ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I - MÔN TOÁN 12

PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

[Đồ thị]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 2]$ có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$.

[Đồ thị]

Giá trị của biểu thức $M - m$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -x^3 + 3x + 4$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ có phương trình là

Câu 7 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = 2x - 1 + \dfrac{4}{x + 2}$ có phương trình là

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 9 (0,25 điểm). Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 10 (0,25 điểm). Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số đạo hàm $y=f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên:

[Đồ thị]

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x+1)(x-3)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1$.
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = -3x^2 + 6x$.
b) Phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x = 0$ và $x = 2$.
c) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $1$.
d) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = \dfrac{-3}{(x-1)^2}$.
c) Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
d) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$ và đường tiệm cận ngang $y = 2$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
b) Đồ thị $(C)$ có điểm cực tiểu là $(2; 3)$.
c) Đường thẳng $y = x$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
d) Đồ thị $(C)$ nhận giao điểm hai đường tiệm cận $I(1; 1)$ làm tâm đối xứng.

Câu 4 (1,0 điểm). Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, trong đó $t$ tính bằng giây ($s$) kể từ thời điểm ban đầu ($t \ge 0$) và quãng đường $s$ tính bằng mét ($m$).
a) Quãng đường chất điểm đi được sau $2$ giây đầu tiên là $70$ m.
b) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = 1$ s là $36$ m/s.
c) Kể từ thời điểm ban đầu, chất điểm dừng lại (vận tốc triệt tiêu) tại thời điểm $t = 7$ s.
d) Vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3$ s.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Tính giá trị cực đại của hàm số $y = -x^4 + 4x^2 + 2026$.

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{x^2 - 4x + 13}$.

Câu 3 (0,5 điểm). Một hợp tác xã chế biến chè có công suất tối đa $150$ tấn nguyên liệu mỗi tháng. Nếu chế biến $x$ tấn nguyên liệu trong một tháng ($1 \le x \le 150$) thì chi phí sản xuất và doanh thu lần lượt là:

$$C(x) = 0,002x^3 + 20x + 15\text{ (triệu đồng)}, \quad R(x) = 80x\text{ (triệu đồng)}$$

Hỏi lợi nhuận lớn nhất mà hợp tác xã có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4 (0,5 điểm). Một cửa hàng bán lẻ cặp học sinh đang bán mỗi chiếc cặp với giá $120$ nghìn đồng và mỗi tháng bán được trung bình $1200$ chiếc. Qua khảo sát, quản lý thấy rằng cứ mỗi lần hạ giá $5$ nghìn đồng cho một chiếc cặp thì lượng tiêu thụ mỗi tháng sẽ tăng thêm $100$ chiếc. Biết rằng chi phí nhập vào của một chiếc cặp cố định là $80$ nghìn đồng. Để thu được lợi nhuận lớn nhất trong tháng, cửa hàng nên định giá bán mới là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 5 (0,5 điểm). Số lượng cá thể của một đàn chim di cư sau $t$ tháng được ước tính bởi công thức $P(t) = 50e^{0,04t}$, trong đó $P(t)$ tính bằng nghìn con và $0 \le t \le 60$. Đạo hàm $P'(t)$ biểu thị tốc độ tăng đàn (nghìn con/tháng). Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ thời điểm ban đầu thì tốc độ tăng đàn đạt $4$ nghìn con/tháng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 6 (0,5 điểm). Một người thợ gò hàn muốn làm một chiếc thùng đựng nước hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông, thể tích bằng $32\text{ dm}^3$. Để tiết kiệm vật liệu nhất (diện tích toàn phần không kể nắp nhỏ nhất), cạnh đáy của hình hộp chữ nhật phải bằng bao nhiêu decimét?

--------- HẾT ---------

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược một cách giải; nếu học sinh giải theo cách khác đúng hoàn toàn thì vẫn cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.
- Điểm toàn bài giữ nguyên số thập phân, không làm tròn.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Điểm số cho mỗi câu:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm
- Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm

3. PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

C. LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU VẬN DỤNG VÀ BÀI TOÁN THỰC TẾ

PHẦN I

- Câu 1. Trên khoảng $(-2; 1)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến $\Rightarrow$ Chọn A.
- Câu 2. $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = -3$ và $x = 4$ $\Rightarrow$ Có $2$ điểm cực tiểu $\Rightarrow$ Chọn B.
- Câu 3. Điểm cực tiểu của đồ thị là $(1; -1) \Rightarrow y_{\text{CT}} = -1 \Rightarrow$ Chọn A.
- Câu 4. Trên $[-2; 2]$, $\max f(x) = M = 2$, $\min f(x) = m = -2 \Rightarrow M - m = 2 - (-2) = 4 \Rightarrow$ Chọn B.
- Câu 5. $f'(x) = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Với $x \in [0; 2]$, ta có $f(0) = 4$, $f(1) = 6$, $f(2) = 2 \Rightarrow \max_{[0; 2]} f(x) = 6 \Rightarrow$ Chọn C.
- Câu 6. $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty \Rightarrow$ Tiệm cận đứng là $x = -1 \Rightarrow$ Chọn A.
- Câu 7. Do $\lim_{x \to \pm\infty} [y - (2x - 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{x+2} = 0 \Rightarrow$ Tiệm cận xiên là $y = 2x - 1 \Rightarrow$ Chọn A.
- Câu 8. Tiệm cận đứng: $x = -1$ (do $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$). Tiệm cận ngang: $y = 1$ (khi $x \to -\infty$) và $y = 3$ (khi $x \to +\infty$). Tổng cộng có $1 + 2 = 3$ đường tiệm cận $\Rightarrow$ Chọn C.
- Câu 9. Đồ thị hàm bậc ba có nhánh cuối đi xuống $\Rightarrow a < 0$. Đồ thị qua $(0; -1)$, đạt cực tiểu tại $(0; -1)$ và cực đại tại $(2; 3) \Rightarrow y = -x^3 + 3x^2 - 1 \Rightarrow$ Chọn A.
- Câu 10. Đồ thị có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = 1$, cắt trục tung tại $(0; -1) \Rightarrow$ Hàm số $y = \dfrac{x+1}{x-1} \Rightarrow$ Chọn A.
- Câu 11. Hàm số nghịch biến khi $f'(x) < 0$. Dựa vào đồ thị $f'(x)$, ta thấy $f'(x) < 0$ khi $x \in (0; 2) \Rightarrow$ Chọn A.
- Câu 12. Bảng xét dấu $f'(x)$ âm trên khoảng $(-1; 3)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$. Do $0 < 2 \in (-1; 3)$ nên $f(0) > f(2) \Rightarrow$ Chọn A.

PHẦN II

- Câu 1:
+ a) $f'(x) = -3x^2 + 6x$ $\Rightarrow$ Đúng.
+ b) $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ $\Rightarrow$ Đúng.
+ c) Qua $x=0$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=0$ là điểm cực tiểu $\Rightarrow y_{\text{CT}} = f(0) = 1$ $\Rightarrow$ Đúng.
+ d) Với $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến trên $(0; 2)$ $\Rightarrow$ Sai.
- Câu 2:
+ a) Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ $\Rightarrow$ Đúng.
+ b) $y' = \dfrac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2}$ $\Rightarrow$ Đúng.
+ c) $y' < 0, \forall x \ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Rightarrow$ Sai.
+ d) $\lim_{x \to 1} y = \infty \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng; $\lim_{x \to \pm\infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang $\Rightarrow$ Đúng.
- Câu 3:
+ Biến đổi $y = x + \dfrac{1}{x-1} \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
+ a) $y' > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ $\Rightarrow$ Đúng.
+ b) $x = 2 \Rightarrow y(2) = 3$; $y'$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x = 2$ nên $(2; 3)$ là điểm cực tiểu $\Rightarrow$ Đúng.
+ c) $\lim_{x \to \pm\infty} [y - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x-1} = 0 \Rightarrow$ Tiệm cận xiên $y = x$ $\Rightarrow$ Đúng.
+ d) Giao điểm của tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = x$ là $I(1; 1)$. Do hàm phân thức bậc hai/bậc nhất nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng nên $I(1; 1)$ là tâm đối xứng $\Rightarrow$ Đúng.
- Câu 4:
+ a) Quãng đường đi được trong $2$ s đầu: $s(2) = -2^3 + 9 \cdot 2^2 + 21 \cdot 2 = -8 + 36 + 42 = 70$ m $\Rightarrow$ Đúng.
+ b) Vận tốc tức thời $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 21 \Rightarrow v(1) = -3 + 18 + 21 = 36$ m/s $\Rightarrow$ Đúng.
+ c) $v(t) = 0 \Leftrightarrow -3t^2 + 18t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = 7$ (vì $t \ge 0$) $\Rightarrow$ Đúng.
+ d) Parabol $v(t) = -3t^2 + 18t + 21$ có đỉnh tại $t = -\dfrac{18}{2 \cdot (-3)} = 3$ s $\Rightarrow v_{\max}$ tại $t = 3$ s $\Rightarrow$ Đúng.

PHẦN III

- Câu 1. $y = -x^4 + 4x^2 + 2026 \Rightarrow y' = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm\sqrt{2}$. Do hệ số $a = -1 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = \pm\sqrt{2}$. Giá trị cực đại là $y(\pm\sqrt{2}) = -4 + 8 + 2026 = 2030$.
- Câu 2. Biểu thức dưới căn: $x^2 - 4x + 13 = (x - 2)^2 + 9 \ge 9$. Do hàm căn đồng biến nên $\min y = \sqrt{9} = 3$ (đạt được tại $x = 2$).
- Câu 3. Hàm lợi nhuận thu được:

$$P(x) = R(x) - C(x) = 60x - 0,002x^3 - 20x - 15 = -0,002x^3 + 60x - 15$$

Đạo hàm: $P'(x) = -0,006x^2 + 60$.
$P'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 10000 \Leftrightarrow x = 100$ (thoả mãn $1 \le x \le 150$).
Tính giá trị: $P(100) = -0,002 \cdot 100^3 + 60 \cdot 100 - 15 = -2000 + 6000 - 15 = 3985$ triệu đồng.
- Câu 4. Gọi $x$ là số lần giảm giá $5$ nghìn đồng ($x \ge 0$).
+ Giá bán mới mỗi chiếc cặp: $p(x) = 120 - 5x$ (nghìn đồng).
+ Số cặp bán được mỗi tháng: $q(x) = 1200 + 100x$ (chiếc).
+ Lợi nhuận mỗi chiếc: $p(x) - 80 = 40 - 5x$ (nghìn đồng).
+ Tổng lợi nhuận mỗi tháng:

$$L(x) = (40 - 5x)(1200 + 100x) = 500(8 - x)(12 + x) = 500(-x^2 - 4x + 96)$$

Hàm số bậc hai đạt cực đại tại đỉnh $x = -\dfrac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
Vậy giá bán mới để tối đa hoá lợi nhuận là: $120 - 5 \cdot 2 = 110$ nghìn đồng.
- Câu 5. Tốc độ tăng đàn: $P'(t) = 50 \cdot 0,04 \cdot e^{0,04t} = 2e^{0,04t}$.
Yêu cầu $P'(t) = 4 \Leftrightarrow 2e^{0,04t} = 4 \Leftrightarrow e^{0,04t} = 2 \Leftrightarrow 0,04t = \ln 2 \Leftrightarrow t = \dfrac{\ln 2}{0,04} \approx 17,33$.
Làm tròn đến hàng đơn vị là $17$ tháng.
- Câu 6. Gọi cạnh đáy là $x$ ($x > 0$, dm), chiều cao thùng nước là $h$ ($h > 0$, dm).
Thể tích thùng: $V = x^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{32}{x^2}$.
Diện tích tôn cần dùng (diện tích toàn phần không nắp gồm đáy vuông và $4$ mặt bên):

$$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \dfrac{32}{x^2} = x^2 + \dfrac{128}{x}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$$S(x) = x^2 + \dfrac{64}{x} + \dfrac{64}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{64}{x} \cdot \dfrac{64}{x}} = 3\sqrt[3]{4096} = 3 \cdot 16 = 48$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x^2 = \dfrac{64}{x} \Leftrightarrow x^3 = 64 \Leftrightarrow x = 4\text{ dm}$.