ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I - TOÁN 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2026 – 2027

Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 1)$

B. $(-\infty; 2)$

C. $(1; +\infty)$

D. $(-2; +\infty)$

Câu 2 (0,25 điểm). Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ là

A. $M(0; 2)$

B. $N(2; -2)$

C. $x = 0$

D. $y = 2$

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 4 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $3$

B. $11$

C. $2$

D. $1$

Câu 5 (0,25 điểm). Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $x = -1$

B. $x = 1$

C. $y = 2$

D. $y = -1$

Câu 6 (0,25 điểm). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ là đường thẳng

A. $y = x + 1$

B. $y = x - 1$

C. $y = x - 3$

D. $y = 2x - 1$

Câu 7 (0,25 điểm). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ là điểm

A. $I(-1; 2)$

B. $I(1; 2)$

C. $I(1; -2)$

D. $I(2; 1)$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

[Đồ thị]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. $-1$

B. $1$

C. $3$

D. $0$

Câu 9 (0,25 điểm). Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

A. $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$

B. $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

C. $y = \dfrac{x - 1}{x + 1}$

D. $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$

B. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ( $a, b, c, d \in \mathbb{R}, c \ne 0, ad - bc \ne 0$ ) có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung và tiệm cận ngang nằm phía trên trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $ac > 0, cd < 0, bd < 0$

B. $ac > 0, cd > 0, bd < 0$

C. $ac < 0, cd < 0, bd > 0$

D. $ac > 0, cd < 0, bd > 0$

Câu 12 (0,25 điểm). Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm

A. $t = 2\text{ s}$

B. $t = 4\text{ s}$

C. $t = 1\text{ s}$

D. $t = 3\text{ s}$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Một xưởng cơ khí chuyên gia công một loại linh kiện điện tử. Nếu xưởng sản xuất $x$ trăm linh kiện mỗi ngày ( $0 < x \le 16$ ) thì tổng chi phí sản xuất được cho bởi hàm số:

$C(x) = x^3 - 18x^2 + 120x + 100\text{ (triệu đồng)}.$

Giá bán của mỗi trăm linh kiện phụ thuộc vào sản lượng theo hàm số cầu $p(x) = 264 - 15x$ (triệu đồng/trăm linh kiện). Lợi nhuận hàng ngày của xưởng là hàm số $L(x) = R(x) - C(x)$ (triệu đồng), trong đó $R(x) = x \cdot p(x)$ là tổng doanh thu bán được.
a) Doanh thu hàng ngày của xưởng đạt giá trị lớn nhất khi xưởng sản xuất $8,8$ trăm linh kiện.
b) Khi sản lượng sản xuất tăng từ $0$ đến $8$ trăm linh kiện thì lợi nhuận hàng ngày của xưởng luôn tăng.
c) Để lợi nhuận hàng ngày đạt giá trị lớn nhất thì xưởng cần sản xuất $800$ linh kiện mỗi ngày, khi đó lợi nhuận thu về là $732$ triệu đồng.
d) Tại thời điểm lợi nhuận của xưởng đạt giá trị lớn nhất, chi phí biên của xưởng bằng $36$ triệu đồng/trăm linh kiện (biết chi phí biên là đạo hàm $C'(x)$ của hàm tổng chi phí).

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^2}$ với mọi $x \ne 1$ .
c) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$ .
d) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ là điểm $I(1; 2)$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ .
a) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 2$ .
b) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và đạt cực đại tại $x = 2$ .
c) Tích các giá trị cực trị của hàm số đã cho bằng $-3$ .
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $2\sqrt{5}$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Một người nông dân dự định xây dựng một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $36\text{ m}^3$ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây dựng đáy bể là $150.000\text{ đồng/m}^2$ , chi phí xây dựng thành bể (các mặt xung quanh) là $100.000\text{ đồng/m}^2$ . Gọi $x$ (mét) là chiều rộng của đáy bể ( $x > 0$ ).
a) Chiều cao của bể theo $x$ là $h = \dfrac{18}{x^2}\text{ (m)}$ .
b) Tổng diện tích xung quanh của bể theo $x$ là $S_{xq} = \dfrac{108}{x}\text{ (m}^2\text{)}$ .
c) Chi phí tổng cộng để hoàn thiện bể chứa nước là $C(x) = 300.000 x^2 + \dfrac{10.800.000}{x}\text{ (đồng)}$ .
d) Để chi phí xây dựng bể là nhỏ nhất thì chiều rộng đáy bể phải bằng $3\text{ m}$ .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Một trạm phát điện $A$ được đặt ở bờ biển. Một hòn đảo nhỏ $C$ nằm ngoài khơi cách bờ biển $6\text{ km}$ , với hình chiếu vuông góc của $C$ lên bờ biển là điểm $B$ . Khoảng cách từ trạm phát điện $A$ đến $B$ là $16\text{ km}$ . Người ta kéo đường cáp điện từ trạm $A$ đến đảo $C$ bằng cách đặt cáp ngầm trên đất liền từ $A$ đến một điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ , sau đó đặt cáp ngầm dưới biển từ $M$ thẳng đến $C$ . Chi phí kéo cáp trên đất liền là $30$ triệu đồng/km, chi phí kéo cáp dưới biển là $50$ triệu đồng/km. Để tổng chi phí kéo cáp là nhỏ nhất thì khoảng cách từ điểm $M$ đến trạm $A$ phải bằng bao nhiêu kilômét?

Câu 2 (0,5 điểm). Một tàu thủy chở hàng di chuyển giữa hai cảng cách nhau $400\text{ km}$ với vận tốc không đổi $v\text{ (km/h)}$ ( $20 \le v \le 60$ ). Chi phí nhiên liệu cho mỗi giờ chạy tàu tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc và được tính bằng $25 v^3$ (đồng/giờ). Các chi phí khác (lương nhân viên, hao mòn, dịch vụ cảng...) cố định theo thời gian và bằng $3.200.000$ đồng cho mỗi giờ chạy tàu. Hỏi tàu phải chạy với vận tốc bằng bao nhiêu km/h để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là nhỏ nhất?

Câu 3 (0,5 điểm). Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $60\text{ cm} \times 96\text{ cm}$ , người thợ cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh bằng $x\text{ (cm)}$ ở bốn góc rồi gập các mép lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm $x$ (theo centimét) để thể tích của chiếc hộp thu được đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (0,5 điểm). Một kiến trúc sư thiết kế khung cửa sổ có dạng hình bán nguyệt gắn liền phía trên một hình chữ nhật (cửa sổ kiểu Norman). Biết chu vi toàn bộ của khung cửa sổ là $4 + \pi$ mét (bao gồm hai cạnh đứng, một cạnh đáy ngang và nửa đường tròn phía trên). Để diện tích của cửa sổ đón được nhiều ánh sáng nhất (diện tích toàn phần lớn nhất) thì chiều rộng của phần khung hình chữ nhật (cũng là đường kính của nửa hình tròn phía trên) phải bằng bao nhiêu mét?

Câu 5 (0,5 điểm). Một công ty dự kiến sản xuất một loại thùng chứa hình trụ bằng kim loại có thể tích $V = 54\pi\text{ dm}^3$ và có nắp. Để tiết kiệm chi phí nguyên vật liệu nhất, bán kính đáy của thùng chứa phải bằng bao nhiêu decimét?

Câu 6 (0,5 điểm). Một đơn vị quản lý vận hành một tòa nhà gồm $120$ căn hộ cho thuê. Nếu giá thuê mỗi căn hộ là $8$ triệu đồng/tháng thì toàn bộ $120$ căn hộ đều được thuê hết. Qua phân tích thị trường, người quản lý nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm $200.000$ đồng/tháng cho mỗi căn hộ thì sẽ có thêm $2$ căn hộ bị bỏ trống. Mỗi căn hộ cho thuê tiêu tốn của đơn vị $400.000$ đồng/tháng cho công tác quản lý và bảo trì. Để tổng lợi nhuận thu được hàng tháng từ việc cho thuê tòa nhà là lớn nhất thì đơn vị quản lý nên quyết định giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (3,0 điểm - Mỗi câu 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	C	A	B	C	A	B	B	A	A	B	A	A

Giải thích vắn tắt Phần I:
- Câu 1: Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$ . Do đó chọn C.
- Câu 2: $y' = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ . $y''(0) = -6 < 0 \Rightarrow$ điểm cực đại của đồ thị là $M(0; 2)$ . Chọn A.
- Câu 3: $f'(x) = 0$ có nghiệm đơn $x = 0$ , nghiệm bội ba $x = -2$ (đổi dấu qua 2 nghiệm này), và nghiệm bội chẵn $x = 1$ (không đổi dấu). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn B.
- Câu 4: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x \in \{0; 1; -1\}$ . Xét trên $[0; 2]$ : $f(0) = 3; f(1) = 2; f(2) = 11 \Rightarrow \min_{[0; 2]} f(x) = 2$ . Chọn C.
- Câu 5: Mẫu số triệt tiêu tại $x = -1$ và tử số khác 0 nên tiệm cận đứng là $x = -1$ . Chọn A.
- Câu 6: $\dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} = x - 1 + \dfrac{2}{x - 1} \Rightarrow$ tiệm cận xiên là $y = x - 1$ . Chọn B.
- Câu 7: Giao điểm hai đường tiệm cận $x = 1, y = 2$ là tâm đối xứng $I(1; 2)$ . Chọn B.
- Câu 8: Điểm cực tiểu của đồ thị là $(1; -1)$ , vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-1$ . Chọn A.
- Câu 9: Đồ thị có tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 1$ , đi qua $(0; -1)$ và $(-1; 0)$ , phù hợp với hàm $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ . Chọn A.
- Câu 10: $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} > 0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Chọn B.
- Câu 11: Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow \dfrac{b}{d} < 0 \Rightarrow bd < 0$ . Tiệm cận đứng $x = -\dfrac{d}{c} > 0 \Rightarrow cd < 0$ . Tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{c} > 0 \Rightarrow ac > 0$ . Chọn A.
- Câu 12: Vận tốc tức thời $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 15 = -3(t - 2)^2 + 27 \le 27$ . Đạt giá trị lớn nhất khi $t = 2\text{ s}$ . Chọn A.

B. ĐÁP ÁN PHẦN II (4,0 điểm)

Điểm tối đa mỗi câu là 1,0 điểm:
- Thí sinh chọn đúng 1 ý được 0,1 điểm.
- Thí sinh chọn đúng 2 ý được 0,25 điểm.
- Thí sinh chọn đúng 3 ý được 0,5 điểm.
- Thí sinh chọn đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	Ý	Lệnh hỏi	Đáp án	Giải thích tóm tắt
1	a)	Doanh thu hàng ngày lớn nhất khi sản xuất $8,8$ trăm linh kiện.	Đ	Doanh thu $R(x) = x(264 - 15x) = -15x^2 + 264x$ . $R'(x) = -30x + 264 = 0 \Leftrightarrow x = 8,8$ . Vì $R''(x) = -30 < 0$ nên $R(x)$ đạt cực đại tại $x = 8,8$ .
	b)	Khi sản lượng tăng từ $0$ đến $8$ trăm linh kiện thì lợi nhuận luôn tăng.	Đ	Lợi nhuận $L(x) = -x^3 + 3x^2 + 144x - 100$ . Ta có $L'(x) = -3x^2 + 6x + 144 = -3(x - 8)(x + 6)$ . Với $x \in (0; 8)$ thì $L'(x) > 0$ nên $L(x)$ đồng biến.
	c)	Để lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất $800$ linh kiện mỗi ngày, lợi nhuận là $732$ triệu đồng.	Đ	Bảng biến thiên cho thấy $L(x)$ đạt GTLN trên $(0; 16]$ tại $x = 8$ (tương ứng $800$ linh kiện). Giá trị lớn nhất $L(8) = -8^3 + 3(8^2) + 144(8) - 100 = 732$ triệu đồng.
	d)	Chi phí biên tại điểm cực đại lợi nhuận bằng $36$ triệu đồng/trăm linh kiện.	S	Chi phí biên $C'(x) = 3x^2 - 36x + 120$ . Tại $x = 8$ : $C'(8) = 3(64) - 36(8) + 120 = 24 \ne 36$ . (Hoặc vì tại cực trị lợi nhuận thì $C'(8) = R'(8) = 24$ ).
2	a)	Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .	Đ	Điều kiện xác định: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ .
	b)	Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^2}$ .	S	$f'(x) = \dfrac{2(-1) - (-1)(1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-1}{(x - 1)^2}$ .
	c)	Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ .	Đ	$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \Rightarrow x = 1$ là TCĐ; $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2 \Rightarrow y = 2$ là TCN.
	d)	Giao điểm hai đường tiệm cận là $I(1; 2)$ .	Đ	Giao điểm của đường $x = 1$ và $y = 2$ chính là $I(1; 2)$ .
3	a)	Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 2$ .	Đ	$f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} = x - 2 + \dfrac{1}{x - 1} \Rightarrow y = x - 2$ là TCX.
	b)	Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và đạt cực đại tại $x = 2$ .	S	$f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ . Cực đại tại $x = 0$ , cực tiểu tại $x = 2$ .
	c)	Tích các giá trị cực trị của hàm số đã cho bằng $-3$ .	Đ	$y_{CĐ} = f(0) = -3$ ; $y_{CT} = f(2) = 1 \Rightarrow y_{CĐ} \cdot y_{CT} = -3 \cdot 1 = -3$ .
	d)	Khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng $2\sqrt{5}$ .	Đ	Hai điểm cực trị: $A(0; -3)$ và $B(2; 1) \Rightarrow AB = \sqrt{(2-0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$ .
4	a)	Chiều cao của bể theo $x$ là $h = \dfrac{18}{x^2}\text{ (m)}$ .	Đ	Chiều dài đáy là $2x$ , diện tích đáy là $2x^2$ . Chiều cao $h = \dfrac{V}{2x^2} = \dfrac{36}{2x^2} = \dfrac{18}{x^2}\text{ (m)}$ .
	b)	Tổng diện tích xung quanh là $S_{xq} = \dfrac{108}{x}\text{ (m}^2\text{)}$ .	Đ	Chu vi đáy: $2(x + 2x) = 6x$ . $S_{xq} = 6x \cdot h = 6x \cdot \dfrac{18}{x^2} = \dfrac{108}{x}\text{ (m}^2\text{)}$ .
	c)	Chi phí tổng cộng: $C(x) = 300.000 x^2 + \dfrac{10.800.000}{x}$ .	Đ	$C(x) = 150.000 \cdot (2x^2) + 100.000 \cdot \dfrac{108}{x} = 300.000 x^2 + \dfrac{10.800.000}{x}\text{ (đồng)}$ .
	d)	Chi phí nhỏ nhất khi chiều rộng đáy bằng $3\text{ m}$ .	S	$C'(x) = 600.000 x - \dfrac{10.800.000}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 18 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{18}\text{ (m)} \ne 3$ .

C. ĐÁP ÁN PHẦN III (3,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu	Đáp số	Lời giải chi tiết
1	11,5	Đặt $BM = x\text{ (km)}$ với $0 \le x \le 16$ . Khi đó $AM = 16 - x\text{ (km)}$ . Đoạn cáp đặt dưới biển là cạnh huyền tam giác vuông $MBC$ : $MC = \sqrt{x^2 + 6^2} = \sqrt{x^2 + 36}\text{ (km)}$ . Tổng chi phí kéo cáp (triệu đồng) là hàm số: $f(x) = 30(16 - x) + 50\sqrt{x^2 + 36} = 480 - 30x + 50\sqrt{x^2 + 36}$ . Đạo hàm: $f'(x) = -30 + \dfrac{50x}{\sqrt{x^2 + 36}}$ . $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^2 + 36} \Leftrightarrow 25x^2 = 9(x^2 + 36) \Leftrightarrow 16x^2 = 324 \Leftrightarrow x = 4,5\text{ (km)}$ (do $x \ge 0$ ). Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 4,5$ . Khoảng cách từ điểm $M$ đến trạm $A$ là $AM = 16 - 4,5 = 11,5\text{ km}$ .
2	40	Thời gian tàu chạy hết quãng đường $400\text{ km}$ là $t = \dfrac{400}{v}\text{ (giờ)}$ . Tổng chi phí cho toàn bộ hành trình là: $T(v) = t \cdot (25v^3 + 3.200.000) = \dfrac{400}{v}(25v^3 + 3.200.000) = 10.000 v^2 + \dfrac{1.280.000.000}{v}\text{ (đồng)}$ . Đạo hàm: $T'(v) = 20.000 v - \dfrac{1.280.000.000}{v^2}$ . $T'(v) = 0 \Leftrightarrow 20.000 v^3 = 1.280.000.000 \Leftrightarrow v^3 = 64.000 \Leftrightarrow v = 40\text{ (km/h)}$ . Vì $v = 40 \in [20; 60]$ và $T'(v)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $v = 40$ nên chi phí nhỏ nhất khi tàu chạy với vận tốc $40\text{ km/h}$ .
3	12	Cạnh của bốn hình vuông bị cắt bỏ là $x\text{ (cm)}$ với $0 < x < 30$ . Kích thước đáy của chiếc hộp: chiều dài $96 - 2x\text{ (cm)}$ , chiều rộng $60 - 2x\text{ (cm)}$ ; chiều cao hộp là $x\text{ (cm)}$ . Thể tích khối hộp là hàm số: $V(x) = x(60 - 2x)(96 - 2x) = 4x(30 - x)(48 - x) = 4(x^3 - 78x^2 + 1440x)\text{ (cm}^3\text{)}$ . Đạo hàm: $V'(x) = 4(3x^2 - 156x + 1440) = 12(x^2 - 52x + 480)$ . $V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 12 \text{ (thỏa mãn)} \\ x = 40 \text{ (loại vì } x < 30) \end{array}\right.$ Bảng biến thiên cho thấy hàm số $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $(0; 30)$ tại $x = 12\text{ cm}$ .
4	2	Gọi bán kính của nửa hình tròn phía trên là $r\text{ (m)}$ ( $r > 0$ ). Chiều rộng của khung hình chữ nhật là $2r\text{ (m)}$ . Gọi $h\text{ (m)}$ là chiều cao của khung hình chữ nhật. Chu vi toàn bộ cửa sổ: $P = 2h + 2r + \pi r = 2h + (2 + \pi)r = 4 + \pi \Rightarrow 2h = (4 + \pi) - (2 + \pi)r$ . Diện tích toàn bộ cửa sổ gồm diện tích hình chữ nhật và nửa hình tròn: $S = 2r \cdot h + \dfrac{1}{2}\pi r^2 = r \cdot [2h] + \dfrac{1}{2}\pi r^2 = r[(4 + \pi) - (2 + \pi)r] + \dfrac{1}{2}\pi r^2 = (4 + \pi)r - \left(2 + \dfrac{\pi}{2}\right)r^2$ . Đạo hàm theo $r$ : $S'(r) = (4 + \pi) - 2\left(2 + \dfrac{\pi}{2}\right)r = (4 + \pi) - (4 + \pi)r$ . $S'(r) = 0 \Leftrightarrow (4 + \pi)(1 - r) = 0 \Leftrightarrow r = 1\text{ (m)}$ . Khi đó chiều cao $h = \dfrac{(4+\pi) - (2+\pi)}{2} = 1\text{ (m)} > 0$ . Vậy diện tích lớn nhất khi chiều rộng hình chữ nhật bằng $2r = 2 \cdot 1 = 2\text{ m}$ .
5	3	Gọi $r$ và $h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ ( $r > 0, h > 0$ ). Thể tích: $V = \pi r^2 h = 54\pi \Rightarrow h = \dfrac{54}{r^2}\text{ (dm)}$ . Diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích kim loại cần dùng: $S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{54}{r^2} = 2\pi \left( r^2 + \dfrac{54}{r} \right)$ . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $r^2 + \dfrac{54}{r} = r^2 + \dfrac{27}{r} + \dfrac{27}{r} \ge 3\sqrt[3]{r^2 \cdot \dfrac{27}{r} \cdot \dfrac{27}{r}} = 3 \cdot 9 = 27$ . Đẳng thức xảy ra khi $r^2 = \dfrac{27}{r} \Leftrightarrow r^3 = 27 \Leftrightarrow r = 3\text{ (dm)}$ .
6	10,2	Gọi $x$ là số lần tăng giá thuê mỗi đợt $200.000$ đồng ( $x \ge 0$ ). Giá thuê một căn hộ mỗi tháng: $p(x) = 8 + 0,2x\text{ (triệu đồng)}$ . Số căn hộ được thuê: $n(x) = 120 - 2x\text{ (căn)}$ (điều kiện $0 \le x < 60$ ). Lợi nhuận ròng thu về từ mỗi căn hộ được thuê sau khi trừ phí quản lý ( $0,4$ triệu đồng): $p(x) - 0,4 = 8 + 0,2x - 0,4 = 7,6 + 0,2x\text{ (triệu đồng)}$ . Tổng lợi nhuận mỗi tháng của tòa nhà là hàm số: $P(x) = (120 - 2x)(7,6 + 0,2x) = 2(60 - x) \cdot 0,2(38 + x) = 0,4(60 - x)(38 + x) = 0,4(2280 + 22x - x^2)$ . Hàm số bậc hai $f(x) = -x^2 + 22x + 2280$ có hệ số $a = -1 < 0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol: $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{22}{2} = 11$ (thỏa mãn $0 \le x < 60$ ). Khi đó giá thuê tối ưu cho mỗi căn hộ là: $p(11) = 8 + 0,2 \cdot 11 = 10,2\text{ (triệu đồng)}$ .