Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 12 — Năm học 2026–2027

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+3)(x-1)^2(x-2)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x+2}{x-2}$ là đường thẳng

Câu 5 (0,25 điểm). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$ là đường thẳng

Câu 6 (0,25 điểm). Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+2$ trên đoạn $[-2;2]$ bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1;4]$ bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=-\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;0)$ và $B(3;1;-1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;-2;2)$ và $\vec{v}=(2;1;-3)$. Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}$ bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;1;0)$ và $\vec{v}=(0;1;1)$. Góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, độ dài của vectơ $\vec{a}=(2;-1;2)$ bằng

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) của mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$.
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=3(x+1)(x-3)$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;3)$.
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $7$.
d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình $y=-8x+1$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=\dfrac{(x-1)^2+1}{(x-1)^2}$.
c) Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-1$.
d) Đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn $1$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;0;1)$, $B(3;2;1)$ và $C(1;2;3)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(2;2;0)$.
b) Trung điểm của đoạn thẳng $BC$ có tọa độ $(2;2;2)$.
c) Góc $\widehat{BAC}$ bằng $90^\circ$.
d) Điểm $D(-1;0;3)$ là đỉnh còn lại của hình bình hành $ABCD$.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2$.

[Hình vẽ]

a) $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
b) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\right|=2\sqrt{2}$.
c) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}=4$.
d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng $60^\circ$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x)=m$ có ba nghiệm thực phân biệt?

Câu 2 (0,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là mét, một thiết bị bay chuyển động thẳng đều từ vị trí $A(2;1;3)$. Sau $20$ giây, thiết bị đến vị trí $B(8;4;6)$ và tiếp tục chuyển động với cùng vận tốc. Gọi $M(a;b;c)$ là vị trí của thiết bị sau $30$ giây kể từ lúc xuất phát tại $A$. Tính $a+b+c$.

Câu 3 (0,5 điểm). Một cửa hàng đang bán một loại sản phẩm với giá $300$ nghìn đồng/sản phẩm và bán được $100$ sản phẩm mỗi tuần. Qua khảo sát, cửa hàng nhận thấy cứ giảm giá $10$ nghìn đồng/sản phẩm thì số sản phẩm bán được mỗi tuần tăng thêm $20$ sản phẩm. Giả sử số sản phẩm bán được phụ thuộc bậc nhất vào giá bán. Giá nhập mỗi sản phẩm là $180$ nghìn đồng, không tính các chi phí khác. Cửa hàng nên đặt giá bán bao nhiêu nghìn đồng/sản phẩm để lợi nhuận mỗi tuần lớn nhất, biết giá bán được lựa chọn trong đoạn từ $180$ đến $300$ nghìn đồng/sản phẩm?

Câu 4 (0,5 điểm). Một cơ sở cần làm bể chứa nước bằng inox dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $36$ m³. Đáy bể có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bỏ qua độ dày của vật liệu và phần hao hụt khi gia công. Để tổng diện tích inox làm đáy và bốn mặt bên nhỏ nhất, chiều cao của bể phải bằng bao nhiêu mét?

Câu 5 (0,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là mét, hai thiết bị bay bắt đầu chuyển động thẳng đều cùng lúc. Thiết bị thứ nhất xuất phát tại $A(0;0;20)$ với vectơ vận tốc $\vec{v}_1=(2;1;0)$ m/s; thiết bị thứ hai xuất phát tại $B(10;0;20)$ với vectơ vận tốc $\vec{v}_2=(-1;2;0)$ m/s. Trong $6$ giây đầu tiên, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai thiết bị bằng bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Câu 6 (0,5 điểm). Một trạm quan trắc $A$ trên mặt hồ cách một bờ hồ thẳng một khoảng $6$ km. Gọi $B$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến bờ hồ. Trung tâm điều hành $C$ nằm trên bờ hồ và $BC=8$ km. Người ta lắp một tuyến cáp gồm đoạn cáp ngầm dưới nước từ $A$ đến một điểm $M$ thuộc đoạn $BC$, sau đó đi trên bờ từ $M$ đến $C$. Chi phí lắp cáp dưới nước là $50$ triệu đồng/km, trên bờ là $30$ triệu đồng/km. Bỏ qua các chi phí khác, tổng chi phí lắp tuyến cáp nhỏ nhất bằng bao nhiêu triệu đồng?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Điểm toàn bài là 10,0 điểm.

Phần I gồm 12 câu, mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm; tổng 3,0 điểm.

Phần II gồm 4 câu, mỗi câu tối đa 1,0 điểm; tổng 4,0 điểm. Điểm của từng câu được xác định theo số ý trả lời đúng:
Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.
Không có ý nào đúng: 0,0 điểm.

Phần III gồm 6 câu, mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm; tổng 3,0 điểm. Không chia điểm thành phần cho các bước giải của câu trả lời ngắn.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Phần II. Trắc nghiệm đúng/sai

Đ: Đúng; S: Sai. Chấm điểm theo số ý trả lời đúng trong từng câu, theo mục A.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Chọn C.

Từ bảng biến thiên, ta thấy $f'(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(2;+\infty)$.

Vì vậy, trong các phương án đã cho, hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$.

Câu 2. Chọn B.

Các nghiệm của $f'(x)=0$ là $x=-3$, $x=1$ và $x=2$.

Với $x\ne1$, dấu của $f'(x)$ là dấu của $(x+3)(x-2)$. Do đó:
$f'(x)>0$ trên $(-\infty;-3)$ và $(2;+\infty)$.
$f'(x)<0$ trên $(-3;1)$ và $(1;2)$.

Đạo hàm đổi dấu tại $x=-3$ và $x=2$, không đổi dấu tại $x=1$. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Câu 3. Chọn A.

Ta có

$$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).$$

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.

Giá trị cực tiểu là

$$f(3)=27-54+27+1=1.$$

Câu 4. Chọn C.

Ta có

$$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+2}{x-2}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x+2}{x-2}=3.$$

Vì vậy, đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$.

Câu 5. Chọn B.

Chia đa thức, ta được

$$\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}=x+1+\dfrac{2}{x+1}.$$

Do

$$\lim_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}-(x+1)\right)=0,$$

tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $y=x+1$.

Câu 6. Chọn D.

Hàm số liên tục trên đoạn $[-2;2]$ và

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Trong đoạn đã cho, $f'(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=1$. Ta tính:
$f(-2)=0$.
$f(-1)=4$.
$f(1)=0$.
$f(2)=4$.

Vậy $\max\limits_{[-2;2]}f(x)=4$.

Câu 7. Chọn A.

Trên đoạn $[1;4]$, ta có

$$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và đồng biến trên $(2;4)$. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$ và bằng

$$f(2)=2+\dfrac{4}{2}=4.$$

Câu 8. Chọn D.

Các hệ số của $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt là $-1$, $2$, $3$, nên $\vec{u}=(-1;2;3)$.

Câu 9. Chọn B.

Ta có

$$\overrightarrow{AB}=(3-1;1-(-2);-1-0)=(2;3;-1).$$

Câu 10. Chọn A.

Theo công thức tích vô hướng trong hệ tọa độ:

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+(-2)\cdot1+2\cdot(-3)=-6.$$

Câu 11. Chọn B.

Ta có $\vec{u}\cdot\vec{v}=1$ và $|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{2}$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ. Khi đó

$$\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{1}{2}.$$

Suy ra $\alpha=60^\circ$.

Câu 12. Chọn D.

Độ dài của vectơ đã cho là

$$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3.$$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI

Câu 1. Đáp án: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.

a) Ta có

$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3).$$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Trên khoảng $(-1;3)$, ta có $f'(x)<0$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Vậy khẳng định b) sai.

c) Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-1$. Vì vậy, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, với giá trị cực đại

$$f(-1)=-1-3+9+2=7.$$

Vậy khẳng định c) đúng.

d) Hai điểm cực trị của đồ thị là $E(-1;7)$ và $F(3;-25)$.

Hệ số góc của đường thẳng $EF$ là

$$k=\dfrac{-25-7}{3-(-1)}=-8.$$

Phương trình đường thẳng $EF$ là

$$y-7=-8(x+1)\quad\Leftrightarrow\quad y=-8x-1.$$

Vậy khẳng định d) sai.

Câu 2. Đáp án: a) Đ; b) S; c) Đ; d) Đ.

a) Mẫu số khác $0$ khi và chỉ khi $x\ne1$. Vì vậy, tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Khẳng định a) đúng.

b) Viết lại hàm số:

$$f(x)=x-1+\dfrac{1}{x-1}.$$

Suy ra

$$f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}.$$

Vậy khẳng định b) sai.

c) Ta có

$$\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-(x-1)\bigr)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x-1}=0.$$

Do đó, đồ thị có tiệm cận xiên là $y=x-1$. Khẳng định c) đúng.

d) Hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $y=3$ thỏa mãn

$$x-1+\dfrac{1}{x-1}=3.$$

Đặt $t=x-1$, với $t\ne0$. Phương trình trở thành

$$t+\dfrac{1}{t}=3\quad\Leftrightarrow\quad t^2-3t+1=0.$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$t_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}>0,\qquad t_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}>0.$$

Vì $x=t+1$, cả hai hoành độ giao điểm đều lớn hơn $1$. Khẳng định d) đúng.

Câu 3. Đáp án: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ.

a) Ta có

$$\overrightarrow{AB}=(3-1;2-0;1-1)=(2;2;0).$$

Khẳng định a) đúng.

b) Trung điểm của $BC$ có tọa độ

$$\left(\dfrac{3+1}{2};\dfrac{2+2}{2};\dfrac{1+3}{2}\right)=(2;2;2).$$

Khẳng định b) đúng.

c) Ta có $\overrightarrow{AC}=(0;2;2)$, nên

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot0+2\cdot2+0\cdot2=4.$$

Mặt khác, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{2}$. Do đó

$$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{4}{2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}.$$

Suy ra $\widehat{BAC}=60^\circ$, không phải $90^\circ$. Khẳng định c) sai.

d) Để $ABCD$ là hình bình hành, ta cần $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Với $D(-1;0;3)$, ta có

$$\overrightarrow{AD}=(-2;0;2)=\overrightarrow{BC}.$$

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ không cùng phương, nên bốn điểm tạo thành hình bình hành $ABCD$. Khẳng định d) đúng.

Câu 4. Đáp án: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.

Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{w}=\overrightarrow{AA'}$.

Ba vectơ này đôi một vuông góc và đều có độ dài bằng $2$.

a) Theo quy tắc hình bình hành:

$$\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

Khẳng định a) đúng.

b) Ta có

$$|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2=12.$$

Do đó

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\right|=2\sqrt{3}.$$

Khẳng định b) sai.

c) Vì $\overrightarrow{A'C'}=\vec{u}+\vec{v}$, nên

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}=\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^2=4.$$

Khẳng định c) đúng.

d) Ta có $\overrightarrow{AC'}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ và $\overrightarrow{BD}=\vec{v}-\vec{u}$.

Suy ra

$$\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{v}-\vec{u})=-|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2=0.$$

Hai vectơ đều khác vectơ không, nên góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Khẳng định d) sai.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Đáp án: $3$.

Ta có

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty)$.

Giá trị cực đại là $f(-1)=3$; giá trị cực tiểu là $f(1)=-1$. Đồng thời,

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$

Vì vậy, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

$$-1<m<3.$$

Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m=0$, $m=1$, $m=2$. Có tất cả $3$ giá trị.

Câu 2. Đáp án: $24$.

Vì thiết bị chuyển động thẳng đều và đi từ $A$ đến $B$ trong $20$ giây, nên sau $30$ giây:

$$\overrightarrow{AM}=\dfrac{30}{20}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}.$$

Ta có

$$\overrightarrow{AB}=(8-2;4-1;6-3)=(6;3;3).$$

Do đó

$$\overrightarrow{AM}=\left(9;\dfrac{9}{2};\dfrac{9}{2}\right).$$

Suy ra

$$M=\left(2+9;1+\dfrac{9}{2};3+\dfrac{9}{2}\right)=\left(11;\dfrac{11}{2};\dfrac{15}{2}\right).$$

Vậy

$$a+b+c=11+\dfrac{11}{2}+\dfrac{15}{2}=24.$$

Câu 3. Đáp án: $265$.

Gọi $p$ là giá bán một sản phẩm, tính bằng nghìn đồng, với $180\le p\le300$.

Theo giả thiết, mỗi khi giảm $1$ nghìn đồng/sản phẩm thì số sản phẩm bán được mỗi tuần tăng thêm $2$ sản phẩm. Vì vậy, số sản phẩm bán được mỗi tuần là

$$q(p)=100+2(300-p)=700-2p.$$

Lợi nhuận mỗi tuần, tính bằng nghìn đồng, là

$$L(p)=(p-180)(700-2p)=-2p^2+1060p-126000.$$

Ta có

$$L'(p)=-4p+1060.$$

Giải $L'(p)=0$, được $p=265$.

Trên đoạn $[180;300]$, đạo hàm dương khi $p<265$ và âm khi $p>265$. Vì vậy, lợi nhuận lớn nhất khi giá bán là $265$ nghìn đồng/sản phẩm.

Khi đó, cửa hàng bán được $170$ sản phẩm mỗi tuần và thu lợi nhuận $14450$ nghìn đồng mỗi tuần.

Câu 4. Đáp án: $2$.

Gọi chiều rộng đáy bể là $x$ m, với $x>0$. Chiều dài đáy bể là $2x$ m và chiều cao là $h$ m.

Từ điều kiện thể tích:

$$2x^2h=36\quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{18}{x^2}.$$

Tổng diện tích đáy và bốn mặt bên là

$$S=2x^2+2xh+2\cdot2xh=2x^2+6xh.$$

Thay $h=\dfrac{18}{x^2}$, ta được

$$S(x)=2x^2+\dfrac{108}{x},\qquad x>0.$$

Đạo hàm:

$$S'(x)=4x-\dfrac{108}{x^2}=\dfrac{4(x^3-27)}{x^2}.$$

Với $x>0$, ta có:
$S'(x)<0$ khi $0<x<3$.
$S'(x)=0$ khi $x=3$.
$S'(x)>0$ khi $x>3$.

Vậy tổng diện tích vật liệu nhỏ nhất khi $x=3$. Khi đó,

$$h=\dfrac{18}{3^2}=2.$$

Chiều cao cần thiết của bể là $2$ m.

Câu 5. Đáp án: $3,2$.

Gọi $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc hai thiết bị bắt đầu chuyển động, với $0\le t\le6$.

Vị trí của thiết bị thứ nhất tại thời điểm $t$ là

$$P(t)=(2t;t;20).$$

Vị trí của thiết bị thứ hai tại thời điểm $t$ là

$$Q(t)=(10-t;2t;20).$$

Do đó

$$\overrightarrow{P(t)Q(t)}=(10-3t;t;0).$$

Bình phương khoảng cách giữa hai thiết bị là

$$d^2(t)=(10-3t)^2+t^2=10t^2-60t+100.$$

Hoàn thành bình phương:

$$d^2(t)=10(t-3)^2+10\ge10.$$

Dấu bằng xảy ra tại $t=3$, thuộc đoạn $[0;6]$. Vì căn bậc hai là hàm đồng biến trên $[0;+\infty)$, khoảng cách nhỏ nhất là

$$d_{\min}=\sqrt{10}\approx3,1623.$$

Làm tròn đến hàng phần mười, kết quả là $3,2$ m.

Câu 6. Đáp án: $480$.

Đặt $BM=x$ km, với $0\le x\le8$. Khi đó $MC=8-x$ km.

Vì $AB$ vuông góc với bờ hồ, tam giác $ABM$ vuông tại $B$. Theo định lí Pythagore:

$$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{36+x^2}.$$

Tổng chi phí lắp tuyến cáp, tính bằng triệu đồng, là

$$T(x)=50\sqrt{36+x^2}+30(8-x),\qquad 0\le x\le8.$$

Ta có

$$T'(x)=\dfrac{50x}{\sqrt{36+x^2}}-30.$$

Giải phương trình $T'(x)=0$:

$$\dfrac{50x}{\sqrt{36+x^2}}=30\quad\Leftrightarrow\quad5x=3\sqrt{36+x^2}.$$

Vì hai vế đều không âm trên miền xét, bình phương hai vế được

$$25x^2=9(36+x^2)\quad\Leftrightarrow\quad16x^2=324.$$

Suy ra $x=\dfrac{9}{2}=4,5$.

Mặt khác,

$$T''(x)=\dfrac{1800}{(36+x^2)^{3/2}}>0.$$

Vì vậy, $T'(x)$ tăng nghiêm ngặt trên $[0;8]$, đổi dấu từ âm sang dương tại $x=4,5$. Chi phí nhỏ nhất đạt tại điểm này.

Khi đó:

$$AM=\sqrt{36+4,5^2}=7,5,\qquad MC=8-4,5=3,5.$$

Tổng chi phí nhỏ nhất là

$$T_{\min}=50\cdot7,5+30\cdot3,5=480.$$

Vậy chi phí lắp tuyến cáp nhỏ nhất là $480$ triệu đồng.