Đề kiểm tra giữa học kỳ I Toán 12 – Năm học 2026–2027

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

Điểm của mỗi câu đúng/sai trong ma trận là điểm tối đa. Các câu có thể sử dụng kiến thức liên quan giữa các bài; mỗi câu được xếp vào chủ đề trọng tâm.

BẢN ĐẶC TẢ

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)>0$ với mọi $x\in(1;4)$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 2. Hàm số $y=x^2-4x+3$ đạt cực tiểu tại điểm nào?

Câu 3. Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-3x$ bằng

Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^2$ trên đoạn $[-1;2]$ bằng

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1;4]$ bằng

Câu 6. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$ là

Câu 7. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$ là

Câu 8. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 9. Đồ thị hàm số $y=x^3-4x$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?

Câu 10. Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Câu 11. Một hình chữ nhật có chu vi $20$ m. Nếu một cạnh có độ dài $x$ m thì diện tích của hình chữ nhật bằng

Câu 12. Quãng đường của một vật chuyển động thẳng được cho bởi $s(t)=t^2+2t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Vận tốc của vật tại thời điểm $t=2$ giây bằng

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x$.
a) $f'(x)=3x^2-3$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$.
c) Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.
d) Với mọi $x\in(-1;1)$, ta có $-2<f(x)<2$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=x^2-4x+5$ trên đoạn $[0;3]$.
a) $f'(x)=2x-4$.
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho bằng $1$.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn đã cho bằng $2$.
d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho bằng $6$.

Câu 3. Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của $(C)$.
b) Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của $(C)$.
c) $\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{2x+1}{x-1}=-\infty$.
d) Điểm bất kì thuộc nhánh của $(C)$ ứng với $x>1$ đều có tung độ lớn hơn $2$.

Câu 4. Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $y'=\dfrac{2}{(x-1)^2}$.
c) Đồ thị $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$.
d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Một vật chuyển động thẳng trong $4$ giây, có vận tốc tại thời điểm $t$ là $v(t)=-t^2+4t+1$ m/s, với $0\leq t\leq4$. Vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian này bằng bao nhiêu m/s?

Câu 2. Trên một con đường thẳng có hai địa điểm $A$, $B$ cách nhau $8$ km. Một người xuất phát từ điểm $M$ trên đoạn $AB$, đi đến $A$ rồi đi từ $A$ đến $B$. Khi $M$ thay đổi trên đoạn $AB$, tổng quãng đường người đó đi nhỏ nhất bằng bao nhiêu km?

Câu 3. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+b$. Tìm $b$.

Câu 4. Cho hàm số $y=\dfrac{2x-3}{x+1}$. Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Câu 5. Một khu vườn hình chữ nhật được rào bằng $40$ m hàng rào. Diện tích lớn nhất của khu vườn bằng bao nhiêu mét vuông?

Câu 6. Một cơ sở sản xuất bán hết $x$ sản phẩm mỗi ngày, với $0\leq x\leq100$. Lợi nhuận mỗi ngày được mô hình hóa bởi $P(x)=-x^2+80x-300$ nghìn đồng. Để lợi nhuận lớn nhất, cơ sở cần bán bao nhiêu sản phẩm mỗi ngày?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Phần I. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II. Trong mỗi câu: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Phần III. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

Câu 1

Do $f'(x)>0$ với mọi $x\in(1;4)$, hàm số đồng biến trên $(1;4)$. Chọn A.

Câu 2

Ta có $y'=2x-4$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Chọn B.

Câu 3

Ta có $y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $1$, nên giá trị cực tiểu là $y(1)=-2$. Chọn C.

Câu 4

Với $x\in[-1;2]$, ta có $x^2\leq4$; dấu bằng xảy ra tại $x=2$. Vậy giá trị lớn nhất bằng $4$. Chọn D.

Câu 5

Ta có $y'=1-\dfrac{4}{x^2}$. Trên đoạn $[1;4]$, điểm tới hạn là $x=2$.

Vì $y(1)=5$, $y(2)=4$, $y(4)=5$, giá trị nhỏ nhất bằng $4$. Chọn A.

Câu 6

Khi $x\to3$, mẫu số tiến đến $0$ còn tử số tiến đến $7\ne0$. Vậy $x=3$ là tiệm cận đứng. Chọn B.

Câu 7

Ta có $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x-1}{x+2}=3$. Vậy $y=3$ là tiệm cận ngang. Chọn C.

Câu 8

Theo bảng biến thiên, đạo hàm âm trên $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Chọn D.

Câu 9

Phương trình hoành độ giao điểm là $x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0$, có ba nghiệm phân biệt $-2$, $0$, $2$. Chọn A.

Câu 10

Với $y=x^3+x$, ta có $y'=3x^2+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chọn B.

Câu 11

Nửa chu vi là $10$ m. Cạnh còn lại có độ dài $10-x$ m, nên diện tích là $x(10-x)$ m². Chọn C.

Câu 12

Vận tốc $v(t)=s'(t)=2t+2$ m/s. Do đó $v(2)=6$ m/s. Chọn D.

PHẦN II

Câu 1

a) Đúng. Ta có $f'(x)=3x^2-3$.

b) Sai. Với $-1<x<1$ thì $f'(x)<0$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

c) Đúng. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

d) Đúng. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$, với $f(-1)=2$ và $f(1)=-2$. Vì vậy $-2<f(x)<2$ với mọi $x\in(-1;1)$.

Câu 2

a) Đúng. Ta có $f'(x)=2x-4$.

b) Đúng. Vì $f(x)=(x-2)^2+1$ và $2\in[0;3]$, giá trị nhỏ nhất bằng $1$.

c) Sai. Ta có $f(0)=5$, $f(2)=1$, $f(3)=2$. Giá trị lớn nhất trên đoạn là $5$.

d) Đúng. Tổng hai giá trị cần tìm bằng $5+1=6$.

Câu 3

Viết lại hàm số dưới dạng $y=2+\dfrac{3}{x-1}$.

a) Đúng. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng.

b) Đúng. Khi $x\to\pm\infty$, $y\to2$, nên $y=2$ là tiệm cận ngang.

c) Sai. Khi $x\to1^+$, $\dfrac{3}{x-1}\to+\infty$, do đó giới hạn bằng $+\infty$.

d) Đúng. Với $x>1$ thì $\dfrac{3}{x-1}>0$, suy ra $y>2$.

Câu 4

a) Đúng. Hàm số xác định khi và chỉ khi $x\ne1$.

b) Sai. Ta có $y'=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$.

c) Đúng. Cho $x=0$ được $y=-1$.

d) Đúng. Vì $y'<0$ trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

PHẦN III

Câu 1

Ta có $v'(t)=-2t+4$. Trên đoạn $[0;4]$, $v'(t)=0$ khi $t=2$; đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại đây.

Vậy vận tốc lớn nhất là $v(2)=5$ m/s. Đáp số: 5.

Câu 2

Tổng quãng đường là $MA+AB=MA+8$ km. Vì $MA\geq0$, tổng quãng đường không nhỏ hơn $8$ km; dấu bằng xảy ra khi $M$ trùng $A$.

Vậy quãng đường nhỏ nhất là $8$ km. Đáp số: 8.

Câu 3

Chia đa thức, ta được

$$\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}=x+1+\dfrac{2}{x+1}.$$

Vì $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x+1}=0$, tiệm cận xiên là $y=x+1$. Suy ra $b=1$. Đáp số: 1.

Câu 4

Cho $x=0$, ta được $y=-3$. Tung độ cần tìm bằng $-3$. Đáp số: -3.

Câu 5

Gọi một cạnh của khu vườn là $x$ m, với $0<x<20$. Cạnh còn lại dài $20-x$ m; diện tích là

$$S(x)=x(20-x)=100-(x-10)^2\leq100.$$

Dấu bằng xảy ra khi $x=10$. Vậy diện tích lớn nhất là $100$ m². Đáp số: 100.

Câu 6

Ta có

$$P(x)=-x^2+80x-300=1300-(x-40)^2\leq1300.$$

Dấu bằng xảy ra khi $x=40$, thỏa mãn điều kiện. Cơ sở cần bán $40$ sản phẩm mỗi ngày. Đáp số: 40.

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn được công nhận kết quả.