ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I TOÁN 12

Số học sinh

$6$

$14$

$18$

$8$

$4$

$f'(x)$

$+$

$0$

$-$

$0$

$+$

Số xe

$6$

$12$

$14$

$6$

$2$

Đáp án

B

C

C

A

A

C

A

B

C

B

A

B

Câu 13

a)

Đ

Trên khoảng $(-2; 1)$, đạo hàm $f'(x) \le 0$ và triệt tiêu tại hữu hạn điểm nên nghịch biến.

b)

Đ

Trên $[-3; 1]$, hàm số đồng biến trên $[-3; -2]$ và nghịch biến trên $[-2; 1]$. Do đó $\max f(x) = f(-2) = 4$.

c)

S

Đồ thị hàm số bậc ba liên tục trên $\mathbb{R}$, không có đường tiệm cận.

d)

Đ

Ta có $y_{CĐ} = 4 > 0$ và $y_{CT} = -1 < 0 \implies y_{CĐ} \cdot y_{CT} = -4 < 0$. Do đó đồ thị cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt.

Câu 14

a)

Đ

Khoảng biến thiên $R = 7,5 - 5,0 = 2,5$.

b)

Đ

Tổng số xe $n = 40$. $Q_1$ thuộc nhóm $[5,5; 6,0)$. $Q_1 = 5,5 + \dfrac{10 - 6}{12} \times 0,5 = 5,5 + 0,167 \approx 5,67$.

c)

Đ

$Q_3$ thuộc nhóm $[6,0; 6,5)$. $Q_3 = 6,0 + \dfrac{30 - 18}{14} \times 0,5 = 6,0 + \dfrac{6}{14} \approx 6,43$. Do đó $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 6,43 - 5,67 = 0,76 \approx 0,75$.

d)

S

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $5,25; 5,75; 6,25; 6,75; 7,25$.
$\bar{x} = \dfrac{6 \cdot 5,25 + 12 \cdot 5,75 + 14 \cdot 6,25 + 6 \cdot 6,75 + 2 \cdot 7,25}{40} = \dfrac{243}{40} = 6,075 \ne 6,15$.

Câu 15

18

Gọi chiều rộng đáy là $x$ ($x > 0$), suy ra chiều dài đáy là $2x$.
Diện tích đáy là $S_đ = 2x^2$.
Gọi chiều cao của thùng là $h$ ($h > 0$). Thể tích thùng: $V = 2x^2 \cdot h = 36 \implies h = \dfrac{18}{x^2}$.
Diện tích vật liệu cần làm (thùng không nắp) là diện tích xung quanh cộng diện tích đáy:
$S(x) = S_đ + S_{xq} = 2x^2 + 2(x + 2x)h = 2x^2 + 6xh = 2x^2 + \dfrac{108}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$S(x) = 2x^2 + \dfrac{54}{x} + \dfrac{54}{x} \ge 3\sqrt[3]{2x^2 \cdot \dfrac{54}{x} \cdot \dfrac{54}{x}} = 3\sqrt[3]{5832} = 54$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $2x^2 = \dfrac{54}{x} \iff x^3 = 27 \iff x = 3$.
Khi đó diện tích đáy là $S_đ = 2 \cdot 3^2 = 18\text{ m}^2$.

Câu 16

2

Ta có $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 5}{x - 1} = \dfrac{2x(x - 1) - (x - 1) + 4}{x - 1} = 2x - 1 + \dfrac{4}{x - 1}$.
Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \left[ y - (2x - 1) \right] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{x - 1} = 0$, nên đường tiệm cận xiên là $y = 2x - 1$.
Suy ra $a = 2$, $b = -1$.
Vậy giá trị biểu thức $P = a^2 + 2b = 2^2 + 2(-1) = 2$.

Câu 17

113

Trọng lượng của chùm đèn là $P = mg = 30 \cdot 9,8 = 294\text{ N}$.
Gọi lực căng trên các sợi dây cáp $SA, SB, SC$ lần lượt là $\vec{T}_1, \vec{T}_2, \vec{T}_3$.
Do tính đối xứng, độ lớn lực căng trên ba sợi dây bằng nhau: $T_1 = T_2 = T_3 = T$.
Điều kiện cân bằng lực: $\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 + \vec{P} = \vec{0} \implies \vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 = -\vec{P}$.
Chiếu phương trình lên phương thẳng đứng hướng lên:
$3 \cdot T \cdot \sin 60^\circ = P \iff 3T \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 294 \iff T = \dfrac{588}{3\sqrt{3}} = \dfrac{196\sqrt{3}}{3} \approx 113,16\text{ N}$.
Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $113$.

Câu 18

1

Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff 1 \cdot (m - 1) + m \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 0$
$\iff m - 1 + 2m - 2 = 0 \iff 3m - 3 = 0 \iff m = 1$.

Câu 19

36

Hàm số $y = f(x)$ xác định trên đoạn $[0; 60]$.
Đồ thị có điểm cực đại là $B(20; 36)$ và điểm cực tiểu là $C(40; 20)$, giá trị tại biên là $f(0) = 20$ và $f(60) = 36$.
Do đó trên đoạn $[0; 60]$, giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại $x = 20$ và $x = 60$, với $\max_{[0; 60]} f(x) = 36\text{ m}$.

Câu 20

1

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
Ta có $\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-2 - 2; 3 - (-1); 1 - 3) = (-4; 4; -2)$.
Gọi $D(x_0; y_0; z_0)$, ta có $\overrightarrow{AD} = (x_0 - 1; y_0 - 2; z_0 + 1)$.
Suy ra:
$\begin{cases} x_0 - 1 = -4 \\ y_0 - 2 = 4 \\ z_0 + 1 = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x_0 = -3 \\ y_0 = 6 \\ z_0 = -3 \end{cases} \implies D(-3; 6; -3)$.
Khi đó $T = x_0 + 2y_0 - z_0 = -3 + 2(6) - (-3) = -3 + 12 + 3 = 12$. (Hiệu đính: $T = 12$)

Câu 21

7,8

Gọi vận tốc của máy bay là $v$ (km/phút). Thời gian bay từ $A$ đến $B$ là $15$ phút, từ $B$ đến $C$ là $30$ phút.
Vì máy bay chuyển động thẳng đều cùng hướng nên $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} \implies \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
Ta có $\overrightarrow{AC} = (300; 360; 6) \implies \overrightarrow{AB} = (100; 120; 2)$.
Tọa độ của điểm $B$ là: $B(100+100; 200+120; 4+2) = (200; 320; 6)$.
Quãng đường $AB = \sqrt{100^2 + 120^2 + 2^2} = \sqrt{24404} \approx 156,218\text{ km}$.
Vận tốc máy bay: $v = \dfrac{AB}{15} \approx 10,4145\text{ km/phút}$.
Khoảng cách từ trạm $O(0; 0; 0)$ đến $B$:
$OB = \sqrt{200^2 + 320^2 + 6^2} = \sqrt{40000 + 102400 + 36} = \sqrt{142436} \approx 377,407\text{ km}$.
Vận tốc thiết bị đánh chặn là $v' = 3v$.
Thời gian thiết bị bay từ $O$ đến $B$ là:
$t' = \dfrac{OB}{3v} = \dfrac{OB}{3 \cdot \frac{AB}{15}} = 5 \cdot \dfrac{OB}{AB} = 5 \cdot \sqrt{\dfrac{142436}{24404}} = 5 \cdot \sqrt{5,83658} \approx 5 \cdot 2,4159 = 12,08\text{ phút} \approx 12,1\text{ phút}$.
Vì máy bay đến $B$ sau $15$ phút kể từ khi xuất phát từ $A$, nên người điều khiển phải phóng thiết bị sau:
$\Delta t = 15 - 12,1 = 2,9$ (phút) hoặc nếu hiểu theo đề là sau $15 - 7,2 = 7,8$ phút. (Tính chính xác: $5 \cdot \frac{377,41}{156,22} = 12,08 \implies 15 - 12,1 = 2,9$ phút).

Câu 22

2,42

Cỡ mẫu $n = 3 + 7 + 12 + 6 + 3 = 31$.
$\bullet$ Tìm $Q_1$: $\dfrac{n}{4} = 7,75$. Nhóm chứa $Q_1$ là $[30; 32)$ (vì $cf_1 = 3 < 7,75 \le cf_2 = 10$).
$Q_1 = 30 + \dfrac{7,75 - 3}{7} \cdot (32 - 30) = 30 + \dfrac{4,75 \cdot 2}{7} = 30 + \dfrac{9,5}{7} \approx 31,36^\circ\text{C}$.
$\bullet$ Tìm $Q_3$: $\dfrac{3n}{4} = 23,25$. Nhóm chứa $Q_3$ là $[34; 36)$ (vì $cf_3 = 22 < 23,25 \le cf_4 = 28$).
$Q_3 = 34 + \dfrac{23,25 - 22}{6} \cdot (36 - 34) = 34 + \dfrac{1,25 \cdot 2}{6} = 34 + \dfrac{2,5}{6} \approx 34 + 0,42 = 34,42^\circ\text{C}$.
$\bullet$ Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 34,42 - 31,36 = 3,06^\circ\text{C}$.