $T_{\max}$ ($^\circ\text{C}$) để quy trình quang khắc không bị lỗi xấp xỉ bằng (lấy $e^{0,8} \approx 2,2255$)

Câu 3 (0,25 điểm). Trong giao thức khai thác tiền mã hóa chuỗi khối (Blockchain) bằng cơ chế Proof-of-Work, một máy đào siêu phân luồng phải liên tục biến đổi chuỗi phụ (nonce) để tìm giá trị băm mật mã $H < 2^{256 - k}$, với $k$ là độ khó băm. Xác suất để một lần thử ngẫu nhiên thành công là $p = 2^{-k}$. Một trung tâm dữ liệu sở hữu dàn máy đào có tổng năng lực tính toán $R = 10^{19}\text{ hash/giây}$. Xác suất trung tâm này không tìm được khối hợp lệ nào sau $t$ giây liên tục tuân theo phân phối Poisson $P(0, t) = e^{-\lambda t}$ với $\lambda = R \cdot p$. Giả sử độ khó băm được mạng lưới thiết lập là $k = 70$. Để xác suất tìm được ít nhất một khối hợp lệ đạt từ $95\%$ trở lên, thời gian vận hành liên tục tối thiểu $t_{\min}$ của trung tâm dữ liệu này là bao nhiêu? (Biết $\ln 20 \approx 2,9957$ và $2^{70} \approx 1,1806 \cdot 10^{21}$).

Câu 4 (0,25 điểm). Trong bộ xử lý điện toán lượng tử siêu dẫn, cổng logic lượng tử hai qubit bị suy giảm độ trung thực (fidelity) theo thời gian thao tác $t$ ($\mu\text{s}$) do tương tác với môi trường nhiệt lượng tử, được mô hình hóa bởi hàm suy giảm mũ:

$$F(t) = \exp\left(-\dfrac{t}{T_1} - \dfrac{t^2}{T_2^2}\right)$$

trong đó thời gian hồi phục dọc $T_1 = 120\text{ }\mu\text{s}$ và thời gian khử pha ngang $T_2 = 80\text{ }\mu\text{s}$. Để thuật toán sửa lỗi lượng tử bề mặt (Surface Code) hoạt động hiệu quả, độ trung thực cổng bắt buộc phải thỏa mãn $F(t) \ge e^{-0,25}$. Thời gian thực thi tối đa cho phép $t_{\max}$ của cổng lượng tử này xấp xỉ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Nghiên cứu dược động học của một kháng sinh phổ rộng dùng trong điều trị nhiễm khuẩn huyết ICU cho thấy nồng độ thuốc tự do $C(t)$ (mg/L) trong huyết tương sau khi tiêm tĩnh mạch liều nạp tuân theo mô hình hai ngăn:

$$C(t) = 40 e^{-1,2 t} + 10 e^{-0,1 t}$$

trong đó số hạng thứ nhất đại diện cho pha phân bố nhanh vào các mô mô mỡ và số hạng thứ hai đại diện cho pha đào thải chậm qua thận ($t$ tính bằng giờ). Thời điểm $t_0$ (giờ) mà tại đó nồng độ thuốc phân bố đóng góp vào huyết tương bằng đúng nồng độ thuốc của pha đào thải là

Câu 6 (0,25 điểm). Trong buồng phản ứng nhiệt hạch từ trường Tokamak, mật độ năng lượng giải phóng từ phản ứng tổng hợp hạt nhân Deuterium - Tritium phụ thuộc vào nhiệt độ plasma $T$ (keV) được chuẩn hóa thông qua phương trình ẩn số thực:

$$4^x - 2^{x+3} + m = 0$$

với $x = \log_2 T$. Để phản ứng nhiệt hạch duy trì trạng thái đốt cháy ổn định mà không phá hủy lớp vỏ từ trường, phương trình trên bắt buộc phải có hai giá trị nhiệt độ plasma phân biệt $T_1, T_2$ cùng nằm trong dải vận hành an toàn $[2\text{ keV}; 8\text{ keV}]$. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số công nghệ $m$ là

Câu 7 (0,25 điểm). Trong lý thuyết thông tin nén dữ liệu Huffman, hàm Entropy Shannon của một kênh phát tín hiệu viễn thám 3 trạng thái độc lập được xác định bởi:

$$H(x) = -x \log_2 x - 2x \log_2(2x) - (1 - 3x)\log_2(1 - 3x)\quad (\text{bit/ký hiệu})$$

với xác suất tiên nghiệm của các trạng thái thỏa mãn $x > 0$ và $1 - 3x > 0$. Độ bất định thông tin (Entropy) của kênh đạt giá trị cực đại khi thông số xác suất $x$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Sai số trôi dạt tọa độ $\Delta r(t)$ (mét) của tên lửa hành trình siêu thanh sau $t$ giây bay tự hành dưới tác động của nhiễu loạn khí quyển tầng bình lưu được mô hình hóa theo quy luật logarit - mũ:

$$\Delta r(t) = 10 \cdot \sqrt{\ln\left(1 + 0,0025 t^2\right) + e^{0,02 t} - 1}$$

Tốc độ biến thiên tức thời của sai số vị trí theo thời gian tại mốc $t = 20\text{ giây}$ xấp xỉ bằng (lấy $e^{0,4} \approx 1,4918$)

Câu 9 (0,25 điểm). Trong mô hình cân bằng thị trường viễn thông cạnh tranh duopoly, thị phần của hai nhà mạng $x, y > 0$ chịu sự chi phối bởi hệ thức phi tuyến hàm đặc trưng:

$$e^{2x - y} + \ln(2x - y + 1) = e^{y - 4} + \ln(y - 3)$$

Biết rằng chi phí mở rộng hạ tầng trạm phát sóng 5G của liên minh hai nhà mạng tỉ lệ với biểu thức $P = x^2 + y^2 - 6x - 4y + 15$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Một cụm máy chủ siêu tính toán GPU phục vụ huấn luyện mô hình ngôn ngữ lớn tiêu tán nhiệt lượng khổng lồ. Khi cụm máy hoạt động với công suất đầy tải, nhiệt độ các phiến tản nhiệt tăng dần. Nếu hệ thống tản nhiệt chất lỏng làm mát cưỡng bức hoạt động ở chế độ bù nhiệt, phương trình cân bằng nhiệt cho độ chênh nhiệt độ $\theta(t) = T(t) - T_{\text{mt}}$ ($^\circ\text{C}$) là $\theta(t) = 80 \cdot (1 - e^{-0,05 t}) + 20$. Thời gian $t$ (phút) kể từ khi khởi động hệ thống để nhiệt độ phiến tản nhiệt đạt mức cảnh báo $84^\circ\text{C}$ (biết nhiệt độ môi trường phòng máy luôn ổn định ở mức $T_{\text{mt}} = 20^\circ\text{C}$) xấp xỉ bằng (lấy $\ln 5 \approx 1,6094$)

Câu 11 (0,25 điểm). Trong việc truyền tín hiệu qua trạm phát sóng vệ tinh quỹ đạo thấp (LEO), công suất tiêu hao tổng thể để mã hóa và truyền hai luồng dữ liệu độc lập $x > 0$ và $y > 0$ thỏa mãn điều kiện ràng buộc dung lượng kênh Shannon:

$$\log_3(x + 2y + 1) = \log_9(x \cdot y) + 1$$

Giá trị nhỏ nhất của tổng công suất phát $S = x + 4y$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Một cơ sở y học hạt nhân điều chế đồng vị phóng xạ Galilê-68 ($^{68}\text{Ga}$, chu kỳ bán rã $T_1 = 68\text{ phút}$) để gắn vào phối tử kháng nguyên màng đặc hiệu tuyến tiền liệt phục vụ chụp cắt lớp PET-CT. Sau khi điều chế xong liều xạ $A_0 = 400\text{ MBq}$, dược chất cần được vận chuyển bằng xe chuyên dụng đến bệnh viện trong thời gian 34 phút. Tại bệnh viện, mẫu được lưu giữ thêm một khoảng thời gian $\Delta t$ để chuẩn bị người bệnh trước khi tiêm. Biết hoạt độ phóng xạ tối thiểu cần thiết lúc tiêm là $100\text{ MBq}$. Khoảng thời gian lưu giữ tối đa $\Delta t$ tại bệnh viện là

Câu 13 (0,25 điểm). Trong phân tích độ an toàn của hệ thống mật mã bất đối xứng trước máy tính lượng tử, thời gian tính toán (tính bằng micro-giây) để thuật toán lượng tử giải bài toán logarit rời rạc với khóa độ dài $n$ bit được cho bởi $T_Q(n) = c_1 \cdot n^3$, trong khi siêu máy tính cổ điển sử dụng thuật toán sàng trường số tổng quát (GNFS) có thời gian chạy tuân theo hàm cận mũ:

$$T_C(n) = c_2 \cdot \exp\left(1,9 \cdot \sqrt[3]{n \cdot (\ln n)^2}\right)$$

Giả sử tại kích thước khóa $n_0 = 512\text{ bit}$, thời gian chạy của hai hệ thống tương đương nhau. Khi kích thước khóa mở rộng lên $n = 4096\text{ bit}$ ($n = 8n_0$), tỉ số giữa thời gian chạy của máy tính lượng tử $T_Q(4096)$ và $T_Q(512)$ tăng lên đúng bằng

Câu 14 (0,25 điểm). Trong quang phổ cộng hưởng từ hạt nhân (NMR) dùng phân tích cấu trúc protein, tín hiệu suy giảm cảm ứng tự do (FID) của các spin hạt nhân hydro suy thoái theo thời gian $t$ (mili-giây) theo hàm tự tương quan Gauss - mũ kết hợp:

$$S(t) = S_0 \cdot e^{-0,02 t - 0,001 t^2}$$

Thời điểm $t$ (mili-giây) tại đó tốc độ suy giảm tức thời $|S'(t)|$ của tín hiệu đạt giá trị lớn nhất là nghiệm của phương trình nào sau đây?

Câu 15 (0,25 điểm). Theo định luật Peukert trong kỹ thuật chế tạo pin lithium-ion cho xe điện, dung lượng xả thực tế $C$ (Ah) phụ thuộc vào cường độ dòng điện phóng $I$ (A) theo quy luật phi tuyến $C = K \cdot I^{1 - k}$, trong đó $k > 1$ là hệ số Peukert đặc trưng cho vật liệu điện cực và $K$ là hằng số. Đo đạc thực nghiệm với một cell pin xe điện thế hệ mới cho thấy: khi xả ở dòng $I_1 = 10\text{ A}$ thì dung lượng đạt $C_1 = 90\text{ Ah}$; khi xả ở dòng $I_2 = 40\text{ A}$ thì dung lượng giảm xuống còn $C_2 = 72\text{ Ah}$. Nếu động cơ xe điện tăng tốc tức thời khiến dòng phóng vọt lên $I_3 = 160\text{ A}$, thì dung lượng xả tương ứng $C_3$ của cell pin là

Câu 16 (0,25 điểm). Trong các hệ thống nhận diện giọng nói bằng trí tuệ nhân tạo (ASR), tần số vật lý $f$ (Hz) của sóng âm được chuyển đổi sang thang đo cảm nhận thính giác Mel $m$ theo công thức phi tuyến:

$$m = 2595 \cdot \log_{10}\left(1 + \dfrac{f}{700}\right)$$

Một bộ lọc phổ âm thanh thu được hai cao độ có mức cảm nhận thính giác chênh lệch nhau đúng $\Delta m = m_2 - m_1 = 259,5\text{ Mel}$. Biết rằng cao độ thứ nhất có tần số $f_1 = 700\text{ Hz}$. Tần số $f_2$ của cao độ thứ hai bằng bao nhiêu? (Lấy $10^{0,1} \approx 1,2589$).

Câu 17 (0,25 điểm). Trong mô hình động học lan truyền thông tin sai lệch (fake news) trên mạng xã hội có tính đến hiệu ứng suy giảm tương tác của thuật toán kiểm duyệt, số người $N(t)$ tin vào thông tin thất thiệt tại thời điểm $t$ (giờ) thỏa mãn bất phương trình:

$$\ln\left(\dfrac{N(t)}{K - N(t)}\right) \le 0,5 t - 4$$

với $K = 500.000$ là quy mô tối đa của cộng đồng mạng xã hội quan tâm. Thời điểm tối thiểu $t$ (giờ) kể từ lúc tin giả xuất hiện để số người tiếp cận vượt quá $50\%$ quy mô cộng đồng ($N(t) > 250.000$) là

Câu 18 (0,25 điểm). Trong kỹ thuật cảm biến nano huỳnh quang FRET đo khoảng cách giữa hai vị trí trên chuỗi xoắn kép DNA, hiệu suất truyền năng lượng cộng hưởng $E$ giữa phân tử phát xạ và phân tử hấp thụ tuân theo mô hình logarit - tỉ số:

$$\ln\left(\dfrac{1 - E}{E}\right) = 6 \ln\left(\dfrac{r}{R_0}\right)$$

trong đó $R_0 = 5\text{ nm}$ là bán kính Förster cố định và $r$ là khoảng cách giữa hai đầu đánh dấu (nm). Khi khoảng cách phân tử đo được là $r = 5 \cdot \sqrt[6]{3}\text{ nm}$, hiệu suất truyền năng lượng $E$ đạt giá trị bằng

Câu 19 (0,25 điểm). Một vệ tinh viễn thông quỹ đạo chùm phát các gói dữ liệu số có độ dài $L$ bit xuống trạm mặt đất qua kênh truyền vô tuyến có xác suất lỗi bit ngẫu nhiên $p = 10^{-4}$. Giả sử mỗi gói tin có phần tiêu đề định tuyến cố định $H = 200\text{ bit}$. Hiệu suất truyền dữ liệu hữu ích của hệ thống được tính theo công thức:

$$\eta(L) = \dfrac{L - 200}{L} \cdot (1 - p)^L \approx \left(1 - \dfrac{200}{L}\right) \cdot e^{-10^{-4} L}\quad (L > 200)$$

Để thông lượng dữ liệu hữu ích đạt giá trị lớn nhất, độ dài tối ưu xấp xỉ của mỗi gói tin $L_{\text{opt}}$ thỏa mãn phương trình đạo hàm triệt tiêu là

Câu 20 (0,25 điểm). Trong thuật toán mã hóa khóa công khai RSA, để sinh cặp khóa có độ bảo mật 2048-bit, hệ thống cần chọn ngẫu nhiên các số nguyên tố lớn trong khoảng $[2^{1023}; 2^{1024}]$. Theo định lý phân phối số nguyên tố Hadamard - de la Vallée Poussin, xác suất để một số lẻ ngẫu nhiên $N$ trong khoảng này là một số nguyên tố xấp xỉ bằng $\dfrac{2}{\ln N}$. Với $N \approx 2^{1024}$, xác suất để chọn trúng một số nguyên tố xấp xỉ bằng (lấy $\ln 2 \approx 0,6931$)

Câu 21 (0,25 điểm). Trong đánh giá an toàn đập thủy điện bậc thang trước tải trọng động đất, tần suất tích lũy hàng năm $N(M)$ của các trận động đất có độ Richter lớn hơn hoặc bằng $M$ tại đới đứt gãy lân cận tuân theo quan hệ Gutenberg - Richter:

$$\log_{10} N(M) = 4,2 - 0,9 M$$

Chu kỳ lặp lại trung bình của một trận động đất có độ lớn từ $M \ge 7,0$ trở lên (tính bằng số năm giữa hai biến cố liên tiếp, với chu kỳ $T = \dfrac{1}{N}$) xấp xỉ bằng

Câu 22 (0,25 điểm). Khí Heli lỏng ở nhiệt độ siêu hàn $4,2\text{ K}$ trong buồng làm mát nam châm siêu dẫn của máy chụp cộng hưởng từ hạt nhân MRI biến đổi trạng thái nhiệt động theo phương trình polytropic logarit:

$$P \cdot V^{1,2} = C\quad (C = \text{const})$$

Nếu hệ thống máy nén tăng áp suất khí từ $P_1 = 1,0\text{ atm}$ lên $P_2 = 32,0\text{ atm}$, thì thể tích khối khí $V$ bị nén co lại bao nhiêu lần so với thể tích ban đầu?

Câu 23 (0,25 điểm). Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình mũ tham số thực tế:

$$9^x - 2(m + 1)3^x + 6m - 3 = 0$$

có hai nghiệm thực phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 > 2$ là

Câu 24 (0,25 điểm). Vệ tinh quan sát Trái Đất đo quang thông bức xạ mặt trời phản xạ từ mặt biển $S(\lambda)$ qua khí quyển. Mức độ suy giảm tín hiệu quang học do hiện tượng tán xạ phân tử Rayleigh phụ thuộc vào bước sóng ánh sáng $\lambda$ ($\mu\text{m}$) theo mô hình quang phổ:

$$\ln\left(\dfrac{S(\lambda)}{S_0}\right) = -\dfrac{0,0087}{\lambda^4}$$

với $S_0$ là quang thông tại biên ngoài khí quyển. Hai kênh cảm biến viễn thám hoạt động ở bước sóng xanh lam $\lambda_1 = 0,45\text{ }\mu\text{m}$ và bước sóng cận hồng ngoại $\lambda_2 = 0,90\text{ }\mu\text{m}$. Tỉ số hệ số suy hao tán xạ khí quyển của kênh xanh lam so với kênh cận hồng ngoại bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (8,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 8. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Trong kiến trúc mạng nơ-ron biến đổi Transformer (nền tảng của ChatGPT), hàm kích hoạt Swish/SiLU được định nghĩa bởi công thức:

$$f(x) = \dfrac{x}{1 + e^{-x}} = x \cdot \sigma(x)$$

trong đó $\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ là hàm kích hoạt Sigmoid tiêu chuẩn.
a) Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$.
b) Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có đường tiệm cận xiên khi $x \to +\infty$ là đường thẳng $y = x$.
c) Đạo hàm bậc nhất của hàm số có dạng $f'(x) = \sigma(x) \cdot \left[1 + x(1 - \sigma(x))\right]$.
d) Điểm cực tiểu duy nhất của hàm số nằm trong khoảng $(-1,5; -1,0)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Phương trình Tsiolkovsky nâng cao mô tả vận tốc gia tăng $\Delta v$ (m/s) của tên lửa đẩy vũ trụ nhiều tầng khi tính đến tổn thất trọng trường và lực cản khí quyển trong giai đoạn phóng thẳng đứng:

$$\Delta v = u \cdot \ln\left(\dfrac{m_0}{m_0 - \mu \cdot t}\right) - g \cdot t$$

trong đó vận tốc phụt khí hiệu dụng $u = 3200\text{ m/s}$, khối lượng cất cánh ban đầu $m_0 = 500\text{ tấn}$, tốc độ tiêu thụ nhiên liệu của động cơ là $\mu = 2,5\text{ tấn/giây}$, gia tốc trọng trường trung bình $g = 9,8\text{ m/s}^2$ và $t$ là thời gian đốt nhiên liệu (giây, với $0 \le t < 180\text{ s}$).
a) Khối lượng tổng thể của tên lửa tại thời điểm $t = 100\text{ giây}$ là $250\text{ tấn}$.
b) Tại thời điểm $t = 100\text{ giây}$, thành phần vận tốc gia tăng do lực đẩy động cơ tạo ra (chưa trừ tổn thất trọng trường) vượt quá $2200\text{ m/s}$ (lấy $\ln 2 \approx 0,6931$).
c) Gia tốc tức thời $a(t) = \dfrac{\mathrm{d}(\Delta v)}{\mathrm{d}t}$ của tên lửa luôn là một hàm số đồng biến theo thời gian trên nửa khoảng $[0; 180)$.
d) Tại thời điểm bắt đầu rời bệ phóng ($t = 0$), gia tốc của tên lửa nhỏ hơn $6,0\text{ m/s}^2$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong phân tích an toàn nhiệt học của vùng hoạt lò phản ứng hạt nhân, hai thông số điều khiển $x, y > 0$ của thanh điều khiển neutron phải thỏa mãn bất phương trình logarit - mũ liên kết:

$$2^{x^2 + y^2 - 2} + \log_2(x^2 + y^2) \le 2^{4x + 2y - 7} + \log_2(4x + 2y - 5)$$

a) Điều kiện để biểu thức logarit ở vế phải có nghĩa là $4x + 2y - 5 > 0$.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình hình học $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 4$.
c) Tập hợp các điểm $M(x; y)$ thỏa mãn hệ thức trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là một hình tròn có bán kính $R = 2$.
d) Giá trị lớn nhất của biểu thức tuyến tính $P = 3x + 4y$ đối với các cặp số thực $(x; y)$ thỏa mãn điều kiện bài toán là $P_{\max} = 20$.

Câu 4 (1,0 điểm). Sự bùng phát của một chủng virus đột biến trong một quần thể đô thị kín có quy mô $K = 1.000.000$ người được mô phỏng bằng mô hình tăng trưởng Logistic cải biên:

$$I(t) = \dfrac{K}{1 + 9999 \cdot e^{-0,25 t}}$$

trong đó $I(t)$ là số ca nhiễm tích lũy sau $t$ ngày kể từ ca bệnh chỉ thị đầu tiên ($t \ge 0$).
a) Tại thời điểm bắt đầu theo dõi dịch bệnh ($t = 0$), số ca nhiễm tích lũy ghi nhận được là đúng 100 ca.
b) Tốc độ lây lan dịch bệnh tức thời $\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$ đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm số ca nhiễm tích lũy đạt $500.000$ ca.
c) Sau 40 ngày kể từ ca đầu tiên, số ca nhiễm tích lũy vượt quá $450.000$ ca (biết $e^{10} \approx 22026$).
d) Khi thời gian kéo dài vô hạn ($t \to +\infty$), số ca nhiễm trong cộng đồng có thể vượt qua mốc $1.000.000$ người nếu không thực hiện phong tỏa.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho phương trình logarit chứa tham số thực $m$:

$$\log_3^2(x - 1) - (2m + 1)\log_3(x - 1) + m^2 + m - 2 = 0$$

a) Điều kiện xác định của phương trình là $x > 1$.
b) Phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt với mọi giá trị của tham số $m$.
c) Tích của hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ luôn là một hằng số không phụ thuộc vào tham số $m$.
d) Có đúng hai giá trị nguyên của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ đều thuộc khoảng $(2; 10)$.

Câu 6 (1,0 điểm). Một động cơ nhiệt lượng tử nano hoạt động theo chu trình Carnot mở rộng giữa hai nguồn nhiệt $T_H = 600\text{ K}$ và $T_C = 300\text{ K}$. Công vi mô sinh ra trong một chu kỳ giãn nở đẳng nhiệt được biểu diễn qua tích phân năng lượng:

$$W = \int_{V_1}^{V_2} \dfrac{N k_B T_H}{V} \mathrm{d}V = N k_B T_H \cdot \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$$

với $N = 10^{20}$ hạt khí lượng tử, $k_B \approx 1,38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K}$ và tỉ số giãn nở thể tích $\dfrac{V_2}{V_1} = 4$.
a) Hiệu suất lý thuyết cực đại của động cơ Carnot này bằng $50\%$.
b) Công sinh ra trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt là $W \approx 1,15\text{ J}$ (lấy $\ln 2 \approx 0,6931$).
c) Nếu tỉ số thể tích giãn nở $\dfrac{V_2}{V_1}$ tăng gấp đôi thì công sinh ra $W$ cũng tăng gấp đôi.
d) Độ biến thiên entropy của khối khí trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt trên là $\Delta S = N k_B \ln 4 \approx 1,91 \cdot 10^{-3}\text{ J/K}$.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong phản ứng chuỗi polymerase định lượng (qPCR) xác định tải lượng virus trong mẫu xét nghiệm lâm sàng, số lượng bản sao đoạn gen mục tiêu sau $n$ chu kỳ khuếch đại nhiệt tuân theo công thức:

$$N_n = N_0 \cdot (1 + E)^n$$

trong đó $N_0$ là số lượng bản sao ban đầu, $E$ là hiệu suất khuếch đại của hóa chất phản ứng ($0 < E \le 1$) và $n$ là số chu kỳ nhiệt ($n \in \mathbb{N}^*$). Máy xét nghiệm tự động xác định chu kỳ ngưỡng $C_q$ là chu kỳ mà tại đó tín hiệu huỳnh quang đạt ngưỡng phát hiện $N_{\text{th}} = 10^9$ bản sao.
a) Nếu hiệu suất phản ứng đạt mức lý tưởng $E = 100\%$ ($E = 1$), số lượng bản sao gen sẽ nhân đôi sau mỗi chu kỳ nhiệt.
b) Với hiệu suất lý tưởng $E = 1$, một mẫu bệnh phẩm có $N_0 = 1000$ bản sao ban đầu sẽ đạt ngưỡng phát hiện tại chu kỳ ngưỡng xấp xỉ $C_q \approx 20$ (lấy $\log_2 10 \approx 3,322$).
c) Nếu do chất ức chế trong mẫu làm hiệu suất phản ứng giảm xuống chỉ còn $E = 80\%$ ($E = 0,8$), thì chu kỳ ngưỡng $C_q$ của cùng mẫu bệnh phẩm trên sẽ bị kéo dài thêm ít nhất 5 chu kỳ (lấy $\log_{1,8} 2 \approx 1,18$).
d) Hai mẫu bệnh phẩm có cùng hiệu suất khuếch đại, nếu chu kỳ ngưỡng chênh lệch nhau $\Delta C_q = C_{q1} - C_{q2} = 3$ chu kỳ thì tải lượng virus ban đầu trong mẫu thứ hai gấp đúng $2^3 = 8$ lần mẫu thứ nhất (giả sử $E = 1$).

Câu 8 (1,0 điểm). Cho hai hàm số $f(x) = e^x$ và $g(x) = \ln x$ có đồ thị lần lượt là $(C_1)$ và $(C_2)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

[Đồ thị]

a) Đồ thị $(C_1)$ và đồ thị $(C_2)$ đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất $y = x$.
b) Đường thẳng tiếp tuyến của $(C_1)$ song song với đường phân giác $y = x$ có phương trình là $y = x + 1$.
c) Khoảng cách ngắn nhất giữa một điểm bất kỳ thuộc $(C_1)$ và một điểm bất kỳ thuộc $(C_2)$ bằng $\sqrt{2}$.
d) Tồn tại ít nhất một đường thẳng vừa là tiếp tuyến của $(C_1)$, vừa là tiếp tuyến của $(C_2)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Trong kỹ thuật thiết kế bộ lọc tín hiệu số thông dải, dải tần số góc hoạt động an toàn $x$ (rad/s) được xác định bằng tập nghiệm của bất phương trình siêu việt chứa căn thức:

$$\left(2^{x^2 - 9} - 1\right) \cdot \sqrt{5 - \log_2(x + 1)} \le 0$$

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình trên.

Câu 2 (0,5 điểm). Để cân bằng tải cho cụm máy chủ đám mây, thông số điều phối luồng $m$ cần được cấu hình sao cho phương trình phân phối tải:

$$25^x - 2(m - 2) \cdot 5^x + 3m + 1 = 0$$

có hai nghiệm thực phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn hệ thức cân bằng $x_1 + x_2 = 1$. Tìm giá trị thực của tham số $m$.

Câu 3 (0,5 điểm). Trong phòng xạ trị ung thư, một thiết bị tản nhiệt sử dụng khí Heli áp suất cao làm nguội đầu phát tia X. Nhiệt độ của đầu phát $T(t)$ ($^\circ\text{C}$) sau thời gian làm mát $t$ (giây) tuân theo định luật làm nguội Newton mở rộng: $T(t) = 22 + 78 \cdot e^{-0,04 t}$. Sau bao nhiêu giây thì nhiệt độ đầu phát giảm xuống mức giới hạn $35^\circ\text{C}$? (Lấy $\ln 6 \approx 1,7918$, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 4 (0,5 điểm). Trong thuật toán thị giác máy tính nhận diện vật thể di động, hàm số truyền dữ liệu quang học $y = \log_2\left(x^2 - 2(m + 1)x + 4m + 8\right)$ yêu cầu phải có tập xác định là toàn bộ trục số thực $\mathbb{R}$ để tránh hiện tượng mất khung hình. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ nằm trong đoạn $[-10; 10]$ thỏa mãn yêu cầu trên?

Câu 5 (0,5 điểm). Tuyến cáp quang biển xuyên đại dương sử dụng sợi quang đơn mốt có hệ số suy hao quang học $\alpha = 0,20\text{ dB/km}$. Mức suy hao công suất quang tính theo decibel qua khoảng cách $L$ (km) được xác định bởi công thức $\Delta P = 10 \cdot \lg\left(\dfrac{P_0}{P(L)}\right) = \alpha \cdot L$. Để bộ thu quang ở cuối tuyến giải mã được tín hiệu số với tỉ lệ lỗi bit cho phép, tỉ số công suất thu so với công suất phát $\dfrac{P(L)}{P_0}$ không được suy giảm quá $10^{-4}$ (tức công suất giảm $40\text{ dB}$) trước khi qua trạm lặp quang (repeater). Khoảng cách tối đa giữa hai trạm lặp quang liên tiếp trên biển bằng bao nhiêu kilômét?

Câu 6 (0,5 điểm). Công suất tiêu thụ điện năng $P(f)$ (Watt) của một bộ xử lý tăng tốc trí tuệ nhân tạo (NPU) tỷ lệ phi tuyến với tần số xung nhịp tính toán $f$ (GHz) theo mô hình:

$$P(f) = 35 + 5 \cdot 2^{f - 1}$$

Để hệ thống làm mát bằng không khí không bị quá nhiệt cục bộ, công suất tiêu thụ tối đa của chip không được vượt quá $195\text{ Watt}$. Tần số xung nhịp tối đa $f_{\max}$ mà chip xử lý được phép vận hành là bao nhiêu GHz?

Câu 7 (0,5 điểm). Theo công thức Gutenberg - Richter trong địa chấn học ứng dụng, mối liên hệ giữa năng lượng địa chấn $E$ (Joule) giải phóng tại tâm chấn và độ Richter $M$ của trận động đất là $\log_{10} E = 4,8 + 1,5 M$. Trận siêu động đất tại Valdivia (Chile) có độ lớn $M_1 = 9,5$ Richter giải phóng năng lượng gấp bao nhiêu lần trận động đất tại San Francisco có độ lớn $M_2 = 7,5$ Richter?

Câu 8 (0,5 điểm). Để xác định điểm cân bằng pha lượng tử trong chất bán dẫn pha tạp, các nhà vật lý cần giải phương trình siêu việt mô tả mật độ trạng thái điện tử:

$$3^x + x - 4 = 0$$

Phương trình trên có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 9 (0,5 điểm). Trong y học hạt nhân điều trị u tuyến giáp, đồng vị phóng xạ I-ốt 131 ($^{131}\text{I}$) có chu kỳ bán rã là 8,02 ngày. Một lượng chất thải y tế chứa $^{131}\text{I}$ cần được lưu giữ trong kho cô lập đặc biệt cho đến khi hoạt độ phóng xạ suy giảm còn lại đúng $3,125\%$ ($= \dfrac{1}{32}$) so với hoạt độ ban đầu mới được phép xử lý thải bỏ ra môi trường. Thời gian cô lập tối thiểu là bao nhiêu ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 10 (0,5 điểm). Một thiết bị bay không người lái (drone) giám sát phát ra tiếng ồn với mức cường độ âm $L_1 = 80\text{ dB}$ khi đo tại mặt đất ở khoảng cách $R_1 = 15\text{ m}$. Coi nguồn âm là điểm phát sóng cầu đẳng hướng trong không gian tự do và không khí không hấp thụ âm. Để mức cường độ âm do drone gây ra giảm xuống mức tiêu chuẩn môi trường đô thị là $L_2 = 50\text{ dB}$, drone cần nâng độ cao bay đến khoảng cách $R_2$ bằng bao nhiêu mét so với điểm đo? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 11 (0,5 điểm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-20; 20]$ để phương trình logarit điều khiển hệ thống cân bằng động:

$$\log_2\left(x^2 - 6x + m\right) = 3$$

có hai nghiệm thực phân biệt $x_1, x_2$ đều thuộc khoảng $(0; 8)$?

Câu 12 (0,5 điểm). Trong thuật toán tấn công phân tích thừa số nguyên tố phục vụ phá mã khóa RSA bằng phương pháp Pollard rho, số bước lặp tính toán cơ bản để tìm ước nguyên số $p$ của một số nguyên lớn được ước lượng theo hàm số mũ:

$$N(p) \approx \sqrt{\dfrac{\pi \cdot p}{2}} \approx 1,25 \cdot \sqrt{p}$$

Giả sử khóa sử dụng số nguyên tố $p = 2^{64}$. Tính giá trị của $\log_2 N(2^{64})$? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (24 CÂU)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (8 CÂU)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (12 CÂU)