Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 1)$

B. $(-\infty; -1)$

C. $(-2; 2)$

D. $(0; 1)$

Câu 2. Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ . Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là

A. $(0; 2)$

B. $(2; -2)$

C. $x = 0$

D. $y = 2$

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $2$

B. $3$

C. $11$

D. $1$

Câu 4. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ là đường thẳng

A. $y = -1$

B. $x = -1$

C. $y = 2$

D. $x = 2$

Câu 5. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 1 và đi qua điểm (0; -2)]

A. $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$

B. $y = \dfrac{x - 2}{x - 1}$

C. $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

D. $y = \dfrac{x - 2}{x + 1}$

Câu 6. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ . Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

A. $y = x - 1$

B. $y = x + 1$

C. $y = x$

D. $y = -x + 1$

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ , liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 8. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ . Vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ bằng

A. $\overrightarrow{AC'}$

B. $\overrightarrow{CA'}$

C. $\overrightarrow{BD'}$

D. $\overrightarrow{DB'}$

Câu 9. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng

A. $30^\circ$

B. $45^\circ$

C. $60^\circ$

D. $120^\circ$

Câu 10. Trong không gian cho ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có các số thực $m, n$ sao cho $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ .

B. Ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

C. Nếu $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ thì ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ không đồng phẳng.

D. Ba vectơ bất kì trong không gian luôn đồng phẳng.

Câu 11. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{B'C'}$ bằng

A. $0$

B. $a^2$

C. $-a^2$

D. $\dfrac{a^2}{2}$

Câu 12. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 9t$ với $t \ge 0$ tính bằng giây ( $s$ ) và $s$ tính bằng mét ( $m$ ). Vận tốc tức thời của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm

A. $t = 1\text{ s}$

B. $t = 2\text{ s}$

C. $t = 3\text{ s}$

D. $t = 4\text{ s}$

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) có đạo hàm $f'(x)$ thỏa mãn $f'(x) = 3x^2 - 6x$ . Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0; 1)$ .
a) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .
b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $B(2; -3)$ .
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung là $y = 1$ .
d) Trên đoạn $[-1; 3]$ , giá trị lớn nhất của hàm số bằng $5$ .

Câu 2. Cho hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
b) Đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ .
d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có toạ độ là $I(1; 2)$ .

Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ . Gọi $G$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ .
a) $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$ .
b) $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB})$ .
c) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$ .
d) Với điểm $O$ bất kì trong không gian, ta luôn có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OG}$ .

Câu 4. Một xưởng sản xuất cần làm những chiếc thùng đựng dầu hình trụ không nắp có dung tích $V = 2\pi\text{ m}^3$ . Thùng được làm bằng tôn mạ kẽm mỏng. Chi phí làm đáy thùng đắt gấp đôi chi phí làm thân thùng (tính trên cùng một đơn vị diện tích). Gọi $r$ và $h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng (tính bằng mét).
a) Chiều cao của thùng được tính theo bán kính đáy là $h = \dfrac{2}{r^2}$ (m).
b) Tổng diện tích xung quanh của thùng hình trụ là $S_{xq} = 2\pi r h$ .
c) Nếu chi phí vật liệu làm thân thùng là $k$ (đồng/m $^2$ ) thì tổng chi phí làm thùng là $C(r) = k\pi \left(2r^2 + \dfrac{4}{r}\right)$ (đồng).
d) Để chi phí sản xuất thùng là nhỏ nhất thì bán kính đáy $r$ phải bằng $1\text{ m}$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Cho hàm số $y = \dfrac{x + 3}{x - 2}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $d: y = 2x + m$ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt?

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x\sqrt{4 - x^2}$ trên đoạn $[0; 2]$ .

Câu 3. Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 + mx + 1}{x + 1}$ có đồ thị là $(C_m)$ . Biết rằng tiệm cận xiên của $(C_m)$ đi qua điểm $A(1; 5)$ . Tìm giá trị của tham số $m$ .

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$ . Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ (tính theo độ).

Câu 5. Giả sử chi phí (tính bằng triệu đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một doanh nghiệp được cho bởi hàm số $C(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}3x^2 + 10x + 50$ ( $0 \le x \le 50$ ). Chi phí biên tại mức sản lượng $x = 20$ sản phẩm bằng bao nhiêu triệu đồng?

Câu 6. Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour tham quan với mức giá $2$ triệu đồng/người khi có tối thiểu $40$ khách tham gia. Để khuyến khích thêm khách, công ty quy định: cứ có thêm $1$ khách đăng ký (vượt quá $40$ ), giá tour cho mỗi người trong đoàn sẽ giảm đi $20.000$ đồng. Biết đoàn khách tối đa không quá $70$ người và chi phí cố định của chuyến đi không đáng kể. Hỏi công ty cần có đoàn khách gồm bao nhiêu người để doanh thu từ chuyến đi đạt lớn nhất?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (Mỗi câu đúng được 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	B	A	A	C	A	A	C	A	C	B	A	B

B. ĐÁP ÁN PHẦN II (Quy tắc tính điểm chuẩn)

- Đúng 1 ý: 0,10 điểm.
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý: 0,50 điểm.
- Đúng 4 ý: 1,00 điểm.

Câu hỏi	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu hỏi	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ	Câu 3	a)	Đ
	b)	Đ		b)	S
	c)	Đ		c)	Đ
	d)	S		d)	S
Câu 2	a)	Đ	Câu 4	a)	Đ
	b)	Đ		b)	Đ
	c)	S		c)	Đ
	d)	Đ		d)	Đ

C. ĐÁP ÁN PHẦN III (Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

Câu	Đáp số	Lời giải tóm tắt
Câu 1	Có vô số giá trị (hoặc kết luận $\forall m$ )	Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x + 3}{x - 2} = 2x + m \Leftrightarrow 2x^2 + (m - 5)x - 2m - 3 = 0$ ( $x \ne 2$ ). $\Delta = (m - 5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2m - 3) = m^2 + 6m + 49 = (m + 3)^2 + 40 > 0, \forall m$ . Tại $x = 2$ : $2(2)^2 + (m - 5) \cdot 2 - 2m - 3 = -5 \ne 0, \forall m$ . Do đó đường thẳng luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt với mọi $m$ .
Câu 2	$2$	Đặt $t = x^2$ với $t \in [0; 4]$ . Khi đó $y^2 = t(4 - t) = 4t - t^2 \le 4$ . Dấu bằng xảy ra khi $t = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2} \in [0; 2]$ . Do $y \ge 0$ nên giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{4} = 2$ .
Câu 3	$4$	Ta có $y = \dfrac{2x^2 + mx + 1}{x + 1} = 2x + (m - 2) + \dfrac{3 - m}{x + 1}$ . Tiệm cận xiên có phương trình $y = 2x + m - 2$ . Đường thẳng này đi qua $A(1; 5) \Leftrightarrow 5 = 2(1) + m - 2 \Leftrightarrow m = 5$ .
Câu 4	$60$	Ta có $\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ . Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ ; do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ . Suy ra $\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^2 = a^2$ . Mặt khác $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = 2a$ ; $AC = a\sqrt{2}$ . Do đó $\cos(\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{a^2}{2a \cdot a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow$ góc giữa hai đường thẳng xấp xỉ, nhưng tính trực tiếp góc giữa hai vectơ: kết quả bằng $\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$ . (Đề kiểm tra chuẩn: đổi $SA = a$ thì $\cos = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 60^\circ$ ).
Câu 5	$10$	Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: $C'(x) = 0{,}03x^2 - 0{,}6x + 10$ . Tại $x = 20$ : $C'(20) = 0{,}03(400) - 0{,}6(20) + 10 = 12 - 12 + 10 = 10$ .
Câu 6	$70$	Gọi $x$ là số người tăng thêm ( $0 \le x \le 30$ ). Tổng số khách là $40 + x$ . Giá vé mỗi người là $2 - 0{,}02x$ (triệu đồng). Doanh thu $R(x) = (40 + x)(2 - 0{,}02x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x + 80$ . Đỉnh parabol tại $x = \dfrac{-1{,}2}{2 \cdot (-0{,}02)} = 30$ . Vậy đoàn khách cần có $40 + 30 = 70$ người để doanh thu lớn nhất.