Đề kiểm tra giữa học kỳ I Toán 12 – THPT Triệu Sơn 1 (2026

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 2)$

B. $(-\infty; -1)$

C. $(-2; 3)$

D. $(-1; +\infty)$

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$

D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 3 (0,25 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{x - 2}{x + m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

A. $m > -2$

B. $m \ge -2$

C. $m < -2$

D. $m > 2$

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 5 (0,25 điểm). Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ là điểm nào dưới đây?

A. $M(-1; 4)$

B. $N(1; 0)$

C. $x = -1$

D. $y = 4$

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ , có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

[Đồ thị]

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 3]$ bằng

A. $1,5$

B. $3,5$

C. $-0,5$

D. $3$

Câu 7 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $3$

B. $2$

C. $11$

D. $1$

Câu 8 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 1}{x - 2}$ là đường thẳng

A. $x = 2$

B. $x = 3$

C. $y = 3$

D. $y = -2$

Câu 9 (0,25 điểm). Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 5}{1 - x}$ có phương trình là

A. $y = 2$

B. $y = -2$

C. $x = 1$

D. $y = 5$

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

[Đồ thị]

Hệ số $a$ và giá trị hệ số tự do $d$ nhận giá trị nào sau đây?

A. $a > 0, d > 0$

B. $a < 0, d > 0$

C. $a > 0, d < 0$

D. $a < 0, d < 0$

Câu 11 (0,25 điểm). Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

[Đồ thị]

A. $y = \dfrac{x - 1}{x + 1}$

B. $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

C. $y = \dfrac{-x + 1}{x + 1}$

D. $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) - 3 = 0$ là

[Đồ thị]

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$ .
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = x^2 - 2x - 3$ .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$ .
c) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $A(3; -8)$ .
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
b) Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c) Đường thẳng $y = x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1; +\infty)$ bằng $2$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc bốn trùng phương $y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ ( $a \ne 0$ ) có đồ thị như hình vẽ bên:

[Đồ thị]

a) Hệ số $a > 0$ và hệ số $c = -1$ .
b) Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và tích $ab < 0$ .
c) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$ .
d) Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại đúng 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi $-2 < m < -1$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm (tính bằng triệu đồng) được mô hình hoá bởi hàm số $C(x) = 2x^2 + 50x + 800$ với $x \ge 1$ . Chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$ .
a) Nếu sản xuất 20 sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là $130$ triệu đồng.
b) Công thức chi phí sản xuất trung bình là $\bar{C}(x) = 2x + 50 + \dfrac{800}{x}$ .
c) Đạo hàm $\bar{C}'(x) = 2 - \dfrac{800}{x^2}$ .
d) Doanh nghiệp cần sản xuất 25 sản phẩm để chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm đạt giá trị thấp nhất.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x - 1$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ ?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + m$ . Biết rằng giá trị cực đại của hàm số bằng $5$ . Tìm giá trị của tham số $m$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 3]$ .

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{x + 2}$ . Tìm khoảng cách từ gốc toạ độ $O(0; 0)$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5 (0,5 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt?

Câu 6 (0,5 điểm). Một người thợ muốn làm một bể chứa nước bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông, thể tích bể là $V = 4\text{ m}^3$ . Hỏi cạnh đáy của hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu mét để lượng tôn dùng làm bể (diện tích toàn phần không kể nắp) là ít nhất?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ............................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)

Câu	Đáp án	Câu	Đáp án
1	B	7	B
2	C	8	A
3	A	9	B
4	C	10	A
5	A	11	A
6	B	12	C

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm;
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm;
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm;
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

Câu	Ý	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải vắn tắt
Câu 1	a	Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = x^2 - 2x - 3$ .	Đ	$f'(x) = 3 \cdot \dfrac{1}{3}x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x - 3$ .
	b	Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$ .	S	$f'(x) < 0$ trên $(-1; 3)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$ .
	c	Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $A(3; -8)$ .	Đ	Tại $x = 3$ , $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, $f(3) = 9 - 9 - 9 + 1 = -8$ . Điểm cực tiểu là $A(3; -8)$ .
	d	Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$ .	S	Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$ .
Câu 2	a	Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .	Đ	Mẫu số $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ .
	b	Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.	Đ	$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ , $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ .
	c	Đường thẳng $y = x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.	Đ	$f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1 + 1}{x - 1} = x - 1 + \dfrac{1}{x - 1}$ , do đó tiệm cận xiên là $y = x - 1$ .
	d	Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(1; +\infty)$ bằng $2$ .	Đ	Với $x > 1$ , $f(x) = (x - 1) + \dfrac{1}{x - 1} \ge 2\sqrt{(x-1)\cdot \dfrac{1}{x-1}} = 2$ . Đẳng thức xảy ra khi $x = 2$ .
Câu 3	a	Hệ số $a > 0$ và $c = -1$ .	Đ	Nhánh ngoài cùng đi lên nên $a > 0$ . Giao với trục tung tại $(0; -1)$ nên $c = -1$ .
	b	Đồ thị có 3 cực trị và $ab < 0$ .	Đ	Đồ thị có 3 điểm cực trị nên $ab < 0$ . Vì $a > 0 \Rightarrow b < 0$ .
	c	Hàm số đồng biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$ .	Đ	Từ đồ thị, hàm số đi lên trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$ .
	d	Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi $-2 < m < -1$ .	Đ	Giá trị cực tiểu $y_{CT} = -2$ , giá trị cực đại $y_{CĐ} = -1$ . Để có 4 nghiệm phân biệt thì $-2 < m < -1$ .
Câu 4	a	Sản xuất 20 sản phẩm thì chi phí trung bình là $130$ triệu đồng.	Đ	$\bar{C}(20) = 2(20) + 50 + \dfrac{800}{20} = 40 + 50 + 40 = 130$ .
	b	Công thức chi phí trung bình là $\bar{C}(x) = 2x + 50 + \dfrac{800}{x}$ .	Đ	$\bar{C}(x) = \dfrac{2x^2 + 50x + 800}{x} = 2x + 50 + \dfrac{800}{x}$ .
	c	Đạo hàm $\bar{C}'(x) = 2 - \dfrac{800}{x^2}$ .	Đ	$\bar{C}'(x) = (2x)' + (50)' + \left(\dfrac{800}{x}\right)' = 2 - \dfrac{800}{x^2}$ .
	d	Cần sản xuất 25 sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất.	S	$\bar{C}'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 400 \Leftrightarrow x = 20$ (do $x \ge 1$ ). Vậy cần sản xuất $20$ sản phẩm chứ không phải $25$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)

Câu	Đáp án	Lời giải tóm tắt
Câu 1	5	$y' = x^2 - 2mx + 4$ . Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \Delta' = m^2 - 4 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 2$ . Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-2; -1; 0; 1; 2\}$ . Có tất cả 5 giá trị nguyên của $m$ .
Câu 2	5	$y' = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ . Bảng xét dấu: tại $x = 0$ hàm số đạt cực đại, do đó $y_{CĐ} = y(0) = m$ . Theo giả thiết $y_{CĐ} = 5 \Rightarrow m = 5$ .
Câu 3	4	$y' = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}$ ; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [1; 3]$ (loại $x = -2$ ). Ta có: $y(1) = 5$ , $y(2) = 4$ , $y(3) = 3 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{13}{3} \approx 4,33$ . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1; 3]$ là $4$ (đạt được tại $x = 2$ ).
Câu 4	0,45	Ta có: $y = \dfrac{2x(x + 2) - x + 1}{x + 2} = 2x - 1 + \dfrac{3}{x + 2}$ . Tiệm cận xiên là đường thẳng $\Delta: y = 2x - 1 \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0$ . Khoảng cách: $d(O, \Delta) = \dfrac{\|2\cdot 0 - 0 - 1\|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \approx 0,45$ .
Câu 5	4	Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow y_{CT} < m < y_{CĐ} \Leftrightarrow -1 < m < 4$ . Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{0; 1; 2; 3\}$ . Có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 6	2	Gọi cạnh đáy hình vuông là $x$ ( $x > 0$ , m) và chiều cao là $h$ ( $h > 0$ , m). Thể tích: $V = x^2 h = 4 \Rightarrow h = \dfrac{4}{x^2}$ . Diện tích tôn cần dùng (đáy và 4 mặt bên không nắp): $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{4}{x^2} = x^2 + \dfrac{16}{x}$ . Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương: $S(x) = x^2 + \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{8}{x} \cdot \dfrac{8}{x}} = 3\sqrt[3]{64} = 12$ . Đẳng thức xảy ra khi $x^2 = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2$ . Vậy cạnh đáy bằng $2\text{ m}$ .

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Đề cùng môn Toán, lớp 12