Đề kiểm tra Giữa học kỳ I môn Toán 12

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (5,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^3(x + 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ là đường thẳng

Câu 5 (0,25 điểm). Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$ là đường thẳng

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 7 (0,25 điểm). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ là đường thẳng có phương trình

Câu 8 (0,25 điểm). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ là điểm

Câu 9 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ bằng vectơ nào sau đây?

Câu 11 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; -2; 3)$ và $\overrightarrow{v} = (-3; 0; 2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ là

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(2; -3; 5)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là

Câu 13 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -3)$ và $B(3; 0; 1)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là

Câu 14 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là

Câu 15 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 16 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai điểm $A(1; 0; 2)$ và $B(-1; 2; 1)$ bằng

Câu 17 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; 0; 1)$ và $\overrightarrow{v} = (0; 1; 1)$ bằng

Câu 18 (0,25 điểm). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$?

Câu 19 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^2 - 4x + 3$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 20 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 1; 0)$, $B(2; 0; 1)$, $C(0; 2; 2)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$.
c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$.
d) Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ và đạt cực tiểu tại $x = -1$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$.
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0; -2)$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $2$.
d) Điểm uốn của đồ thị hàm số là $U(1; 0)$, và điểm $U$ cũng chính là tâm đối xứng của đồ thị.

Câu 3 (0,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$, $C(0; 0; 4)$.
a) Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt{5}$.
b) Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.
c) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{BC}$ là $(0; -4; 4)$.
d) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $12$.

Câu 4 (0,5 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Biết rằng tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm (với $1 \le x \le 100$) được cho bởi hàm số:

$$C(x) = x^3 - 30x^2 + 400x + 500 \quad \text{(đơn vị: nghìn đồng)}$$

Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là $\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
a) Chi phí cố định ban đầu khi chưa sản xuất là $500$ nghìn đồng.
b) Hàm chi phí trung bình là $\overline{C}(x) = x^2 - 30x + 400 + \dfrac{500}{x}$.
c) Khi sản xuất $10$ sản phẩm thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $250$ nghìn đồng.
d) Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đạt giá trị nhỏ nhất khi doanh nghiệp sản xuất đúng $20$ sản phẩm.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1}$. Tìm tọa độ giao điểm $I(x_0; y_0)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho. Tính giá trị của biểu thức $P = x_0 + 2y_0$.

Câu 3 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; -1; 3)$, $\overrightarrow{b} = (1; 0; -2)$ và $\overrightarrow{c} = (3; 1; 1)$. Tích vô hướng $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}$ bằng bao nhiêu?

Câu 4 (0,5 điểm). Biết đồ thị hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 4m^3$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $4$ (với $O$ là gốc tọa độ). Tìm giá trị dương của tham số $m$.

Câu 5 (0,5 điểm). Một người nông dân có một tấm lưới thép dài $60$ m muốn rào một khu đất hình chữ nhật giáp bờ sông thẳng để trồng rau (bờ sông không cần rào). Diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà người đó có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Câu 6 (0,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một khinh khí cầu đang bay ở vị trí có tọa độ $A(100; 250; 500)$ (đơn vị: mét). Do gió thổi đều, sau một khoảng thời gian khinh khí cầu di chuyển theo vectơ $\overrightarrow{u} = (60; -80; 0)$ đến vị trí điểm $B$. Tính khoảng cách (theo đơn vị mét) từ gốc tọa độ $O$ (trạm kiểm soát mặt đất) đến vị trí $B$ của khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn chấm của tổ chuyên môn.
- Phần I gồm 20 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, mỗi câu trả lời đúng được $0,25$ điểm.
- Phần II gồm 4 câu trắc nghiệm Đúng/Sai, điểm tính theo số ý đúng trong từng câu:
- Đúng 1 ý được $0,1$ điểm;
- Đúng 2 ý được $0,25$ điểm;
- Đúng 3 ý được $0,5$ điểm;
- Đúng cả 4 ý được $1,0$ điểm.
- Phần III gồm 6 câu trắc nghiệm trả lời ngắn, mỗi câu trả lời đúng được $0,5$ điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (5,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

3. PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

C. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

- Câu 1: Từ BBT, $f'(x) > 0$ trên $(-\infty; 0)$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$. Khoảng $(-\infty; -1) \subset (-\infty; 0)$, chọn C.
- Câu 2: $f'(x) = x(x-2)^3(x+1) = 0$ có 3 nghiệm đơn/bội lẻ là $x = 0$, $x = 2$, $x = -1$. Do đó đạo hàm đổi dấu qua 3 điểm này nên có 3 điểm cực trị, chọn C.
- Câu 3: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0; 2]$. Ta có $f(0) = 2$, $f(1) = 0$, $f(2) = 4$. Vậy $\max_{[0; 2]} f(x) = 4$, chọn C.
- Câu 4: $\lim_{x \to (-3)^+} \dfrac{2x - 1}{x + 3} = -\infty$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -3$, chọn A.
- Câu 5: $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x + 1}{x - 2} = 3$ nên tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 3$, chọn B.
- Câu 6: Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x = -2$ và $x = 3$, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = -2$ và $x = 3$, chọn D.
- Câu 7: $\dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} = x + 3 + \dfrac{2}{x - 1}$. Khi $x \to \pm\infty$, $\dfrac{2}{x - 1} \to 0$ nên tiệm cận xiên là $y = x + 3$, chọn A.
- Câu 8: Đồ thị có TC đứng $x = -1$ và TC ngang $y = 2$. Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận $I(-1; 2)$, chọn B.
- Câu 9: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1 \Rightarrow$ tiệm cận ngang $y = 1$; $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty \Rightarrow$ tiệm cận đứng $x = 2$. Tổng số đường tiệm cận là $2$, chọn B.
- Câu 10: Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$, chọn A.
- Câu 11: $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (1 - 3; -2 + 0; 3 + 2) = (-2; -2; 5)$, chọn A.
- Câu 12: Chiếu vuông góc điểm $M(2; -3; 5)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ cho điểm có tọa độ $(2; -3; 0)$, chọn B.
- Câu 13: Trung điểm $I$ của $AB$: $x_I = \dfrac{1+3}{2} = 2$, $y_I = \dfrac{2+0}{2} = 1$, $z_I = \dfrac{-3+1}{2} = -1 \Rightarrow I(2; 1; -1)$, chọn A.
- Câu 14: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (2; -3; 1)$, chọn C.
- Câu 15: Đồ thị qua $O(0; 0) \Rightarrow d = 0$. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung $\Leftrightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 3ac < 0 \Leftrightarrow ac < 0$, chọn A.
- Câu 16: $AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$, chọn A.
- Câu 17: $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \dfrac{1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 1}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 60^\circ$, chọn C.
- Câu 18: $y = x^3 + 3x$ có $y' = 3x^2 + 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$, chọn A.
- Câu 19: $f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) < 0 \Leftrightarrow x \in (1; 3)$, nên hàm số nghịch biến trên $(1; 3)$, chọn B.
- Câu 20: Trọng tâm $G$: $x_G = \dfrac{1+2+0}{3} = 1$; $y_G = \dfrac{1+0+2}{3} = 1$; $z_G = \dfrac{0+1+2}{3} = 1 \Rightarrow G(1; 1; 1)$, chọn A.

PHẦN II

- Câu 1:
- a) Đúng. Điều kiện $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.
- b) Đúng. $f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 6)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$.
- c) Đúng. $f(x) = x - 2 + \dfrac{4}{x - 1}$, do đó $y = x - 2$ là tiệm cận xiên.
- d) Sai. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$. Qua $x = -1$, $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x = -1$; qua $x = 3$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên đạt cực tiểu tại $x = 3$.
- Câu 2:
- a) Đúng. Với $x = 0 \Rightarrow y = -2$, giao điểm với $Oy$ là $(0; -2)$.
- b) Đúng. $y' = -3x^2 + 6x > 0 \Leftrightarrow x \in (0; 2)$.
- c) Sai. Điểm cực tiểu là $x = 0$, giá trị cực tiểu $y_{CT} = f(0) = -2$ (giá trị bằng $2$ là giá trị cực đại $f(2) = 2$).
- d) Đúng. $y'' = -6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0$. Điểm uốn $U(1; 0)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba.
- Câu 3:
- a) Đúng. $AB = \sqrt{(0-2)^2 + (4-0)^2 + 0^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
- b) Sai. $\overrightarrow{AB} = (-2; 4; 0)$, $\overrightarrow{AC} = (-2; 0; 4) \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \ne 0$, tam giác không vuông tại $A$.
- c) Đúng. $\overrightarrow{BC} = (0 - 0; 0 - 4; 4 - 0) = (0; -4; 4)$.
- d) Sai. $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (16; 8; 8) \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{16^2 + 8^2 + 8^2} = 4\sqrt{6} \ne 12$.
- Câu 4:
- a) Đúng. Chi phí cố định khi $x = 0$ là $C(0) = 500$ nghìn đồng.
- b) Đúng. $\overline{C}(x) = \dfrac{x^3 - 30x^2 + 400x + 500}{x} = x^2 - 30x + 400 + \dfrac{500}{x}$.
- c) Đúng. $\overline{C}(10) = 10^2 - 30(10) + 400 + \dfrac{500}{10} = 100 - 300 + 400 + 50 = 250$ nghìn đồng.
- d) Sai. $\overline{C}'(x) = 2x - 30 - \dfrac{500}{x^2}$. Với $x = 20 \Rightarrow \overline{C}'(20) = 40 - 30 - \dfrac{500}{400} = 8,75 \ne 0$, nên chi phí trung bình không đạt cực tiểu tại $x = 20$.

PHẦN III

- Câu 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x$ và $\dfrac{4}{x}$:

$$y = x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}} = 4$$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2 > 0$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $4$.
- Câu 2: Đồ thị hàm số có TC đứng $x = -1$ và TC ngang $y = 1$. Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(-1; 1)$, suy ra $x_0 = -1, y_0 = 1$.
Do đó $P = x_0 + 2y_0 = -1 + 2(1) = 1$.
- Câu 3: Ta có $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2 + 1; -1 + 0; 3 - 2) = (3; -1; 1)$.
Tích vô hướng: $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 3\cdot 3 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 1 = 9 - 1 + 1 = 9$.
- Câu 4: Ta có $y' = 3x^2 - 6mx = 3x(x - 2m) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2m$.
Với $x = 0 \Rightarrow y = 4m^3 \Rightarrow A(0; 4m^3) \in Oy$.
Với $x = 2m \Rightarrow y = (2m)^3 - 3m(2m)^2 + 4m^3 = 0 \Rightarrow B(2m; 0) \in Ox$.
Tam giác $OAB$ vuông tại $O$, có diện tích:

$$S_{OAB} = \dfrac{1}{2} OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} |4m^3| \cdot |2m| = 4m^4$$

Theo giả thiết $S_{OAB} = 4 \Leftrightarrow 4m^4 = 4 \Leftrightarrow m^4 = 1$. Vì $m > 0$ nên $m = 1$.
- Câu 5: Gọi $x$ (m) là chiều rộng của khu đất (độ dài hai cạnh vuông góc với bờ sông), với $0 < x < 30$.
Chiều dài cạnh song song với bờ sông là $60 - 2x$ (m).
Diện tích khu đất là:

$$S(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x = -2(x - 15)^2 + 450 \le 450$$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 15$ m. Vậy diện tích lớn nhất là $450$ m$^2$.
- Câu 6: Tọa độ vị trí mới $B$ thỏa mãn $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{u}$:

$$B(100 + 60; 250 - 80; 500 + 0) = B(160; 170; 500)$$

Khoảng cách từ trạm kiểm soát $O(0; 0; 0)$ đến khinh khí cầu tại $B$:

$$OB = \sqrt{160^2 + 170^2 + 500^2} = \sqrt{25600 + 28900 + 250000} = \sqrt{304500} \approx 551,81 \text{ m}$$

Làm tròn đến hàng đơn vị được $552$ m.