Đề kiểm tra giữa học kì I Toán 12 – Không có bài toán tham số – Năm học 2026 – 2027

Phạm vi: Chương 1 – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án đúng.

Câu 1 (0,25 điểm). Hàm số $y=x^3-3x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Hàm số $y=x^4-2x^2$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị cực đại của hàm số $y=-x^3+3x^2$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$ có phương trình là

Câu 6 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ có phương trình là

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

Hiệu giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Đường cong trong hình sau là đồ thị của một hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.

[Đồ thị]

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm nào sau đây?

Câu 9 (0,25 điểm). Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+1}$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$ có phương trình là

Câu 11 (0,25 điểm). Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào sau đây?

[Đồ thị]

Câu 12 (0,25 điểm). Doanh thu trong một ngày của một cơ sở được mô hình hóa bởi $R(x)=-x^2+80x$, trong đó $x$ là số sản phẩm bán được, $0\le x\le80$, và $R(x)$ được tính bằng nghìn đồng. Để doanh thu lớn nhất, cơ sở cần bán bao nhiêu sản phẩm trong ngày?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$.
a) $f'(x)=3x^2-6x$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $2$.
d) Phương trình $f(x)=1$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $4$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên sau:

[Bảng biến thiên]

a) Hàm số có ba điểm cực trị.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $-3$.
d) Phương trình $f(x)=0$ có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

Câu 4 (1,0 điểm). Một cơ sở sản xuất máy bơm công nghiệp có tổng chi phí sản xuất $x$ máy trong một ngày được mô hình hóa bởi

$$C(x)=x^2+20x+400,$$

trong đó $C(x)$ tính bằng triệu đồng, $1\le x\le40$. Gọi $A(x)$ là chi phí trung bình để sản xuất một máy. Khi khảo sát mô hình, coi $x$ là biến thực.
a) $A(x)=x+20+\dfrac{200}{x}$.
b) $A'(x)=1-\dfrac{400}{x^2}$.
c) Chi phí trung bình tăng khi $x$ tăng trên khoảng $(1;20)$.
d) Chi phí trung bình nhỏ nhất là $60$ triệu đồng/máy, đạt được khi sản xuất $20$ máy trong một ngày.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$. Tính tổng các hoành độ điểm cực trị của hàm số.

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1;5]$.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số $y=x^3-3x^2-9x+2$. Tính hiệu giữa hoành độ điểm cực tiểu và hoành độ điểm cực đại của hàm số.

Câu 4 (0,5 điểm). Sau khi bệnh nhân dùng một loại thuốc, nồng độ thuốc trong máu được mô hình hóa bởi

$$C(t)=\dfrac{12t}{t^2+3},\qquad t\ge0,$$

trong đó $t$ tính bằng giờ và $C(t)$ tính bằng mg/L. Sau bao nhiêu giờ kể từ lúc dùng thuốc thì nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Câu 5 (0,5 điểm). Một khu du lịch đang bán vé với giá $200$ nghìn đồng/người và đón trung bình $100$ khách mỗi ngày. Theo khảo sát, cứ giảm giá vé $10$ nghìn đồng/người thì số khách trung bình mỗi ngày tăng thêm $10$ người. Giả sử lượng khách thay đổi theo mô hình tuyến tính này và giá vé có thể điều chỉnh liên tục trong đoạn từ $100$ đến $200$ nghìn đồng/người. Chi phí phục vụ mỗi khách là $30$ nghìn đồng; bỏ qua các chi phí khác. Khu du lịch nên đặt giá vé bao nhiêu nghìn đồng/người để lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất?

Câu 6 (0,5 điểm). Một cơ sở làm hộp đựng quà từ tấm bìa hình vuông cạnh $30$ cm. Người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình có cạnh $x$ cm, rồi gấp các phần còn lại theo các đường nét đứt để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Biết $0<x<15$ và bỏ qua độ dày của tấm bìa. Thể tích lớn nhất của chiếc hộp bằng bao nhiêu centimét khối?

[Hình vẽ]

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Môn Toán – Lớp 12
Kiểm tra giữa học kì I – Năm học 2026 – 2027

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

Phần I: Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm; tổng 3,0 điểm.

Phần II: Điểm của mỗi câu được tính theo số ý thí sinh trả lời đúng:
Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
Đúng cả 4 ý: 1,0 điểm.
Không đúng ý nào: 0,0 điểm.
Tổng phần II là 4,0 điểm.

Phần III: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm; tổng 3,0 điểm. Chấp nhận các cách viết số tương đương; các câu có yêu cầu làm tròn phải được làm tròn đúng theo đề.

Tổng điểm toàn bài: 10,0 điểm.

B. BẢNG ĐÁP ÁN NHANH

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm Đúng/Sai

Đ: Đúng; S: Sai.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

C. LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I

Câu 1

Ta có

$$y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Suy ra $y'>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$.

Chọn C.

Câu 2

Ta có

$$y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$$

Đạo hàm bằng $0$ tại $x=-1$, $x=0$, $x=1$ và đổi dấu khi đi qua mỗi giá trị này.

Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị.

Chọn A.

Câu 3

Ta có

$$y'=-3x^2+6x=-3x(x-2).$$

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=2$.

Giá trị cực đại là

$$y(2)=-8+12=4.$$

Chọn D.

Câu 4

Hàm số liên tục trên đoạn $[0;2]$. Ta có

$$f'(x)=3x^2-3.$$

Trong khoảng $(0;2)$, phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=1$.

Tính các giá trị:

$$f(0)=0,\qquad f(1)=-2,\qquad f(2)=2.$$

Do đó

$$\min_{[0;2]}f(x)=-2.$$

Chọn B.

Câu 5

Tại $x=3$, mẫu số bằng $0$ và tử số bằng $7\ne0$. Hơn nữa,

$$\lim_{x\to3^-}\dfrac{2x+1}{x-3}=-\infty,\qquad \lim_{x\to3^+}\dfrac{2x+1}{x-3}=+\infty.$$

Vậy đường tiệm cận đứng là $x=3$.

Chọn A.

Câu 6

Chia đa thức, ta được

$$\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}.$$

Vì

$$\lim_{x\to\pm\infty}\left[\dfrac{x^2+1}{x-1}-(x+1)\right]=0,$$

nên đường tiệm cận xiên là $y=x+1$.

Chọn C.

Câu 7

Từ bảng biến thiên, giá trị cực đại là $5$, giá trị cực tiểu là $-1$.

Hiệu cần tìm:

$$5-(-1)=6.$$

Chọn B.

Câu 8

Từ hình vẽ, đồ thị có hai đường tiệm cận $x=1$ và $y=1$.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm hai đường tiệm cận, nên $I(1;1)$.

Chọn D.

Câu 9

Với $x\ne-1$, ta có

$$y'=\dfrac{(x+1)-(x-2)}{(x+1)^2} =\dfrac{3}{(x+1)^2}.$$

Chọn B.

Câu 10

Ta có

$$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x-1}{x+2}=3.$$

Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị là $y=3$.

Chọn D.

Câu 11

Từ hình vẽ, đồ thị đi qua điểm $(0;2)$, có điểm cực đại $(-1;4)$ và điểm cực tiểu $(1;0)$.

Xét hàm số ở phương án A:

$$y=x^3-3x+2,\qquad y'=3(x-1)(x+1).$$

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-1$ và từ âm sang dương tại $x=1$. Đồng thời,

$$y(-1)=4,\qquad y(1)=0,\qquad y(0)=2.$$

Các đặc điểm này phù hợp với đồ thị đã cho.

Phương án B có nhánh phải đi xuống; phương án C có đạo hàm luôn dương nên không có cực trị; phương án D đi qua $(0;-2)$. Vì vậy các phương án này không phù hợp.

Chọn A.

Câu 12

Xét

$$R'(x)=-2x+80.$$

Ta có $R'(x)=0$ khi $x=40$.

Trên $[0;80]$, hàm doanh thu đồng biến đến $x=40$ và nghịch biến sau $x=40$. Vì vậy doanh thu lớn nhất khi bán $40$ sản phẩm.

Chọn C.

D. LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN II

Câu 1

Với $f(x)=x^3-3x^2+2$, ta có

$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

a) Đúng. Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=3x^2-6x$.

b) Đúng. Khi $0<x<2$, ta có $f'(x)<0$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$.

c) Sai. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=2$, nên giá trị cực tiểu là

$$f(2)=8-12+2=-2,$$

không phải $2$.

d) Đúng. Hàm số có giá trị cực đại $f(0)=2$, giá trị cực tiểu $f(2)=-2$ và

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$

Trên $(-\infty;0)$, hàm số tăng từ $-\infty$ đến $2$, nên phương trình $f(x)=1$ có đúng một nghiệm.

Trên $(0;2)$, hàm số giảm từ $2$ xuống $-2$, nên phương trình $f(x)=1$ có đúng một nghiệm.

Trên $(2;+\infty)$, hàm số tăng từ $-2$ đến $+\infty$, nên phương trình $f(x)=1$ có đúng một nghiệm.

Vì $f(0)\ne1$ và $f(2)\ne1$, phương trình có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 2

Ta viết

$$f(x)=\dfrac{(x-1)^2+1}{x-1}=x-1+\dfrac{1}{x-1}.$$

a) Đúng. Điều kiện xác định là $x-1\ne0$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

b) Sai. Đường tiệm cận đứng là $x=1$. Vì

$$f(x)-(x-1)=\dfrac{1}{x-1}\to0\quad\text{khi }x\to\pm\infty,$$

nên đường tiệm cận xiên là $y=x-1$, không phải $y=x+1$.

c) Đúng. Ta có

$$f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2} =\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$

Với $x\in(0;1)$, tử số âm và mẫu số dương, nên $f'(x)<0$. Hàm số nghịch biến trên $(0;1)$.

d) Sai. Phương trình $f'(x)=0$ có hai nghiệm $x=0$, $x=2$. Đạo hàm đổi dấu khi đi qua mỗi nghiệm này, nên hai điểm cực trị của đồ thị là

$$A(0;-2),\qquad B(2;2).$$

Khoảng cách giữa chúng:

$$AB=\sqrt{(2-0)^2+[2-(-2)]^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\ne4.$$

Câu 3

a) Đúng. Đạo hàm đổi dấu tại cả ba điểm $x=-2$, $x=0$, $x=2$. Hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

b) Sai. Trên khoảng $(-2;0)$, đạo hàm mang dấu dương, nên hàm số đồng biến.

c) Đúng. Theo bảng biến thiên, giá trị của hàm số trên mỗi khoảng đều không nhỏ hơn $-3$, đồng thời $f(-2)=-3$.

Vậy

$$\min_{\mathbb{R}}f(x)=-3.$$

d) Đúng. Dựa vào tính liên tục và tính đơn điệu:
Trên $(-\infty;-2)$, hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-3$, nên có đúng một nghiệm.
Trên $(-2;0)$, hàm số tăng từ $-3$ lên $2$, nên có đúng một nghiệm.
Trên $(0;2)$, hàm số giảm từ $2$ xuống $-1$, nên có đúng một nghiệm.
Trên $(2;+\infty)$, hàm số tăng từ $-1$ lên $+\infty$, nên có đúng một nghiệm.

Các giá trị tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$ đều khác $0$. Vậy phương trình có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

Câu 4

a) Sai. Chi phí trung bình là tổng chi phí chia cho số máy:

$$A(x)=\dfrac{C(x)}{x} =x+20+\dfrac{400}{x}.$$

b) Đúng. Ta có

$$A'(x)=1-\dfrac{400}{x^2}.$$

c) Sai. Với $1<x<20$, ta có $x^2<400$, nên

$$A'(x)=1-\dfrac{400}{x^2}<0.$$

Chi phí trung bình giảm, không phải tăng.

d) Đúng. Trên miền xét $[1;40]$:

$$A'(x)=0\Leftrightarrow x=20.$$

Hàm số giảm trên $[1;20]$ và tăng trên $[20;40]$, nên chi phí trung bình nhỏ nhất đạt được tại $x=20$:

$$A(20)=20+20+\dfrac{400}{20}=60.$$

Vậy cơ sở nên sản xuất $20$ máy/ngày; chi phí trung bình nhỏ nhất là $60$ triệu đồng/máy.

E. LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN III

Câu 1

Ta có

$$y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).$$

Đạo hàm đổi dấu tại $x=1$ và $x=3$, nên đây là hai hoành độ điểm cực trị.

Tổng cần tìm:

$$1+3=4.$$

Đáp án: $4$.

Câu 2

Hàm số liên tục trên đoạn $[1;5]$. Ta có

$$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}.$$

Trong khoảng $(1;5)$:

$$f'(x)=0\Leftrightarrow x=2.$$

Tính các giá trị:

$$f(1)=5,\qquad f(2)=4,\qquad f(5)=\dfrac{29}{5}=5{,}8.$$

Vậy

$$\max_{[1;5]}f(x)=5{,}8.$$

Đáp án: $5{,}8$.

Câu 3

Ta có

$$y'=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3).$$

Suy ra $y'>0$ trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$; $y'<0$ trên khoảng $(-1;3)$.

Tại $x=-1$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên hoành độ điểm cực đại là $-1$.

Tại $x=3$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên hoành độ điểm cực tiểu là $3$.

Hiệu cần tìm là

$$3-(-1)=4.$$

Đáp án: $4$.

Câu 4

Với $t\ge0$, ta có

$$C'(t)=\dfrac{12(t^2+3)-24t^2}{(t^2+3)^2} =\dfrac{12(3-t^2)}{(t^2+3)^2}.$$

Suy ra:

$$C'(t)>0\quad\text{khi }0\le t<\sqrt3,$$

$$C'(t)<0\quad\text{khi }t>\sqrt3.$$

Vì vậy nồng độ thuốc lớn nhất tại $t=\sqrt3$ giờ.

Làm tròn đến hàng phần mười:

$$\sqrt3\approx1{,}7.$$

Đáp án: $1{,}7$.

Câu 5

Gọi $p$ là giá vé, tính bằng nghìn đồng/người, với $100\le p\le200$.

Theo mô hình tuyến tính, lượng khách trung bình mỗi ngày là

$$N(p)=100+\dfrac{200-p}{10}\cdot10=300-p.$$

Lợi nhuận mỗi ngày, tính bằng nghìn đồng, là

$$P(p)=(p-30)(300-p)=-p^2+330p-9000.$$

Ta có

$$P'(p)=-2p+330.$$

Suy ra

$$P'(p)=0\Leftrightarrow p=165.$$

Trên đoạn $[100;200]$, lợi nhuận tăng đến $p=165$ và giảm sau đó. Vậy giá vé tối ưu là $165$ nghìn đồng/người.

Đáp án: $165$.

Câu 6

Sau khi cắt và gấp, chiếc hộp có đáy là hình vuông cạnh $30-2x$ cm và chiều cao $x$ cm.

Thể tích hộp, tính bằng centimét khối, là

$$V(x)=x(30-2x)^2,\qquad 0<x<15.$$

Ta có

$$V'(x)=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)(30-6x).$$

Trên khoảng $(0;15)$, ta có $30-2x>0$, nên

$$V'(x)=0\Leftrightarrow x=5.$$

Với $0<x<5$, ta có $V'(x)>0$.

Với $5<x<15$, ta có $V'(x)<0$.

Vì vậy thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất khi $x=5$ cm. Khi đó đáy hộp có cạnh $20$ cm và chiều cao hộp là $5$ cm.

Thể tích lớn nhất là

$$V(5)=5(30-2\cdot5)^2=2000.$$

Vậy thể tích lớn nhất của chiếc hộp là $2000$ cm³.

Đáp án: $2000$.

MA TRẬN VÀ BẢN ĐẶC TẢ

Kiểm tra giữa học kì I – Toán 12
Chương 1 – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

A. MA TRẬN NỘI DUNG

Đề gồm 22 câu; trong đó 4 câu Đúng/Sai chứa 16 ý. Điểm phần Đúng/Sai được tính theo từng câu, không chia đều cho các ý.

B. BẢN ĐẶC TẢ

NB: Nhận biết; TH: Thông hiểu; VD: Vận dụng. Mức độ được xác định theo thao tác chính của từng câu hoặc từng ý.