ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ VDC TOÁN 12 - CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (5,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (0,5 điểm). Một dự án công nghệ lưu trữ dữ liệu phân tán triển khai giao thức đồng thuận nhiều vòng. Tại vòng khởi tạo $n = 1$, tổng dung lượng bộ nhớ đệm tiêu hao là $u_1 = 3\text{ MB}$. Tại vòng thứ $n$ ($n \ge 2$), dung lượng bộ nhớ đệm $u_n$ (đơn vị: MB) thỏa mãn hệ thức truy hồi phi tuyến $u_n = \dfrac{u_{n-1}^2 + 6}{2u_{n-1} - 1}$. Để kiểm soát tài nguyên máy chủ, kỹ sư hệ thống đặt $x_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n + 2}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng ngặt khi $n \ge 1$.
b) Dãy số $(x_n)$ lập thành một cấp số nhân có công bội $q = \dfrac{1}{5}$.
c) Số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{3 \cdot 5^{2^{n-1}-1} + 2 \cdot 4^{2^{n-1}-1}}{5^{2^{n-1}-1} - 4^{2^{n-1}-1}}$ với mọi $n \ge 1$.
d) Giới hạn của dung lượng bộ nhớ đệm tiêu hao khi số vòng vận hành tiến ra vô hạn là $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3\text{ MB}$

Câu 2 (0,5 điểm). Một đập thủy điện tích năng xây dựng hệ thống giảm chấn thủy lực nhiều khoang liên hoàn dạng tầng tháp để tiêu tán năng lượng của dòng lũ. Lưu lượng nước ban đầu đổ vào khoang thứ nhất là $Q_0 = 1000\text{ m}^3\text{/s}$. Sau khi qua khoang thứ $k$ ($k \ge 1$), lưu lượng nước $Q_k$ còn lại tiếp tục chảy vào khoang thứ $k+1$ thỏa mãn hệ thức cân bằng động lượng: $\dfrac{1}{Q_k} - \dfrac{1}{Q_{k-1}} = \dfrac{k}{2000}$ với mọi $k \ge 1$.
a) Dãy số $\left(\dfrac{1}{Q_k}\right)$ với $k \ge 0$ là một cấp số cộng với công sai $d = \dfrac{1}{2000}$.
b) Lưu lượng nước thoát ra sau khoang thứ hai là $Q_2 = 400\text{ m}^3\text{/s}$.
c) Công thức xác định lưu lượng sau khoang thứ $n$ là $Q_n = \dfrac{4000}{n^2 + n + 4}$ ($\text{m}^3\text{/s}$) với mọi $n \ge 1$.
d) Để lưu lượng nước xả ra ngoài môi trường không vượt quá $50\text{ m}^3\text{/s}$, hệ thống bắt buộc phải có ít nhất 9 khoang tiêu năng liên tiếp.

Câu 3 (0,5 điểm). Một quỹ đầu tư mạo hiểm phân bổ dòng vốn liên tục theo chuỗi dự án công nghệ sinh học. Giá trị tài sản ròng $V_n$ (đơn vị: triệu USD) của danh mục tại năm thứ $n$ ($n \ge 1$) được mô hình hóa bởi phương trình sai phân cấp hai:

$$V_{n+2} - 5V_{n+1} + 6V_n = 2n + 1 \quad (\forall n \ge 1)$$

với số liệu thực nghiệm ghi nhận ở hai năm đầu là $V_1 = 4$ và $V_2 = 13$.
a) Phương trình đặc trưng của phần thuần nhất có hai nghiệm thực phân biệt là $\lambda_1 = 2$ và $\lambda_2 = 3$.
b) Một nghiệm riêng của phương trình sai phân có dạng $V_n^* = An + B$ với $A = 1$ và $B = \dfrac{5}{2}$.
c) Số hạng tổng quát của giá trị tài sản ròng là $V_n = 2^n + 3^{n-1} + n + \dfrac{5}{2}$ với mọi $n \ge 1$.
d) Tỷ số tăng trưởng liên tiếp thỏa mãn $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{V_{n+1}}{V_n} = 3$.

Câu 4 (0,5 điểm). Một công ty viễn thông thiết kế mạng truyền dẫn cáp quang gồm các nút trạm phân cấp. Gọi $T_n$ là tổng số đường kết nối quang trực tiếp giữa $n$ trạm phát tín hiệu độc lập ($n \ge 3$, không có 3 trạm nào thẳng hàng và không có 4 trạm nào đồng phẳng) sao cho cứ 3 trạm bất kỳ đều được kết nối với nhau từng đôi một, đồng thời trong mạng thiết lập thêm $n$ đường mạch vòng phụ trợ nối liên hoàn $n$ trạm đó thành một chu trình khép kín.
a) Số lượng đường kết nối trực tiếp đôi một giữa $n$ trạm là $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$.
b) Nếu bổ sung thêm trạm thứ $n+1$, số đường nối trực tiếp đôi một tăng thêm đúng $n$ đường.
c) Dãy số $u_n = C_n^2$ có hiệu hai số hạng liên tiếp $u_{n+1} - u_n$ lập thành một cấp số cộng.
d) Tổng số tất cả các kết nối (gồm cả đường nối đôi một và mạch vòng chu trình khép kín) của mạng có 20 trạm là 200 đường kết nối.

Câu 5 (0,5 điểm). Một tấm hợp kim tản nhiệt siêu dẫn dạng dải vô hạn được chia thành các ô vuông đơn vị kế tiếp nhau $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ Một nguồn phát laser xung nhiệt chiếu điểm vào ô $C_1$ làm nhiệt độ ban đầu tại ô này tăng thêm $T_1 = 120^\circ\text{C}$. Theo định luật truyền nhiệt Fourier rời rạc hóa, độ tăng nhiệt độ $T_n$ tại ô thứ $n$ liên hệ qua hệ thức: $T_n = \dfrac{1}{3} T_{n-1} + \dfrac{2}{3} T_{n+1}$ với mọi $n \ge 2$, và khi khoảng cách $n \to +\infty$ thì nhiệt độ suy giảm về môi trường tức $\lim\limits_{n \to +\infty} T_n = 0$.
a) Phương trình sai phân thuần nhất có nghiệm tổng quát dạng $T_n = c_1 \cdot 1^n + c_2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ với $c_1, c_2$ là các hằng số thực.
b) Để thỏa mãn điều kiện biên $\lim\limits_{n \to +\infty} T_n = 0$, hằng số $c_1$ bắt buộc phải bằng 0.
c) Độ tăng nhiệt độ tại ô thứ ba là $T_3 = 30^\circ\text{C}$.
d) Tổng độ tăng nhiệt độ của tất cả các ô trên dải hợp kim bằng $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} T_n = 240^\circ\text{C}$.

Câu 6 (0,5 điểm). Trong kinh tế học lượng giác, chu kỳ sản xuất của một hợp tác xã nông sản khép kín chịu ảnh hưởng bởi biến động mùa vụ. Số lượng công nhân thời vụ $L_n$ ở tháng thứ $n$ thỏa mãn hệ thức: $L_1 = 50$ và $L_{n+1} = L_n + 12\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)$ với mọi $n \ge 1$.
a) Dãy số $(L_n)$ là một cấp số cộng vô hạn với công sai thay đổi tuần hoàn.
b) Số lượng công nhân ở tháng thứ 4 là $L_4 = 62$ người.
c) Dãy số $(L_n)$ là một dãy tuần hoàn với chu kỳ cơ sở $T = 6$ tháng.
d) Giá trị lớn nhất của số lượng công nhân thời vụ trong toàn bộ quá trình vận hành là $L_{\max} = 62$ người.

Câu 7 (0,5 điểm). Xét mô hình phân rã hạt nhân đa tầng trong buồng phản ứng thử nghiệm. Một hạt nhân mẹ ban đầu sinh ra 2 hạt loại $\alpha$ và 1 hạt loại $\beta$ ở thế hệ 1. Ở mỗi thế hệ tiếp theo: mỗi hạt $\alpha$ phân rã tạo ra 2 hạt $\alpha$ mới và 3 hạt $\beta$; mỗi hạt $\beta$ phân rã tạo ra 1 hạt $\alpha$ và 2 hạt $\beta$. Gọi $a_n, b_n$ lần lượt là số hạt $\alpha$ và $\beta$ ở thế hệ thứ $n$ ($n \ge 1$). Đặt ma trận chuyển trạng thái $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$.
a) Hệ thức chuyển giữa hai thế hệ liên tiếp là $\begin{cases} a_{n+1} = 2a_n + b_n \\ b_{n+1} = 3a_n + 2b_n \end{cases}$ với mọi $n \ge 1$.
b) Dãy số $u_n = a_n\sqrt{3} + b_n$ là một cấp số nhân có công bội $q = 2 + \sqrt{3}$.
c) Ở mọi thế hệ $n \ge 1$, biểu thức $3a_n^2 - b_n^2$ luôn nhận một giá trị hằng số không đổi bằng 11.
d) Tỷ số số lượng hạt $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{b_n}{a_n} = \sqrt{3}$.

Câu 8 (0,5 điểm). Cấu trúc vi anten dải băng thông rộng dạng fractal cây nhị phân được chế tạo trên phiến bán dẫn silic.

[Hình vẽ]

Đoạn thân chính ở cấp 0 có chiều dài $L_0 = 16\text{ mm}$. Từ đỉnh đoạn thân mọc ra 2 nhánh đối xứng cấp 1, mỗi nhánh có chiều dài $L_1 = \dfrac{3}{5} L_0$. Tổng quát, tại mỗi mấu của cấp $k-1$, mọc thêm 2 nhánh mới cấp $k$ với chiều dài mỗi nhánh $L_k = \dfrac{3}{5} L_{k-1}$ ($k \ge 1$).
a) Số nhánh mới được tạo ra ở riêng cấp $k$ là $2^k$ nhánh.
b) Tổng chiều dài của tất cả các nhánh mới ở cấp $k$ lập thành một cấp số nhân với công bội $q = \dfrac{6}{5}$.
c) Tổng chiều dài kim loại vi dẫn của toàn bộ cây anten phát triển đến cấp thứ 5 vượt quá $150\text{ mm}$.
d) Khi cấu trúc phát triển ra vô hạn cấp ($k \to +\infty$), tổng chiều dài kim loại vi dẫn hội tụ về một độ dài hữu hạn.

Câu 9 (0,5 điểm). Một công ty kinh doanh dịch vụ số triển khai gói cước điện toán đám mây. Doanh thu định kỳ $R_n$ (đơn vị: tỷ đồng) ở tháng thứ $n$ thỏa mãn hệ thức:

$$R_1 = 2, \quad R_n = 3R_{n-1} - 2n + 5 \quad (\forall n \ge 2)$$

a) Dãy số phụ $x_n = R_n - n - 2$ là một cấp số nhân có công bội $q = 3$.
b) Số hạng đầu tiên của dãy phụ là $x_1 = -1$.
c) Công thức tổng quát của doanh thu ở tháng thứ $n$ là $R_n = 3^{n-1} + n + 1$ với mọi $n \ge 1$.
d) Tổng doanh thu tích lũy sau 12 tháng đầu tiên vượt quá $265\,000$ tỷ đồng.

Câu 10 (0,5 điểm). Một thuật toán sắp xếp song song phân tích mảng dữ liệu kích thước $n$ phần tử. Gọi $S_n$ là thời gian thực thi (đơn vị: micro giây) với kích thước đầu vào $n \ge 1$, thỏa mãn:

$$S_1 = 1, \quad S_n = S_{n-1} + \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} \quad (\forall n \ge 2)$$

a) Số hạng tổng quát của sai phân là $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{n(n+1)} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$.
b) Thời gian thực thi khi kích thước đầu vào $n = 3$ là $S_3 = \dfrac{13}{12}\text{ }\mu\text{s}$.
c) Số hạng tổng quát $S_n = \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}$ với mọi $n \ge 1$.
d) Khi kích thước dữ liệu đầu vào cực lớn ($n \to +\infty$), thời gian thực thi thuật toán tiến tiệm cận đến giá trị tối đa là $1,25\text{ }\mu\text{s}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (5,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 10. Mỗi câu hỏi thí sinh tính toán và điền đáp số vào khung tương ứng.

Câu 1 (0,5 điểm). Một bể phản ứng hóa sinh xử lý tạp chất hữu cơ có thể tích cố định $1\,000\text{ lít}$. Ban đầu trong bể chứa $1\,000\text{ lít}$ nước tinh khiết. Bắt đầu từ ngày thứ nhất, mỗi ngày người ta bơm vào bể $100\text{ lít}$ dung dịch hóa chất nồng độ $20\text{ g/lít}$, đồng thời khuấy đều liên tục và xả tháo ra đúng $100\text{ lít}$ dung dịch hỗn hợp để giữ thể tích bể không đổi. Gọi $m_n$ (đơn vị: gam) là khối lượng hóa chất nguyên chất có trong bể vào cuối ngày thứ $n$. Biết khối lượng hóa chất trong bể ở ngày thứ $n$ liên hệ qua công thức $m_n = a - b \cdot (0,9)^n$. Tìm giá trị của hằng số $a$ (đơn vị: gam).

Câu 2 (0,5 điểm). Một tinh thể quang học phi tuyến đa lớp gồm các phiến mỏng trong suốt xếp chồng khít lên nhau. Cường độ chùm sáng ban đầu đi vào mặt trên cùng là $I_0 = 100\text{ W/m}^2$.

[Hình vẽ]

Khi truyền qua mỗi lớp, có đúng $10\%$ cường độ sáng bị phản xạ ngược lại và $20\%$ bị vật liệu hấp thụ (nghĩa là chỉ có $70\%$ cường độ ánh sáng đi tới tiếp tục truyền xuyên qua lớp đó). Bỏ qua hiện tượng giao thoa và phản xạ thứ cấp nhiều lần. Hỏi sau khi truyền qua ít nhất bao nhiêu lớp vật liệu liên tiếp thì cường độ chùm sáng bị suy giảm xuống còn nhỏ hơn $1\text{ W/m}^2$?

Câu 3 (0,5 điểm). Một robot thăm dò đáy biển di chuyển trên một phương thẳng đứng. Trong phút thứ nhất, robot lặn xuống được $40\text{ m}$. Do áp suất nước tăng lên làm động cơ giảm hiệu suất, kể từ phút thứ hai trở đi, quãng đường robot lặn được trong mỗi phút chỉ bằng $\dfrac{4}{5}$ quãng đường lặn được ở phút liền trước đó. Giả sử nguồn năng lượng pin cho phép robot vận hành liên tục trong thời gian dài tùy ý. Độ sâu tối đa theo phương thẳng đứng mà robot có thể đạt tới được (làm tròn đến hàng đơn vị theo mét) là bao nhiêu?

Câu 4 (0,5 điểm). Một thanh vật liệu composite phân cấp dài $L = 700\text{ cm}$ gồm các khoang đốt liên kết. Cấu trúc cơ học được phân đoạn thành các đốt $D_1, D_2, \ldots, D_n$ xếp liên tiếp nhau.

[Hình vẽ]

Biết đốt thứ nhất dài $u_1 = 10\text{ cm}$; kể từ đốt thứ hai trở đi, mỗi đốt dài hơn đốt liền trước đúng $3\text{ cm}$ ($d = 3\text{ cm}$). Hỏi thanh composite đó gồm tất cả bao nhiêu đốt?

Câu 5 (0,5 điểm). Một máy nghiền quặng cơ khí tiêu hao năng lượng điện trong quá trình khởi động tải nặng. Trong giây đầu tiên máy tiêu hao $E_1 = 15\text{ kJ}$. Do ma sát động lực học, mức tiêu hao năng lượng $E_n$ (kJ) ở giây thứ $n$ thỏa mãn hệ thức truy hồi:

$$E_n = 2E_{n-1} - 3n + 5 \quad (\forall n \ge 2)$$

Tính lượng năng lượng tiêu hao ở riêng giây thứ 8 ($E_8$) theo đơn vị kJ.

Câu 6 (0,5 điểm). Một phòng thí nghiệm vật liệu nano nghiên cứu quá trình trùng hợp polymer tuyến tính. Chiều dài trung bình của chuỗi phân tử tại bước phản ứng thứ $n$ là $L_n$ (đơn vị: nm), tuân theo quy luật sai phân phân tuyến tính:

$$L_1 = 2, \quad L_{n+1} = \dfrac{3L_n + 4}{L_n + 3} \quad (\forall n \ge 1)$$

Khi số bước phản ứng tăng lên vô hạn ($n \to +\infty$), chiều dài chuỗi polymer tiến tới một giá trị giới hạn ổn định $L_\infty = \lim\limits_{n \to +\infty} L_n$. Tìm giá trị của $L_\infty$ (đơn vị: nm).

Câu 7 (0,5 điểm). Một kiến trúc sư quy hoạch mặt sàn triển lãm nghệ thuật bằng cách lát các viên gạch gốm tam giác đều đồng dạng nhiều tầng thu nhỏ theo quy luật hình học.

[Hình vẽ]

Tam giác đều ban đầu có diện tích $S_0 = 64\text{ m}^2$. Nối trung điểm các cạnh của tam giác ban đầu, ta được tam giác đều ở giữa (gọi là tam giác $T_1$, tô màu xám). Lặp lại quá trình đó với 3 tam giác đều còn lại ở các góc để tạo ra các tam giác xám cấp tiếp theo. Quá trình này được thực hiện vô hạn lần. Tính tổng diện tích của tất cả các tam giác xám được tô màu (đơn vị: $\text{m}^2$).

Câu 8 (0,5 điểm). Để bảo vệ dữ liệu đám mây, một hệ thống mã hóa tạo ra dãy khóa số nguyên $(k_n)$ thỏa mãn:

$$k_1 = 1, \quad k_2 = 2, \quad k_{n+2} = \dfrac{k_{n+1}^2 + 1}{k_n} \quad (\forall n \ge 1)$$

Chứng minh được rằng mọi số hạng của dãy $(k_n)$ đều là số nguyên dương và dãy thỏa mãn một hệ thức truy hồi tuyến tính bậc hai. Tìm số dư của số hạng $k_{20}$ khi chia cho $10$.

Câu 9 (0,5 điểm). Một trang trại sinh thái phát triển quần thể đàn ong mật. Vào đầu tuần thứ nhất có $1\,000$ con ong. Trong mỗi tuần, số lượng ong tự nhiên tăng thêm $20\%$ so với đầu tuần do sinh sản, nhưng vào cuối mỗi tuần có cố định $300$ con ong bị tiêu hao tự nhiên và dịch chuyển tổ. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tuần thì số lượng ong trong đàn lần đầu tiên suy giảm xuống dưới mức $400$ con?

Câu 10 (0,5 điểm). Trong kỹ thuật xây dựng công trình ngầm, một khung vòm thép chịu lực được gia cố bởi một hệ giàn thanh chéo chữ $X$ phân đoạn gồm $n$ khoang giằng liên tiếp ($n \ge 1$).

[Hình vẽ]

Gọi $a_n$ là tổng số thanh thép cấu thành hệ giàn gồm $n$ khoang ($mỗi khoang gồm 2 thanh biên ngang, 2 thanh giằng chéo và thanh đứng ngăn cách$). Biết khoang đầu tiên (1 khoang) cần 5 thanh thép; mỗi khi ghép thêm 1 khoang kế tiếp thì cần thêm đúng 4 thanh thép mới. Tìm tổng số thanh thép $a_n$ cần dùng khi hệ giàn có 25 khoang giằng liên hoàn.

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN CUỐI CÙNG

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn