Đề kiểm tra Giữa học kỳ I Toán 12 năm học 2026 - 2027

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng

Câu 4 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x - 1 + \dfrac{2}{x + 3}$ là đường thẳng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên:

[Đồ thị]

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-2; 3]$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$?

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ và có $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -3$. Tổng số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 8 (0,25 điểm). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ là điểm

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên:

[Đồ thị]

Hệ số $a$ và tung độ gốc $d$ của hàm số thoả mãn điều kiện nào sau đây?

Câu 10 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ là

Câu 12 (0,25 điểm). Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ với trục hoành là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$.
c) Đường thẳng $y = x - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số nhỏ hơn giá trị cực đại của hàm số.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ là parabol như hình vẽ:

[Đồ thị]

Biết rằng $f(0) = 2$.
a) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.
b) Hệ số $a$ của hàm số mang giá trị âm.
c) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 1$.
d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = f(x)$ có toạ độ là $(-1; 4)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, trong đó $t$ tính bằng giây ($t \ge 0$) và $s(t)$ tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ là $v(t) = s'(t)$.
a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = 2$ giây là $45$ m/s.
b) Tại thời điểm $t = 3$ giây, chất điểm đạt vận tốc lớn nhất.
c) Vận tốc lớn nhất của chất điểm trong quá trình chuyển động là $48$ m/s.
d) Chất điểm dừng lại tại thời điểm $t = 7$ giây.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ là điểm $I(1; 1)$.
b) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
c) Tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$ có phương trình là $y = -3x + 10$.
d) Không có tiếp tuyến nào của $(C)$ đi qua điểm $I(1; 1)$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ trên đoạn $[0; 4]$.

Câu 2 (0,5 điểm). Biết đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x^2 + (m - 1)x + 1}{x + 1}$ có tiệm cận xiên đi qua điểm $A(1; 3)$. Tìm giá trị của tham số $m$.

Câu 3 (0,5 điểm). Một công ty dự kiến sản xuất các hộp sữa bằng nhôm hình trụ tròn có thể tích $V = 54\pi\text{ cm}^3$. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của hộp sữa phải nhỏ nhất. Tính bán kính đáy $R$ (theo đơn vị centimét) của hộp sữa khi đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm với hàm tổng chi phí là $C(x) = 2x^3 - 30x^2 + 200x + 500$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số lượng sản phẩm sản xuất ra ($1 \le x \le 20$). Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là nhỏ nhất?

Câu 5 (0,5 điểm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 1$ đạt cực đại tại một điểm $x_1$ và đạt cực tiểu tại một điểm $x_2$ thoả mãn $x_1 < x_2$?

Câu 6 (0,5 điểm). Một trang trại cần rào quanh một khu đất hình chữ nhật có diện tích $600\text{ m}^2$ nằm sát bên bờ một con sông thẳng (không cần rào phía bờ sông). Chi phí rào lưới là $150\,000$ đồng mỗi mét. Chi phí tối thiểu để rào xong khu đất là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.
- Điểm toàn bài tính theo thang điểm 10,0, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong một câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong một câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong một câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong một câu hỏi được 1,0 điểm.

3. PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$ vì $y' > 0$. Do đó chọn C.

Câu 2. Đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua điểm $x = -2$ (từ $+$ sang $-$) và $x = 0$ (từ $-$ sang $+$). Tại $x = 1$, đạo hàm không đổi dấu (giữ nguyên dấu $+$). Do đó hàm số có đúng 2 điểm cực trị. Chọn B.

Câu 3. Vì $\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{2x + 1}{x - 1} = +\infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn A.

Câu 4. Ta có $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \left[ y - (x - 1) \right] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2}{x + 3} = 0$. Suy ra $y = x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Chọn B.

Câu 5. Quan sát đồ thị trên đoạn $[-2; 3]$, điểm cao nhất của đồ thị có toạ độ $(-1; 2)$ và giá trị tại $x = 3$ là $f(3) \approx 0 < 2$. Do đó $\max\limits_{[-2; 3]} f(x) = f(-1) = 2$. Chọn A.

Câu 6. Xét $y = x^3 + 3x - 2 \Rightarrow y' = 3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chọn A.

Câu 7. Do $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ và $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -3$ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $y = 3$ và $y = -3$. Chọn C.

Câu 8. Tiệm cận đứng là $x = -2$, tiệm cận ngang là $y = 3$. Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng $I(-2; 3)$. Chọn B.

Câu 9. Nhánh phải ngoài cùng đi lên nên $a > 0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d > 0$. Do đó $a > 0, d > 0$. Chọn A.

Câu 10. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x$ và $\dfrac{4}{x}$: $x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}} = 4$. Dấu bằng xảy ra khi $x = 2 \in (0; +\infty)$. Vậy $\min = 4$. Chọn B.

Câu 11. Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Qua $x = 0$, $y'$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 0$ là điểm cực đại, giá trị cực đại là $y(0) = 2$. Vậy toạ độ điểm cực đại của đồ thị là $(0; 2)$. Chọn A.

Câu 12. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -2$. Có 2 nghiệm phân biệt nên có 2 giao điểm. Chọn B.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$.
- a) Đúng: Tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- b) Đúng: $f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 6)}{(x - 1)^2} = \dfrac{2x^2 - 5x + 3 - x^2 + 3x - 6}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$.
- c) Đúng: Thực hiện phép chia đa thức: $\dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 1} = x - 2 + \dfrac{4}{x - 1}$. Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{x - 1} = 0$ nên $y = x - 2$ là tiệm cận xiên.
- d) Sai: Ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
+ $f(-1) = \dfrac{1 + 3 + 6}{-2} = -5$ (giá trị cực đại).
+ $f(3) = \dfrac{9 - 9 + 6}{2} = 3$ (giá trị cực tiểu).
Vì giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = 3 > y_{\text{CĐ}} = -5$ nên mệnh đề d) là sai.

Câu 2.
- a) Đúng: Đồ thị $f'(x)$ nằm phía dưới trục hoành trên khoảng $(-1; 1)$, tức là $f'(x) < 0, \forall x \in (-1; 1)$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-1; 1)$.
- b) Sai: Đồ thị $y = f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ là một parabol có bề lõm hướng lên nên $3a > 0 \Rightarrow a > 0$.
- c) Đúng: Qua $x = 1$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
- d) Đúng: Parabol cắt trục hoành tại $x = \pm 1$ và cắt trục tung tại $(0; -3)$ nên $f'(x) = 3x^2 - 3$.
Suy ra $f(x) = x^3 - 3x + C$. Do $f(0) = 2$ nên $C = 2 \Rightarrow f(x) = x^3 - 3x + 2$.
Điểm cực đại là $x = -1$, giá trị cực đại $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$. Toạ độ điểm cực đại là $(-1; 4)$.

Câu 3.
- a) Đúng: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 21$. Tại $t = 2$: $v(2) = -3(2)^2 + 18(2) + 21 = -12 + 36 + 21 = 45$ m/s.
- b) Đúng: $v(t) = -3(t^2 - 6t) + 21 = -3(t - 3)^2 + 48 \le 48$. Dấu bằng xảy ra khi $t = 3$. Vậy tại $t = 3$ giây, chất điểm đạt vận tốc lớn nhất.
- c) Đúng: Vận tốc lớn nhất bằng $48$ m/s.
- d) Đúng: Chất điểm dừng lại khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow -3t^2 + 18t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = 7$ (vì $t \ge 0$).

Câu 4.
- a) Đúng: Tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = 1 \Rightarrow I(1; 1)$.
- b) Sai: $y' = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0, \forall x \ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
- c) Đúng: Tại $x_0 = 2 \Rightarrow y_0 = 4$. Hệ số góc tiếp tuyến $k = y'(2) = \dfrac{-3}{(2 - 1)^2} = -3$.
Phương trình tiếp tuyến: $y = -3(x - 2) + 4 = -3x + 10$.
- d) Đúng: Gọi tiếp tuyến tại điểm $M\left(x_0; \dfrac{x_0+2}{x_0-1}\right)$ là $d: y = \dfrac{-3}{(x_0-1)^2}(x - x_0) + \dfrac{x_0+2}{x_0-1}$.
Tiếp tuyến đi qua $I(1; 1) \Leftrightarrow 1 = \dfrac{-3}{(x_0-1)^2}(1 - x_0) + \dfrac{x_0+2}{x_0-1} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{3}{x_0-1} + \dfrac{x_0+2}{x_0-1} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{x_0+5}{x_0-1} \Leftrightarrow x_0 - 1 = x_0 + 5$ (vô nghiệm). Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua tâm đối xứng $I$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Ta có $y' = 3x^2 - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ (loại) hoặc $x = 3 \in [0; 4]$.
Tính các giá trị tại các đầu mút và điểm dừng:
- $y(0) = 5$
- $y(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$
- $y(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$
Vậy giá trị lớn nhất trên đoạn $[0; 4]$ là $y(0) = 5$.
Đáp án: 5.

Câu 2. Chia đa thức: $2x^2 + (m - 1)x + 1 = (x + 1)(2x + m - 3) + (4 - m)$.
Do đó $y = 2x + m - 3 + \dfrac{4 - m}{x + 1}$.
Đường tiệm cận xiên là $d: y = 2x + m - 3$.
Vì $d$ đi qua $A(1; 3)$ nên: $3 = 2(1) + m - 3 \Leftrightarrow m = 4$.
Đáp án: 4.

Câu 3. Thể tích khối trụ: $V = \pi R^2 h = 54\pi \Rightarrow h = \dfrac{54}{R^2}$.
Diện tích toàn phần của hình trụ:

$$S_{\text{tp}} = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi R^2 + 2\pi R \cdot \dfrac{54}{R^2} = 2\pi \left( R^2 + \dfrac{54}{R} \right) = 2\pi \left( R^2 + \dfrac{27}{R} + \dfrac{27}{R} \right)$$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương $R^2, \dfrac{27}{R}, \dfrac{27}{R}$:

$$R^2 + \dfrac{27}{R} + \dfrac{27}{R} \ge 3\sqrt[3]{R^2 \cdot \dfrac{27}{R} \cdot \dfrac{27}{R}} = 3\sqrt[3]{729} = 27$$

Dấu bằng xảy ra khi $R^2 = \dfrac{27}{R} \Leftrightarrow R^3 = 27 \Leftrightarrow R = 3$ cm.
Đáp án: 3.

Câu 4. Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là:

$$\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x} = 2x^2 - 30x + 200 + \dfrac{500}{x} \quad (1 \le x \le 20)$$

Đạo hàm: $\bar{C}'(x) = 4x - 30 - \dfrac{500}{x^2} = \dfrac{4x^3 - 30x^2 - 500}{x^2}$.
Xét $4x^3 - 30x^2 - 500 = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 15x^2 - 250 = 0 \Leftrightarrow (x - 10)(2x^2 + 5x + 25) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ (vì $2x^2 + 5x + 25 > 0, \forall x$).
Lập bảng biến thiên trên $[1; 20]$, hàm số $\bar{C}(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 10$.
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 10 sản phẩm.
Đáp án: 10.

Câu 5. Ta có $y' = x^2 - 2mx + (m^2 - 4)$.
Để hàm số có cực đại tại $x_1$ và cực tiểu tại $x_2$ thoả mãn $x_1 < x_2$ thì phương trình $y' = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Khi đó do hệ số $a = 1 > 0$ nên tự động $x_1$ là điểm cực đại và $x_2$ là điểm cực tiểu.
Điều kiện: $\Delta' = m^2 - (m^2 - 4) = 4 > 0$ (luôn đúng với mọi $m$).
Do đó với mọi $m \in \mathbb{R}$, hàm số luôn có điểm cực đại $x_1$ và cực tiểu $x_2$ thoả mãn $x_1 < x_2$.
Vì $m$ là số nguyên và $m \in [-10; 10]$ nên số giá trị của $m$ là:
$10 - (-10) + 1 = 21$.
Đáp án: 21.

Câu 6. Gọi $x$ (mét) là chiều dài cạnh vuông góc với bờ sông ($x > 0$).
Vì con sông thẳng đóng vai trò là một cạnh chiều dài nên chiều dài cạnh song song với bờ sông là $\dfrac{600}{x}$ (m).
Tổng chiều dài hàng rào cần làm là:

$$L(x) = 2x + \dfrac{600}{x}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$$L(x) = 2x + \dfrac{600}{x} \ge 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{600}{x}} = 2\sqrt{1200} = 40\sqrt{3} \approx 69,282\text{ m}$$

Dấu bằng xảy ra khi $2x = \dfrac{600}{x} \Leftrightarrow x^2 = 300 \Leftrightarrow x = 10\sqrt{3} \approx 17,32$ m.
Chi phí tối thiểu là:

$$T = 40\sqrt{3} \times 150\,000 \approx 10\,392\,305\text{ đồng} \approx 10,4\text{ triệu đồng}$$

Đáp án: 10,4.