Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 12 – Theo đặc tả ảnh – Có lời giải chi tiết

Đề gồm ba phần, tổng điểm 10,0. Thí sinh được sử dụng máy tính cầm tay theo quy định.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây.

[Đồ thị]

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là điểm nào?

[Đồ thị]

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm và biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Câu 5 (0,25 điểm). Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị trên đoạn đó như hình dưới đây. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$. Cặp $(M;m)$ là

[Đồ thị]

Câu 6 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y=2x-3+\dfrac{1}{x+1}$ có đường tiệm cận xiên là

Câu 7 (0,25 điểm). Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$ có tọa độ là

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Đồ thị hàm số có tổng cộng bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Câu 9 (0,25 điểm). Đồ thị trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+2)(x-1)^2(x-3)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Câu 11 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-3x+4}{x-2}$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ là

Câu 12 (0,25 điểm). Hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai. Mỗi ý trả lời đúng được 0,25 điểm; các ý được chấm độc lập.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ là một hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, có đồ thị như hình dưới đây. Các đường nét đứt biểu diễn các đường tiệm cận.

[Đồ thị]

a) Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.
b) Đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(1;+\infty)$ bằng $6$.
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$.

a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=3x^2-6x-9$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;3)$.
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $7$.
d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $I(1;9)$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=1$.
c) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ bằng $3$.

Câu 4 (1,0 điểm). Trong $4$ giây đầu kể từ lúc bắt đầu chuyển động, quãng đường một chất điểm đi được được mô tả bởi hàm số

$$s(t)=-t^3+6t^2+12t,\qquad 0\le t\le4,$$

trong đó $t$ tính bằng giây, $s(t)$ tính bằng mét. Gọi $v(t)$ và $a(t)$ lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm.

a) Hàm vận tốc là $v(t)=-3t^2+12t+12$.
b) Hàm gia tốc là $a(t)=-6t+6$.
c) Vận tốc tại thời điểm $t=1$ giây bằng $21$ m/s.
d) Vận tốc lớn nhất trong $4$ giây đầu bằng $36$ m/s.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Chỉ ghi kết quả số theo đơn vị được yêu cầu.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số. Tính $M-3m$.

Câu 2 (0,5 điểm). Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-4x^2+1$ trên đoạn $[-1;2]$. Tính $M-m$.

Câu 3 (0,5 điểm). Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2-3x+4}{x-1}$ có tâm đối xứng là $I(a;b)$. Tính $2a+3b$.

Câu 4 (0,5 điểm). Nhiệt độ trong một nhà kính được mô hình hóa bởi hàm số

$$T(t)=-t^2+8t+20,\qquad 0\le t\le8,$$

trong đó $T(t)$ tính bằng độ C, $t$ là số giờ tính từ $8$ giờ sáng. Sau bao nhiêu giờ kể từ $8$ giờ sáng thì nhiệt độ theo mô hình đạt giá trị lớn nhất?

Câu 5 (0,5 điểm). Một cửa hàng đang bán một loại sản phẩm với giá $50$ nghìn đồng/sản phẩm và bán được $200$ sản phẩm mỗi ngày. Theo khảo sát, cứ giảm giá $1$ nghìn đồng/sản phẩm thì lượng bán mỗi ngày tăng thêm $10$ sản phẩm. Giả sử quy luật này đúng trên toàn bộ khoảng giá từ $20$ đến $50$ nghìn đồng/sản phẩm; giá vốn không đổi là $20$ nghìn đồng/sản phẩm và cửa hàng bán hết lượng sản phẩm tương ứng với giá đã chọn. Bỏ qua các chi phí khác.

Cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu nghìn đồng/sản phẩm để lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất?

Câu 6 (0,5 điểm). Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $30$ cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình có cạnh $x$ cm, rồi gấp phần còn lại thành một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật. Biết $0<x<15$. Phần tô xám trong hình biểu diễn các phần bị cắt bỏ; nét đứt biểu diễn các nếp gấp.

[Hình vẽ]

Cần chọn $x$ bằng bao nhiêu xentimét để thể tích chiếc hộp lớn nhất?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. THANG ĐIỂM VÀ PHÂN BỔ MỨC ĐỘ

Phần I: $12$ câu, mỗi câu đúng được $0,25$ điểm, tổng $3,0$ điểm.
Phần II: $16$ ý, mỗi ý đúng được $0,25$ điểm, tổng $4,0$ điểm; chấm độc lập từng ý, không áp dụng cách tính điểm bậc thang.
Phần III: $6$ câu, mỗi câu đúng được $0,5$ điểm, tổng $3,0$ điểm.

Tỉ lệ nhận thức được phân bổ theo điểm, phù hợp với đề kiểm tra định kì và bảng đặc tả đã cung cấp.

B. ĐÁP ÁN NHANH

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II. Trắc nghiệm đúng/sai

Mỗi ý trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần III. Trả lời ngắn

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

C. LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I

Câu 1

Chọn B.

Từ bảng biến thiên, $f'(x)>0$ trên hai khoảng $(-\infty;-2)$ và $(2;+\infty)$.

Vì vậy, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-2)$.

Trên khoảng $(-2;2)$, hàm số nghịch biến. Hai khoảng trong phương án C và D đều chứa những đoạn mà hàm số biến thiên khác chiều nên không phải khoảng đồng biến.

Câu 2

Chọn D.

Quan sát đồ thị từ trái sang phải, đồ thị đi lên khi $-1<x<1$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$.

Trên hai khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến.

Câu 3

Chọn A.

Tại điểm $(1;0)$, đồ thị chuyển từ đi xuống sang đi lên. Vì vậy, đây là điểm cực tiểu của đồ thị.

Điểm $(-1;4)$ là điểm cực đại của đồ thị.

Câu 4

Chọn C.

Tại $x=-2$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại.

Tại $x=0$, đạo hàm bằng $0$ nhưng không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

Tại $x=2$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu.

Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực đại.

Câu 5

Chọn B.

Trên đoạn $[-1;3]$, điểm cao nhất của đồ thị có tung độ $4$, đạt tại $x=0$.

Điểm thấp nhất có tung độ $-5$, đạt tại $x=3$.

Do đó $M=4$, $m=-5$, suy ra $(M;m)=(4;-5)$.

Câu 6

Chọn A.

Ta có

$$\lim_{x\to\pm\infty}\left[y-(2x-3)\right] =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x+1}=0.$$

Vì vậy, đường thẳng $y=2x-3$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

Câu 7

Chọn D.

Ta viết

$$\dfrac{2x+1}{x-3}=2+\dfrac{7}{x-3}.$$

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=3$ và tiệm cận ngang $y=2$.

Giao điểm của hai đường tiệm cận là $(3;2)$.

Câu 8

Chọn C.

Từ bảng biến thiên:

$$\lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty.$$

Vì vậy, $x=1$ là tiệm cận đứng.

Mặt khác,

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=2,$$

nên $y=2$ là tiệm cận ngang.

Hai giới hạn ở hai phía vô cực cùng xác định một đường tiệm cận ngang, không phải hai đường khác nhau.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2$.

Câu 9

Chọn D.

Đồ thị đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$; nhánh bên phải đi lên.

Với $f(x)=x^3-3x$, ta có

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$, đồng thời

$$f(-1)=2,\qquad f(1)=-2,\qquad f(0)=0.$$

Các đặc điểm này khớp với đồ thị đã cho.

Câu 10

Chọn B.

Ta có

$$f'(x)=(x+2)(x-1)^2(x-3).$$

Ngoài các nghiệm của đạo hàm, thừa số $(x-1)^2$ luôn dương nên dấu của đạo hàm được quyết định bởi $(x+2)(x-3)$.

Đạo hàm dương khi $x<-2$ hoặc $x>3$; âm khi $-2<x<1$ hoặc $1<x<3$.

Tại $x=-2$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại.
Tại $x=1$, đạo hàm không đổi dấu nên không có cực trị.
Tại $x=3$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu.

Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực đại.

Câu 11

Chọn C.

Điểm thuộc trục tung có hoành độ bằng $0$.

Thay $x=0$ vào hàm số, ta được

$$y=\dfrac{0^2-3\cdot0+4}{0-2}=-2.$$

Vậy giao điểm cần tìm là $(0;-2)$.

Câu 12

Chọn A.

Ta có

$$y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).$$

Suy ra $y'<0$ khi $1<x<3$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$.

D. LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN II

Câu 1

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Đồ thị chuyển từ đi lên sang đi xuống tại điểm $(-1;-2)$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$. Khẳng định đúng.

b) Đường tiệm cận đứng của đồ thị là $x=1$, không phải $x=-1$. Khẳng định sai.

c) Trên khoảng $(1;+\infty)$, đồ thị có điểm thấp nhất là $(3;6)$. Do đó $6$ là giá trị nhỏ nhất, không phải giá trị lớn nhất.

Ngoài ra, khi $x\to1^+$, giá trị hàm số tăng không bị chặn nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng này. Khẳng định sai.

d) Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị đi xuống khi hoành độ tăng nên hàm số nghịch biến. Khẳng định đúng.

Câu 2

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Với $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$, ta có

$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3).$$

Các nghiệm của đạo hàm là $x=-1$ và $x=3$. Ta tính được

$$f(-1)=7,\qquad f(3)=-25.$$

Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

a) Công thức đạo hàm trong khẳng định đúng với kết quả tính toán. Khẳng định đúng.

b) Trên khoảng $(-1;3)$, $f'(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không phải đồng biến. Khẳng định sai.

c) Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-1$ nên giá trị cực đại là $f(-1)=7$. Khẳng định đúng.

d) Với hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$, hoành độ tâm đối xứng là $x_0=-\dfrac{b}{3a}$.

Trong bài này,

$$x_0=-\dfrac{-3}{3}=1,\qquad y_0=f(1)=-9.$$

Vậy tâm đối xứng là $I(1;-9)$, không phải $I(1;9)$. Khẳng định sai.

Câu 3

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Điều kiện xác định là $x-1\ne0$, tức $x\ne1$.

Do đó tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Khẳng định đúng.

b) Ta có

$$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}.$$

Suy ra

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2.$$

Tiệm cận ngang là $y=2$, không phải $y=1$. Khẳng định sai.

c) Đạo hàm:

$$f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2} =-\dfrac{3}{(x-1)^2}<0\qquad(x\ne1).$$

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Khẳng định đúng.

d) Hàm số nghịch biến trên đoạn $[2;4]$ nên

$$\max_{[2;4]}f(x)=f(2)=5,\qquad \min_{[2;4]}f(x)=f(4)=3.$$

Giá trị $3$ là giá trị nhỏ nhất, không phải giá trị lớn nhất. Khẳng định sai.

Câu 4

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Lấy đạo hàm của hàm quãng đường:

$$v(t)=s'(t)=-3t^2+12t+12.$$

Khẳng định đúng.

b) Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:

$$a(t)=v'(t)=-6t+12.$$

Vì vậy công thức $a(t)=-6t+6$ không đúng. Khẳng định sai.

c) Thay $t=1$, ta được

$$v(1)=-3+12+12=21.$$

Vận tốc tại thời điểm $t=1$ giây là $21$ m/s. Khẳng định đúng.

d) Viết vận tốc dưới dạng

$$v(t)=-3(t-2)^2+24.$$

Với $0\le t\le4$, ta có $v(t)\le24$, dấu bằng xảy ra khi $t=2$.

Vậy vận tốc lớn nhất là $24$ m/s, không phải $36$ m/s. Khẳng định sai.

E. LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN III

Câu 1

Ta có

$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=0$ và từ âm sang dương tại $x=2$.

Vì vậy,

$$M=f(0)=2,\qquad m=f(2)=8-12+2=-2.$$

Suy ra

$$M-3m=2-3(-2)=8.$$

Đáp án: $8$.

Câu 2

Hàm số $f(x)=x^4-4x^2+1$ liên tục trên đoạn $[-1;2]$.

Ta có

$$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2).$$

Các nghiệm của $f'(x)=0$ là $x=0$, $x=\pm\sqrt2$. Trong đoạn $[-1;2]$, chỉ có $x=0$ và $x=\sqrt2$.

Tính giá trị hàm số tại hai đầu mút và các điểm dừng thuộc đoạn:

$$f(-1)=-2,\qquad f(0)=1,$$

$$f(\sqrt2)=-3,\qquad f(2)=1.$$

Do đó

$$M=1,\qquad m=-3.$$

Suy ra

$$M-m=1-(-3)=4.$$

Đáp án: $4$.

Câu 3

Chia đa thức, ta được

$$\dfrac{2x^2-3x+4}{x-1}=2x-1+\dfrac{3}{x-1}.$$

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=2x-1$.

Giao điểm của hai đường tiệm cận là

$$I(1;1).$$

Để kiểm tra đây là tâm đối xứng, đặt $x=1+u$ với $u\ne0$. Khi đó

$$y-1=2u+\dfrac{3}{u}.$$

Vế phải là một hàm lẻ theo biến $u$, nên đồ thị đối xứng tâm qua $I(1;1)$.

Vậy $a=1$, $b=1$, suy ra

$$2a+3b=2+3=5.$$

Đáp án: $5$.

Câu 4

Ta có

$$T'(t)=-2t+8.$$

Giải $T'(t)=0$, được $t=4$, thuộc đoạn $[0;8]$.

Đạo hàm dương khi $0<t<4$ và âm khi $4<t<8$. Vì vậy, nhiệt độ tăng đến $t=4$, sau đó giảm.

Cũng có thể viết

$$T(t)=-(t-4)^2+36\le36.$$

Dấu bằng xảy ra tại $t=4$.

Vậy nhiệt độ đạt giá trị lớn nhất sau $4$ giờ kể từ $8$ giờ sáng, tức lúc $12$ giờ trưa.

Đáp án: $4$.

Câu 5

Gọi $x$ là số nghìn đồng giảm giá trên mỗi sản phẩm so với mức giá ban đầu. Khi đó $0\le x\le30$.

Giá bán mới là $50-x$ nghìn đồng/sản phẩm.

Số sản phẩm bán được mỗi ngày là

$$200+10x.$$

Lợi nhuận trên mỗi sản phẩm là

$$(50-x)-20=30-x$$

nghìn đồng.

Do đó, lợi nhuận mỗi ngày, tính bằng nghìn đồng, là

$$P(x)=(30-x)(200+10x) =-10x^2+100x+6000.$$

Ta có

$$P'(x)=-20x+100.$$

Giải $P'(x)=0$, được $x=5$.

Trên đoạn $[0;30]$, hàm số $P$ tăng khi $x<5$ và giảm khi $x>5$, nên lợi nhuận lớn nhất đạt tại $x=5$.

Giá bán tối ưu là

$$50-5=45$$

nghìn đồng/sản phẩm.

Kiểm tra: khi đó cửa hàng bán được $250$ sản phẩm/ngày, lãi $25$ nghìn đồng/sản phẩm, nên lợi nhuận là $6250$ nghìn đồng/ngày.

Đáp án: $45$.

Câu 6

Sau khi cắt và gấp, chiếc hộp có:
Chiều dài và chiều rộng đều bằng $30-2x$ cm.
Chiều cao bằng $x$ cm.

Thể tích hộp, tính bằng xentimét khối, là

$$V(x)=x(30-2x)^2,\qquad 0<x<15.$$

Lấy đạo hàm:

$$V'(x)=(30-2x)^2-4x(30-2x) =(30-2x)(30-6x).$$

Trên khoảng $(0;15)$, ta luôn có $30-2x>0$, nên dấu của $V'(x)$ là dấu của $30-6x$.

Vì vậy:
$V'(x)>0$ khi $0<x<5$.
$V'(x)=0$ khi $x=5$.
$V'(x)<0$ khi $5<x<15$.

Bảng biến thiên:

[Bảng biến thiên]

Các giá trị $0$ ở hai đầu bảng là giới hạn của thể tích khi $x\to0^+$ và $x\to15^-$; hai đầu mút không thuộc miền chọn $x$.

Thể tích tăng trên $(0;5)$ và giảm trên $(5;15)$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $x=5$.

Khi đó hộp có đáy là hình vuông cạnh $20$ cm, chiều cao $5$ cm và thể tích lớn nhất bằng $2000$ cm³.

Đáp án: $5$.