ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I TOÁN 12 - MÃ ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG 02

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x + 2)^2 (x - 1)^3 (x - 4)^5$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[-2; 2]$, có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

[Đồ thị]

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ là đường thẳng có phương trình

Câu 5 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 2}$ là đường thẳng

Câu 6 (0,25 điểm). Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($a, b, c, d \in \mathbb{R}$, $c \ne 0$, $ad - bc \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ:

[Đồ thị]

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là

Câu 8 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới đây:

[Đồ thị]

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm

Câu 11 (0,25 điểm). Biết rằng đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ cắt đường thẳng $d: y = m$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $m \in (a; b)$. Giá trị của biểu thức $a + b$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m + 2)x - 5$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị $(C)$.
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^2 - 6x$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $2$.
d) Điểm uốn và cũng là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là điểm $I(1; 1)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x - 3}{x - 1}$ có đồ thị là $(H)$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đạo hàm $y' = \dfrac{1}{(x - 1)^2} > 0$ với mọi $x \ne 1$, do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
c) Đồ thị $(H)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$.
d) Tiếp tuyến của đồ thị $(H)$ tại giao điểm của $(H)$ với trục tung có hệ số góc bằng $1$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Ta có thể viết $y = x + \dfrac{1}{x - 1}$, do đó đường thẳng $y = x$ là đường tiệm cận xiên của $(C)$.
b) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$.
c) Hàm số đạt cực trị tại các điểm $x = 0$ và $x = 2$.
d) Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng $3$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Biết rằng $f(-2) = 5$ và $f(1) = -2$.
a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -2)$ và khoảng $(1; +\infty)$.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ và giá trị cực tiểu là $-2$.
c) Điểm $x = 3$ là một điểm cực trị của hàm số đã cho.
d) Phương trình $f(x) = 2$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt trên khoảng $(-\infty; 3)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Một chiếc xe thử nghiệm chuyển động thẳng, quãng đường đi được sau $t$ giây ($0 \le t \le 6$) được xác định bởi phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 5$ (đơn vị: mét). Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm $t$ là $v(t) = s'(t)$. Vận tốc tức thời lớn nhất mà xe đạt được trong khoảng thời gian trên bằng bao nhiêu m/s?

Câu 2 (0,5 điểm). Một xưởng cơ khí cần gia công một thùng chứa nhiên liệu bằng kim loại có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy là hình vuông cạnh $x$ (mét) và chiều cao là $h$ (mét). Thể tích của thùng chứa bắt buộc phải bằng $32\text{ m}^3$. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng chứa (không nắp) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy $x$ bằng bao nhiêu mét?

Câu 3 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp may mặc ước tính chi phí trung bình để sản xuất mỗi chiếc áo sơ mi khi sản xuất ở quy mô $x$ nghìn sản phẩm ($x \ge 1$) được mô hình hoá bởi hàm số:

$$\overline{C}(x) = 2x + \dfrac{72}{x} + 30 \quad (\text{nghìn đồng/chiếc}).$$

Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu nghìn chiếc áo sơ mi để chi phí trung bình trên mỗi chiếc áo là thấp nhất?

Câu 4 (0,5 điểm). Một công ty lữ hành nhận thấy: nếu giá bán một tour du lịch trọn gói là $4$ triệu đồng thì mỗi tuần có $150$ khách tham gia. Cứ mỗi lần công ty giảm giá tour $100$ nghìn đồng ($0{,}1$ triệu đồng) thì số lượng khách đăng ký mỗi tuần lại tăng thêm $15$ người. Biết rằng chi phí thực tế mà công ty phải chi trả cho mỗi khách tham gia tour là $1$ triệu đồng. Để lợi nhuận trong một tuần thu được là lớn nhất thì công ty nên đưa ra giá bán tour là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 5 (0,5 điểm). Một người thợ gò tôn muốn uốn một tấm tôn dài hình chữ nhật có chiều rộng $48\text{ cm}$ thành một rãnh dẫn nước hình lăng trụ hở nắp có mặt cắt ngang là hình chữ nhật (uốn hai bên mép tấm tôn lên một đoạn $x\text{ cm}$ vuông góc với đáy). Để diện tích mặt cắt ngang của dòng chảy đạt giá trị lớn nhất thì chiều cao uốn $x$ phải bằng bao nhiêu xentimét?

Câu 6 (0,5 điểm). Nồng độ của một loại kháng sinh trong huyết tương của bệnh nhân sau $t$ giờ ($t \ge 0$) kể từ khi tiêm tĩnh mạch được mô tả theo hàm số:

$$C(t) = \dfrac{8t}{t^2 + 16} \quad (\text{mg/L}).$$

Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi tiêm thì nồng độ kháng sinh trong huyết tương đạt mức cao nhất?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm mang dấu dương ($f'(x) > 0$) trên khoảng $(-3; 1)$.
Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-3; 1)$.
Chọn đáp án B.

Câu 2.
Ta có $f'(x) = (x + 2)^2 (x - 1)^3 (x - 4)^5$.
Phương trình $f'(x) = 0$ có:
- Nghiệm $x = -2$ là nghiệm bội chẵn (bội 2) nên $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = -2$.
- Nghiệm $x = 1$ là nghiệm bội lẻ (bội 3) nên $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = 1$.
- Nghiệm $x = 4$ là nghiệm bội lẻ (bội 5) nên $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = 4$.
Vậy hàm số có đúng $2$ điểm cực trị.
Chọn đáp án B.

Câu 3.
Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn $[-2; 2]$, điểm thấp nhất của đồ thị có tọa độ $(-1; -2)$ và $(2; -2)$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$ bằng $-2$.
Chọn đáp án A.

Câu 4.
Ta có $\lim_{x \to 3^+} \dfrac{2x + 1}{x - 3} = +\infty$ và $\lim_{x \to 3^-} \dfrac{2x + 1}{x - 3} = -\infty$.
Do đó, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = 3$.
Chọn đáp án A.

Câu 5.
Thực hiện phép chia đa thức:

$$y = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 2} = \dfrac{x(x - 2) - (x - 2) - 1}{x - 2} = x - 1 - \dfrac{1}{x - 2}.$$

Vì $\lim_{x \to \pm\infty} [y - (x - 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\dfrac{1}{x - 2}\right) = 0$ nên đường thẳng $y = x - 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Chọn đáp án A.

Câu 6.
Đồ thị là đường cong của hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
- Nhánh ngoài cùng bên phải đi lên trên ($\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$) nên hệ số $a > 0$, loại đáp án A.
- Đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0; 0)$ và nhận $(0; 0)$ làm tâm đối xứng, đi qua các điểm cực trị $(-1; 2)$ và $(1; -2)$.
Thử với hàm số $y = x^3 - 3x$:
$y(1) = 1^3 - 3(1) = -2$ (thỏa mãn).
Vậy đây là đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x$.
Chọn đáp án B.

Câu 7.
Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Quan sát hình vẽ:
- Đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$.
- Đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.
Vậy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm $I(-1; 2)$.
Chọn đáp án B.

Câu 8.
Xét hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$.
Đạo hàm: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$.
Trên đoạn $[0; 2]$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$.
Tính giá trị tại các điểm đặc biệt:
- $f(0) = 3$.
- $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 2$.
- $f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $\min_{[0; 2]} f(x) = 2$ (đạt tại $x = 1$).
Chọn đáp án B.

Câu 9.
Dựa vào bảng biến thiên:
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3 \Rightarrow$ đồ thị có $1$ đường tiệm cận ngang là $y = 3$.
- $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty \Rightarrow$ đồ thị có $1$ đường tiệm cận đứng là $x = 2$.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1 + 1 = 2$.
Chọn đáp án B.

Câu 10.
Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm mà tại đó đạo hàm $f'(x) = 0$ và đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm đó (theo chiều từ trái sang phải).
Dựa vào đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$:
- Tại $x = -2$: Đồ thị $f'(x)$ đi từ phía trên trục hoành xuống phía dưới trục hoành, tức $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm $\Rightarrow x = -2$ là điểm cực đại.
- Tại $x = 2$: Đồ thị $f'(x)$ đi từ phía dưới trục hoành lên phía trên trục hoành, tức $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $\Rightarrow x = 2$ là điểm cực tiểu.
Chọn đáp án B.

Câu 11.
Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.
Đạo hàm: $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
- Với $x = 0 \Rightarrow y(0) = 2$ (giá trị cực đại).
- Với $x = 2 \Rightarrow y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = -2$ (giá trị cực tiểu).
Đường thẳng $d: y = m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

$$y_{CT} < m < y_{CĐ} \Leftrightarrow -2 < m < 2.$$

Do đó $a = -2$ và $b = 2$. Giá trị của biểu thức $a + b = -2 + 2 = 0$.
Chọn đáp án A.

Câu 12.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y' = x^2 - 2mx + (m + 2)$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ khi và chỉ khi:

$$y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta' \le 0 \quad (\text{do } a = 1 > 0).$$

Ta có:

$$\Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot (m + 2) = m^2 - m - 2 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 2.$$

Chọn đáp án A.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1.
Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị $(C)$.
a) Đạo hàm: $f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$.
$\rightarrow$ Ý a) ĐÚNG.
b) Xét dấu đạo hàm: $f'(x) < 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
$\rightarrow$ Ý b) ĐÚNG.
c) Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Qua $x = 0$, $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.
Giá trị cực đại: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$.
$\rightarrow$ Ý c) ĐÚNG.
d) Đạo hàm cấp hai: $f''(x) = 6x - 6$.
Phương trình $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$.
Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn $I(1; 0)$ làm tâm đối xứng, không phải $I(1; 1)$.
$\rightarrow$ Ý d) SAI.

Câu 2.
Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x - 3}{x - 1}$ có đồ thị $(H)$.
a) Điều kiện xác định: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.
Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
$\rightarrow$ Ý a) ĐÚNG.
b) Đạo hàm: $y' = \dfrac{2(-1) - (-3)(1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{1}{(x - 1)^2} > 0$ với mọi $x \ne 1$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Kết luận "đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$" là sai theo quy ước về tính đơn điệu của hàm số.
$\rightarrow$ Ý b) SAI.
c) Ta có:
$\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x - 3}{x - 1} = 2 \Rightarrow$ đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.
$\lim_{x \to 1^+} y = -\infty$ và $\lim_{x \to 1^-} y = +\infty \Rightarrow$ đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.
$\rightarrow$ Ý c) ĐÚNG.
d) Giao điểm của đồ thị $(H)$ với trục tung ($x = 0$) là điểm $M(0; 3)$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm là $k = y'(0) = \dfrac{1}{(0 - 1)^2} = 1$.
$\rightarrow$ Ý d) ĐÚNG.

Câu 3.
Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Chia tử thức cho mẫu thức: $y = \dfrac{x(x - 1) + 1}{x - 1} = x + \dfrac{1}{x - 1}$.
Vì $\lim_{x \to \pm\infty} [y - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x - 1} = 0$ nên đường thẳng $y = x$ là đường tiệm cận xiên của $(C)$.
$\rightarrow$ Ý a) ĐÚNG.
b) Vì $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ (hoặc $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty$) nên đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của $(C)$.
$\rightarrow$ Ý b) ĐÚNG.
c) Đạo hàm: $y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$.
Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Tại hai điểm này $y'$ đều đổi dấu nên hàm số đạt cực trị tại $x = 0$ và $x = 2$.
$\rightarrow$ Ý c) ĐÚNG.
d) Lập bảng xét dấu của $y'$:
- Với $x < 0$: $y' > 0$; với $0 < x < 1$: $y' < 0$. Suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại là $y(0) = \dfrac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = -1$.
- Với $1 < x < 2$: $y' < 0$; với $x > 2$: $y' > 0$. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu là $y(2) = \dfrac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = 3$.
Mệnh đề nêu giá trị cực đại bằng $3$ là sai (đây là giá trị cực tiểu).
$\rightarrow$ Ý d) SAI.

Câu 4.
Bảng xét dấu đạo hàm cho thấy:
a) Trên khoảng $(-\infty; -2)$ ta có $f'(x) > 0$.
Trên khoảng $(1; +\infty)$ ta có $f'(x) \ge 0$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại điểm đơn lẻ $x = 3$.
Do đó hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -2)$ và đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
$\rightarrow$ Ý a) ĐÚNG.
b) Khi đi qua $x = 1$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 1$ là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu là $f(1) = -2$.
$\rightarrow$ Ý b) ĐÚNG.
c) Khi đi qua $x = 3$, $f'(x)$ không đổi dấu (đều mang dấu dương) nên điểm $x = 3$ không phải là điểm cực trị của hàm số.
$\rightarrow$ Ý c) SAI.
d) Xét số nghiệm của phương trình $f(x) = 2$ trên khoảng $(-\infty; 3)$:
- Trên khoảng $(-\infty; -2)$: Hàm số tăng liên tục từ $-\infty$ đến $f(-2) = 5$. Do $2 \in (-\infty; 5)$ nên phương trình có đúng 1 nghiệm trên khoảng này.
- Trên đoạn $[-2; 1]$: Hàm số giảm liên tục từ $f(-2) = 5$ xuống $f(1) = -2$. Do $2 \in (-2; 5)$ nên phương trình có đúng 1 nghiệm trên đoạn này.
- Trên nửa khoảng $(1; 3)$: Hàm số đồng biến tăng từ $f(1) = -2$ đến $f(3)$. Tuy nhiên, giả thiết đề bài không cho giá trị của $f(3)$ nên không đủ căn cứ để kết luận $f(3) > 2$ (nếu $f(3) \le 2$ thì phương trình vô nghiệm trên $(1; 3)$). Do đó, khẳng định phương trình "có đúng 3 nghiệm" là chưa đủ căn cứ/sai.
$\rightarrow$ Ý d) SAI.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm $t$ là:

$$v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t \quad (0 \le t \le 6).$$

Đây là một hàm số bậc hai với hệ số $a = -3 < 0$.
Ta có thể viết:

$$v(t) = -3(t^2 - 4t) = -3(t - 2)^2 + 12.$$

Vì $-3(t - 2)^2 \le 0$ với mọi $t$ nên $v(t) \le 12$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $t = 2$ (thỏa mãn điều kiện $0 \le t \le 6$).
Vậy vận tốc tức thời lớn nhất mà xe đạt được bằng $12$ m/s.

Đáp số: 12

Câu 2.
Thể tích của thùng chứa không có nắp là:

$$V = x^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{32}{x^2} \quad (x > 0).$$

Diện tích toàn phần của thùng chứa (gồm 1 mặt đáy và 4 mặt bên) là:

$$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{32}{x^2} = x^2 + \dfrac{128}{x} \quad (x > 0).$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

$$S(x) = x^2 + \dfrac{64}{x} + \dfrac{64}{x} \ge 3 \sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{64}{x} \cdot \dfrac{64}{x}} = 3 \sqrt[3]{64^2} = 3 \cdot 16 = 48.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$$x^2 = \dfrac{64}{x} \Leftrightarrow x^3 = 64 \Leftrightarrow x = 4\text{ (m)}.$$

Vậy độ dài cạnh đáy cần tìm là $4$ mét.

Đáp số: 4

Câu 3.
Hàm chi phí trung bình:

$$\overline{C}(x) = 2x + \dfrac{72}{x} + 30 \quad (x \ge 1).$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $2x$ và $\dfrac{72}{x}$:

$$2x + \dfrac{72}{x} \ge 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{72}{x}} = 2\sqrt{144} = 24.$$

Suy ra:

$$\overline{C}(x) \ge 24 + 30 = 54.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$$2x = \dfrac{72}{x} \Leftrightarrow x^2 = 36 \Leftrightarrow x = 6 \quad (\text{vì } x \ge 1).$$

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất $6$ nghìn chiếc áo sơ mi.

Đáp số: 6

Câu 4.
Gọi số lần giảm giá $100$ nghìn đồng ($0{,}1$ triệu đồng) là $x$ ($x \ge 0$).
Khi đó:
- Giá bán mỗi tour là: $p(x) = 4 - 0{,}1x$ (triệu đồng).
- Số lượng khách mỗi tuần là: $N(x) = 150 + 15x$ (khách).
- Lợi nhuận thu được trên mỗi khách là:

$$(4 - 0{,}1x) - 1 = 3 - 0{,}1x \text{ (triệu đồng)}.$$

Tổng lợi nhuận công ty thu được trong một tuần là:

$$L(x) = N(x) \cdot (3 - 0{,}1x) = (150 + 15x)(3 - 0{,}1x) = 15(10 + x) \cdot 0{,}1(30 - x) = 1{,}5(10 + x)(30 - x).$$

Khai triển hàm số:

$$L(x) = 1{,}5(-x^2 + 20x + 300) = -1{,}5x^2 + 30x + 450.$$

Hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol:

$$x = -\dfrac{30}{2 \cdot (-1{,}5)} = 10.$$

Với $x = 10$, mức giảm giá là $10 \times 0{,}1 = 1$ triệu đồng.
Giá bán tour để đạt lợi nhuận lớn nhất là:

$$4 - 1 = 3\text{ (triệu đồng)}.$$

Đáp số: 3

Câu 5.
Khi uốn hai bên mép tấm tôn lên một đoạn $x\text{ cm}$ ($0 < x < 24$):
- Chiều cao mặt cắt là $x\text{ (cm)}$.
- Chiều rộng của đáy rãnh là $48 - 2x\text{ (cm)}$.
Diện tích mặt cắt ngang của dòng chảy là diện tích hình chữ nhật:

$$S(x) = x(48 - 2x) = -2x^2 + 48x \quad (0 < x < 24).$$

Hàm số $S(x)$ là một tam thức bậc hai có hệ số $a = -2 < 0$, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

$$x = -\dfrac{48}{2 \cdot (-2)} = 12\text{ (cm)}.$$

Giá trị này hoàn toàn thỏa mãn điều kiện $0 < x < 24$.
Vậy chiều cao uốn $x$ phải bằng $12\text{ cm}$.

Đáp số: 12

Câu 6.
Nồng độ kháng sinh được mô tả bởi hàm số:

$$C(t) = \dfrac{8t}{t^2 + 16} \quad (t \ge 0).$$

- Tại $t = 0$: $C(0) = 0$.
- Với $t > 0$, chia cả tử và mẫu cho $t$:

$$C(t) = \dfrac{8}{t + \dfrac{16}{t}}.$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $t$ và $\dfrac{16}{t}$:

$$t + \dfrac{16}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \dfrac{16}{t}} = 2\sqrt{16} = 8.$$

Do mẫu số $t + \dfrac{16}{t} \ge 8$ nên:

$$C(t) = \dfrac{8}{t + \dfrac{16}{t}} \le \dfrac{8}{8} = 1\text{ (mg/L)}.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$$t = \dfrac{16}{t} \Leftrightarrow t^2 = 16 \Leftrightarrow t = 4\text{ (giờ) } (\text{do } t > 0).$$

Vậy sau $4$ giờ kể từ khi tiêm thì nồng độ kháng sinh trong huyết tương đạt mức cao nhất.

Đáp số: 4