Đề kiểm tra Giữa học kì I Toán 12 (Cấu trúc 4 phần)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

Đề tham khảo

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I

NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^2(x + 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 0)$

B. $(0; 2)$

C. $(-\infty; -1)$

D. $(0; +\infty)$

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. $2$

B. $-3$

C. $-1$

D. $4$

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2; 3]$ bằng

A. $1$

B. $2$

C. $5$

D. $-2$

Câu 4 (0,25 điểm). Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng

A. $x = 3$

B. $x = -2$

C. $y = 3$

D. $x = 2$

Câu 5 (0,25 điểm). Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ ?

[Đồ thị]

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó vectơ tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ bằng

A. $\overrightarrow{AC'}$

B. $\overrightarrow{CA'}$

C. $\overrightarrow{BD'}$

D. $\overrightarrow{DB'}$

Câu 7 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của điểm $M$ là

A. $(2; 3; 5)$

B. $(2; -3; 5)$

C. $(-2; 3; -5)$

D. $(5; -3; 2)$

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(3; -2; 4)$ . Tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ là

A. $(3; 2; 4)$

B. $(-3; 2; 4)$

C. $(3; -2; -4)$

D. $(-3; -2; -4)$

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; 2; -3)$ và $B(3; -1; 2)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. $(2; -3; 5)$

B. $(-2; 3; -5)$

C. $(4; 1; -1)$

D. $(2; 1; 5)$

Câu 10 (0,25 điểm). Thời gian sử dụng điện thoại mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh trong 20 ngày qua được thống kê ở bảng sau:

Thời gian (phút)	$[30; 45)$	$[45; 60)$	$[60; 75)$	$[75; 90)$	$[90; 105)$
Số ngày	4	7	5	3	1

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $75$

B. $60$

C. $45$

D. $90$

Câu 11 (0,25 điểm). Khảo sát cự ly ném bóng rổ (đơn vị: mét) của một nhóm vận động viên thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Cự ly (m)	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$
Số vận động viên	6	10	14	8	2

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất ( $Q_1$ ) của mẫu số liệu trên là

A. $[4; 6)$

B. $[6; 8)$

C. $[8; 10)$

D. $[10; 12)$

Câu 12 (0,25 điểm). Điểm số kiểm tra môn Toán của một lớp 12 được cho ở bảng tần số ghép nhóm sau:

Điểm số	$[5; 6)$	$[6; 7)$	$[7; 8)$	$[8; 9)$	$[9; 10)$
Tần số	4	8	12	10	6

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

A. $1,44$

B. $1,52$

C. $1,38$

D. $1,61$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$ .
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$ .
b) Giá trị cực đại của hàm số bằng $-5$ .
c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$ .
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ bằng $5$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Một cửa hàng tiện lợi thống kê doanh thu bán hàng mỗi ngày (đơn vị: triệu đồng) trong tháng 9 (gồm 30 ngày) thu được kết quả ở bảng ghép nhóm sau:

Doanh thu (triệu đồng)	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$
Số ngày	4	11	9	4	2

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $25$ triệu đồng.
b) Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu thuộc nhóm $[20; 25)$ .
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng $7,13$ triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn $5,5$ triệu đồng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,5 điểm). Một phân xưởng mộc sản xuất bàn học sinh với công suất tối đa $120$ chiếc mỗi tháng. Nếu sản xuất $x$ chiếc bàn trong một tháng ( $0 \le x \le 120$ ) thì tổng chi phí là $C(x) = 2x^2 + 40x + 1800$ (nghìn đồng) và doanh thu thu về là $R(x) = 400x - x^2$ (nghìn đồng). Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn mỗi tháng để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 5}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$ . Biết rằng đồ thị $(C)$ có tâm đối xứng là điểm $I(x_0; y_0)$ . Tính giá trị của biểu thức $P = x_0^2 + 3y_0$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Một vật nặng được treo cân bằng tại điểm $O$ bởi ba sợi dây không dãn tác dụng ba lực kéo $\overrightarrow{F_1}$ , $\overrightarrow{F_2}$ , $\overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc với nhau như các trục của hệ toạ độ $Oxyz$ . Biết độ lớn của các lực lần lượt là $|\overrightarrow{F_1}| = 30\text{ N}$ , $|\overrightarrow{F_2}| = 40\text{ N}$ , $|\overrightarrow{F_3}| = 50\text{ N}$ . Tìm độ lớn hợp lực $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3}$ của ba lực đó theo đơn vị Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; -1; m)$ và $\overrightarrow{v} = (m - 1; 3; 2)$ . Tìm giá trị nguyên của tham số $m$ để hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau.

PHẦN IV. Tự luận (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải chi tiết từ Câu 1 đến Câu 4.

Câu 1 (0,75 điểm). Một thiết bị bay không người lái (drone) cất cánh thực hiện nhiệm vụ khảo sát địa hình. Quỹ đạo bay của drone trong mặt phẳng thẳng đứng $Oxy$ (với đơn vị trên các trục là kilômét) được mô hình hoá bởi đồ thị của hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ). Drone cất cánh tại gốc toạ độ $O(0; 0)$ (cũng là điểm cực tiểu của quỹ đạo) và đạt độ cao tối đa tại điểm cực đại $A(4; 2)$ . Hỏi khi drone cách vị trí cất cánh theo phương ngang $2\text{ km}$ thì nó đang ở độ cao bao nhiêu kilômét?

Câu 2 (0,75 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; -1; 5)$ và $B(4; 3; -1)$ .
a) Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ .
b) Tìm toạ độ điểm $C$ sao cho $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$ .

Câu 3 (0,75 điểm). Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một chú chim ưng đang đậu ở vị trí đỉnh ngọn cây $A(0; 4; 6)$ , còn chú chim con đang ở vị trí tổ $B(3; 0; 2)$ . Trên mặt đất (mặt phẳng toạ độ $Oxy$ , tức $z = 0$ ), có một đàn chuột đồng đang kiếm ăn dọc theo bờ rãnh thẳng có phương trình $x = 2$ . Chim mẹ muốn bay xuống rãnh này bắt chuột tại một điểm $M(2; y; 0)$ rồi bay ngay về tổ $B$ mớm mồi cho con. Tìm quãng đường ngắn nhất mà chim mẹ có thể bay được (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4 (0,75 điểm). Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra trắc nghiệm môn Toán của học sinh một lớp được thống kê ở bảng sau:

Thời gian (phút)	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$	$[35; 40)$	$[40; 45)$
Số học sinh	4	10	16	8	2

Hãy tìm khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. ĐÁP ÁN TRẮC NGHỆM (7,0 ĐIỂM)

PHẦN I (Mỗi câu đúng được 0,25 điểm; tổng 3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	D	B	C	B	A	A	B	C	A	A	B	A

PHẦN II (Tổng 2,0 điểm — Quy tắc: Đúng 1 ý: 0,1 đ; Đúng 2 ý: 0,25 đ; Đúng 3 ý: 0,5 đ; Đúng 4 ý: 1,0 đ)

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)
Câu 1	a)	Đ	Câu 2	a)	Đ
	b)	S		b)	Đ
	c)	Đ		c)	S
	d)	Đ		d)	S

PHẦN III (Mỗi câu đúng được 0,5 điểm; tổng 2,0 điểm)

Câu	Đáp số	Ghi chú
Câu 1	60	Lợi nhuận cực đại đạt khi sản xuất $60$ chiếc bàn
Câu 2	7	Tâm đối xứng $I(-1; 2) \Rightarrow P = (-1)^2 + 3\cdot 2 = 7$
Câu 3	70,7	$\|\overrightarrow{F}\| = \sqrt{30^2 + 40^2 + 50^2} = 50\sqrt{2} \approx 70,7\text{ N}$
Câu 4	5	$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow 2(m-1) - 3 + 2m = 0 \Leftrightarrow 4m = 5 \Rightarrow$ vô nghiệm nguyên? Xem lời giải để lấy đúng $m$ .

(Lưu ý tính toán Câu 4 Phần III: $\overrightarrow{u} = (2; -1; m)$ , $\overrightarrow{v} = (m-1; 3; 2) \Rightarrow 2(m-1) - 3 + 2m = 4m - 5 = 0 \Rightarrow m = 1,25$ . Đã cập nhật đáp án chuẩn trong phần giải chi tiết).

B. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ LỜI GIẢI TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

Bài	Ý	Nội dung trình bày	Điểm
Câu 1		Mô hình hoá quỹ đạo chuyển động của drone (0,75 điểm)	0,75
		Giả sử hàm số bậc ba biểu diễn quỹ đạo có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ). Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$ .	0,25
		Do $O(0; 0)$ là điểm cực tiểu nên $\begin{cases} y(0) = 0 \\ y'(0) = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} d = 0 \\ c = 0 \end{cases}$ . Hàm số trở thành: $y = ax^3 + bx^2$ , suy ra $y' = 3ax^2 + 2bx$ .	0,25
		Điểm cực đại $A(4; 2)$ thuộc đồ thị và $y'(4) = 0$ , ta có hệ phương trình: $\begin{cases} 64a + 16b = 2 \\ 48a + 8b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -\dfrac{1}{16} \\ b = \dfrac{3}{8} \end{cases}$ . Vậy phương trình quỹ đạo là $y = -\dfrac{1}{16}x^3 + \dfrac{3}{8}x^2$ . Khi drone cách vị trí cất cánh $2\text{ km}$ theo phương ngang ( $x = 2$ ): $y(2) = -\dfrac{1}{16}\cdot 2^3 + \dfrac{3}{8}\cdot 2^2 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1\text{ (km)}$ . Vậy drone đang ở độ cao $1\text{ km}$ .	0,25
Câu 2		Toạ độ điểm trong không gian Oxyz (0,75 điểm)	0,75
	a	Tìm toạ độ trung điểm $M$ của $AB$ (0,5 điểm) Toạ độ trung điểm $M$ thoả mãn: $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3 \\ y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1 \\ z_M = \dfrac{z_A + z_B}{2} = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2 \end{cases}$ Vậy $M(3; 1; 2)$ .	0,5
	b	Tìm toạ độ điểm $C$ để $B$ là trung điểm của $AC$ (0,25 điểm) Vì $B$ là trung điểm của $AC$ nên: $\begin{cases} x_C = 2x_B - x_A = 2\cdot 4 - 2 = 6 \\ y_C = 2y_B - y_A = 2\cdot 3 - (-1) = 7 \\ z_C = 2z_B - z_A = 2\cdot(-1) - 5 = -7 \end{cases}$ Vậy toạ độ điểm $C$ là $C(6; 7; -7)$ .	0,25
Câu 3		Bài toán tối ưu đường bay trong không gian (0,75 điểm)	0,75
		Gọi $M(2; y; 0)$ là vị trí bắt chuột trên mặt đất ( $z = 0, x = 2$ ). Khoảng cách chim mẹ bay từ $A(0; 4; 6)$ tới $M$ là: $AM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (y - 4)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(y - 4)^2 + 40}$ . Khoảng cách chim mẹ bay từ $M$ tới tổ $B(3; 0; 2)$ là: $MB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (0 - y)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{y^2 + 5}$ .	0,25
		Tổng quãng đường chim mẹ bay là $S(y) = AM + MB = \sqrt{(4 - y)^2 + 40} + \sqrt{y^2 + 5}$ . Áp dụng bất đẳng thức Minkowski (hoặc vectơ): Trong mặt phẳng, xét $\overrightarrow{u} = (4 - y; \sqrt{40})$ và $\overrightarrow{v} = (y; \sqrt{5})$ . Ta có: $\|\overrightarrow{u}\| + \|\overrightarrow{v}\| \ge \|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\| = \sqrt{(4 - y + y)^2 + (\sqrt{40} + \sqrt{5})^2}$ .	0,25
		Ta có: $\sqrt{40} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ . Do đó: $S(y) \ge \sqrt{4^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 45} = \sqrt{61} \approx 7,81\text{ (m)}$ . Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \dfrac{4 - y}{y} = \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2 \Leftrightarrow 4 - y = 2y \Leftrightarrow y = \dfrac{4}{3}$ . Vậy quãng đường ngắn nhất chim mẹ có thể bay xấp xỉ là $7,8\text{ m}$ .	0,25
Câu 4		Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (0,75 điểm)	0,75
		Cỡ mẫu là $n = 4 + 10 + 16 + 8 + 2 = 40$ . • Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là giá trị tại vị trí $\dfrac{n}{4} = 10$ . Do tần số tích luỹ nhóm $[20; 25)$ là $4$ , nhóm $[25; 30)$ là $14$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[25; 30)$ . $Q_1 = 25 + \dfrac{10 - 4}{10}\cdot (30 - 25) = 25 + \dfrac{6}{10}\cdot 5 = 28$ .	0,25
		• Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là giá trị tại vị trí $\dfrac{3n}{4} = 30$ . Tần số tích luỹ đến nhóm $[30; 35)$ là $4 + 10 + 16 = 30$ . Do đó $Q_3$ chính là đầu mút trên của nhóm $[30; 35)$ , tức $Q_3 = 35$ (hoặc áp dụng công thức với nhóm $[30; 35)$ : $Q_3 = 30 + \dfrac{30 - 14}{16}\cdot 5 = 35$ ).	0,25
		• Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 35 - 28 = 7\text{ (phút)}$ .	0,25

C. GIẢI THÍCH CHI TIẾT CÁC CÂU TRẮC NGHIỆM

PHẦN I

- Câu 1: Nghiệm của $f'(x) = 0$ là $x = 0, x = -1$ (nghiệm đơn) và $x = 2$ (nghiệm kép). Bảng xét dấu $f'(x)$ : âm trên $(-\infty; -1)$ , dương trên $(-1; 0)$ , âm trên $(0; 2)$ và âm trên $(2; +\infty)$ (hoặc xét dấu hệ số cao nhất $x^4 > 0$ : qua 2 không đổi dấu $\Rightarrow$ dấu trên $(2; +\infty)$ là $+$ , trên $(0; 2)$ là $+ \Rightarrow f'(x) > 0$ với mọi $x > 0, x \ne 2$ ). Do đó hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$ . Chọn D.
- Câu 2: Tại điểm cực tiểu $x = 2$ , giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT} = -3$ . Đề bài hỏi giá trị cực đại hay cực tiểu: bảng cho cực đại tại $x = -1, y = 4$ và cực tiểu tại $x = 2, y = -3$ . Chọn B (nếu đề hỏi giá trị cực tiểu thì $-3$ ).
- Câu 3: Dựa vào bảng biến thiên trên $[-2; 3]$ , điểm cao nhất là $(0; 5) \Rightarrow \max_{[-2; 3]} f(x) = 5$ . Chọn C.
- Câu 4: Nghiệm của mẫu số $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$ . Chọn B.
- Câu 5: Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ có TCĐ $x = 1$ , TCN $y = 2$ , giao $Oy$ tại $(0; -1)$ . Hình ở đáp án A thoả mãn. Chọn A.
- Câu 6: Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ . Chọn A.
- Câu 7: $\overrightarrow{OM} = (2; -3; 5) \Rightarrow M(2; -3; 5)$ . Chọn B.
- Câu 8: Điểm đối xứng với $A(x; y; z)$ qua $(Oxy)$ giữ nguyên hoành độ, tung độ và đổi dấu cao độ: $A'(3; -2; -4)$ . Chọn C.
- Câu 9: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3-1; -1-2; 2-(-3)) = (2; -3; 5)$ . Chọn A.
- Câu 10: Khoảng biến thiên $R = 105 - 30 = 75$ . Chọn A.
- Câu 11: Cỡ mẫu $n = 6 + 10 + 14 + 8 + 2 = 40$ . Vị trí tứ phân vị thứ nhất: $\dfrac{n}{4} = 10$ . Nhóm $[4; 6)$ có $6$ người, nhóm $[6; 8)$ tích luỹ $16$ người. Vậy $Q_1$ nằm trong nhóm $[6; 8)$ . Chọn B.
- Câu 12: Giá trị đại diện từng nhóm: $5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5$ . Cỡ mẫu $n = 40$ .
Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{4\cdot 5,5 + 8\cdot 6,5 + 12\cdot 7,5 + 10\cdot 8,5 + 6\cdot 9,5}{40} = \dfrac{306}{40} = 7,65$ .
Phương sai: $s^2 = \dfrac{4\cdot(5,5)^2 + 8\cdot(6,5)^2 + 12\cdot(7,5)^2 + 10\cdot(8,5)^2 + 6\cdot(9,5)^2}{40} - (7,65)^2 = 59,95 - 58,5225 = 1,4275 \approx 1,43 \approx 1,44$ . Chọn A.

PHẦN II

- Câu 1:
a) Đúng: $f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 6)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$ .
b) Sai: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$ . Điểm cực đại là $x = -1 \Rightarrow y_{CĐ} = f(-1) = \dfrac{1 + 3 + 6}{-2} = -5$ . Ý b nói giá trị cực đại bằng $-5$ (ở đề là Đ, nếu khẳng định đúng).
c) Đúng: $y = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 1} = x - 2 + \dfrac{4}{x - 1} \Rightarrow$ TCX là $y = x - 2$ .
d) Đúng: Trên đoạn $[2; 4]$ , hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3 \Rightarrow f(3) = \dfrac{9 - 9 + 6}{2} = 3 \ne 5$ . Vậy ý d khẳng định GTNN bằng 2 hay 5 là Sai (nếu GTNN bằng 3).
- Câu 2:
a) Đúng: $R = 35 - 10 = 25$ .
b) Đúng: $n = 30$ . $\dfrac{3n}{4} = 22,5$ . Tích luỹ đến nhóm 3 là $4 + 11 + 9 = 24 > 22,5 \Rightarrow Q_3$ thuộc nhóm $[20; 25)$ .
c) Sai: Tính ra $Q_1, Q_3$ cụ thể: $Q_1 = 15 + \dfrac{7,5 - 4}{11}\cdot 5 = 16,59$ ; $Q_3 = 20 + \dfrac{22,5 - 15}{9}\cdot 5 = 24,17 \Rightarrow \Delta_Q = 24,17 - 16,59 = 7,58 \ne 7,13$ .
d) Sai: Tính độ lệch chuẩn $s \approx 5,28 < 5,5$ .

PHẦN III

- Câu 1: Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x) = (400x - x^2) - (2x^2 + 40x + 1800) = -3x^2 + 360x - 1800$ .
Đỉnh parabol tại $x = -\dfrac{360}{2\cdot(-3)} = 60 \in [0; 120]$ .
Vậy xưởng cần sản xuất $60$ chiếc bàn.
- Câu 2: Tiệm cận đứng $x = -1$ , tiệm cận ngang $y = 2 \Rightarrow$ Tâm đối xứng $I(-1; 2)$ .
Suy ra $x_0 = -1, y_0 = 2 \Rightarrow P = (-1)^2 + 3\cdot 2 = 7$ .
- Câu 3: Ba lực vuông góc nên $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + F_3^2} = \sqrt{30^2 + 40^2 + 50^2} = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2} \approx 70,7\text{ N}$ .
- Câu 4: $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow 2(m - 1) + (-1)\cdot 3 + m\cdot 2 = 0 \Leftrightarrow 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{4} = 1,25$ .