Đề kiểm tra định kỳ Toán 12 - Ứng dụng thực tế Tích phân và Phương trình vi phân (Nâng cao)

PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Một đoàn tàu đệm từ (Maglev) bắt đầu rời nhà ga $A$ từ trạng thái đứng yên và chuyển động thẳng nhanh dần trong $10$ giây đầu tiên với gia tốc biến thiên theo quy luật $a_1(t) = 0{,}6t - 0{,}03t^2$ ($\text{m/s}^2$). Ngay khi kết thúc giây thứ $10$, hệ thống điều khiển tự động chuyển sang chế độ hãm phanh từ trường do phát hiện chướng ngại vật từ xa, làm vận tốc $v(t)$ (m/s) của đoàn tàu giảm dần theo phương trình vi phân $v'(t) + 0{,}2v(t) = 0$ (với $t \ge 10$ tính bằng giây) cho đến khi vận tốc giảm xuống còn $\dfrac{20}{e^2}$ m/s thì ngắt phanh từ để khóa chốt cơ học giữ tàu dừng hẳn tại chỗ. Tổng quãng đường đoàn tàu đã đi được từ lúc rời nhà ga $A$ đến vị trí dừng hẳn bằng

Câu 2 (0,25 điểm). Một bể phản ứng sinh học chứa $1000$ lít nước tinh khiết. Người ta bắt đầu bơm vào bể một dòng dung dịch chứa hợp chất hữu cơ với nồng độ biến thiên theo thời gian $t$ (giờ) là $c(t) = 15 e^{-0{,}2t}$ (g/lít) với lưu lượng không đổi $200$ lít/giờ; đồng thời hỗn hợp trong bể được khuấy đều hoàn toàn và xả ra ngoài qua van đáy với cùng lưu lượng $200$ lít/giờ. Khi đó, tổng khối lượng hợp chất hữu cơ $m(t)$ (gam) có trong bể tại thời điểm $t$ (giờ, $t \ge 0$) thỏa mãn phương trình vi phân $m'(t) + 0{,}2 m(t) = 3000 e^{-0{,}2t}$, và tốc độ khối lượng hợp chất hữu cơ thoát ra khỏi bể qua van xả tại thời điểm $t$ là $0{,}2 m(t)$ (gam/giờ). Tổng khối lượng hợp chất hữu cơ đã thoát ra khỏi bể qua van xả trong $5$ giờ đầu tiên bằng

Câu 3 (0,25 điểm). Một tập đoàn công nghệ độc quyền tung ra thị trường dòng vi xử lý trí tuệ nhân tạo thế hệ mới. Khi mức sản lượng cung ứng ra thị trường là $x$ (nghìn đơn vị, $x \ge 0$), giá bán mỗi đơn vị vi xử lý là $p(x)$ (triệu đồng) thỏa mãn phương trình vi phân hàm ẩn:

$$(x + 1) p'(x) + p(x) = \dfrac{64}{(x + 1)^2} \quad (\forall x \ge 0)$$

Biết rằng mức giá khởi điểm khi vừa mở bán ($x = 0$) là $p(0) = 136$ triệu đồng. Khi tập đoàn ấn định mức sản lượng cung ứng ra thị trường là $x_0 = 3$ nghìn đơn vị ở mức giá cân bằng $p_0 = p(3)$, tổng thặng dư tiêu dùng của thị trường được xác định bởi công thức $CS = \int_0^{x_0} [p(x) - p_0] dx$ (tỷ đồng). Giá trị của thặng dư tiêu dùng $CS$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Một kỹ sư thiết kế đầu thu sóng radar có dạng khối tròn xoay bằng hợp kim nhôm đặc. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là decimet), mặt cắt qua trục đối xứng của chi tiết ở góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi trục hoành $Ox$, đường thẳng $x = 3$, cung parabol $(P): y = ax^2$ (với $0 \le x \le 1$) và đường cong $(C): y = \sqrt{bx + c}$ (với $1 \le x \le 3$). Để bề mặt chi tiết trơn nhẵn không có gờ gấp khúc tại vị trí ghép nối $x = 1$, hai đường $(P)$ và $(C)$ có chung điểm và chung tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = 1$; đồng thời tại mép ngoài cùng $x = 3$, bán kính mặt cắt đạt $y(3) = 3$ dm. Thể tích hợp kim cần dùng để đúc chi tiết máy đó khi quay mặt cắt trên quanh trục $Ox$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Một bệnh nhân được truyền thuốc kháng sinh qua đường tĩnh mạch liên tục trong $4$ giờ. Trong suốt quá trình truyền ($0 \le t \le 4$), tốc độ đưa thuốc vào máu được điều chỉnh theo hàm số $r(t) = 30(t + 1) e^{-0{,}5t}$ (mg/giờ), đồng thời cơ thể bệnh nhân đào thải thuốc ra khỏi máu với tốc độ tỉ lệ thuận với lượng thuốc $Q(t)$ (mg) hiện có trong máu theo hệ số $k = 0{,}5$ ($\text{giờ}^{-1}$), dẫn đến phương trình vi phân $Q'(t) + 0{,}5 Q(t) = 30(t + 1) e^{-0{,}5t}$. Biết trước khi truyền thuốc ($t = 0$), trong máu bệnh nhân chưa có thuốc ($Q(0) = 0$). Ngay tại thời điểm $t = 4$ giờ, bác sĩ ngừng truyền thuốc; từ đó trở đi ($t \ge 4$), lượng thuốc trong máu chỉ còn chịu tác động của quá trình đào thải tự nhiên theo phương trình $Q'(t) = -0{,}5 Q(t)$. Tại thời điểm $t = 6$ giờ (tức là $2$ giờ sau khi ngừng truyền), lượng thuốc kháng sinh còn lại trong máu bệnh nhân là

Câu 6 (0,25 điểm). Công suất phát điện $P(t)$ (MW) của một tổ hợp năng lượng mặt trời tích hợp bộ lưu trữ nhiệt muối nóng chảy trong khoảng thời gian từ $t = 1$ giờ đến $t = 3$ giờ chiều là một hàm số dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 3]$ và thỏa mãn hệ thức vi phân:

$$t \cdot P'(t) + 2 P(t) = 12 t^2 \sqrt{P(t)} \quad (\forall t \in [1; 3])$$

Biết tại thời điểm $t = 1$ giờ chiều, công suất phát của tổ hợp là $P(1) = 9$ MW. Tổng điện năng mà tổ hợp sản xuất được từ $t = 1$ giờ đến $t = 2$ giờ chiều, được tính bởi tích phân $E = \int_1^2 P(t) dt$, bằng

Câu 7 (0,25 điểm). Một bồn chứa hóa chất công nghiệp có hình dạng phần bên trong là khối tròn xoay tạo thành khi quay cung parabol $y = \dfrac{1}{4} x^2$ ($0 \le y \le 4$) quanh trục thẳng đứng $Oy$ (đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Ban đầu bồn chứa đầy hóa chất đến độ cao tối đa $y(0) = 4$ m. Người ta mở một van xả ở đáy bồn; theo định luật thủy lực học Torricelli, lưu lượng hóa chất thoát ra khỏi bồn tỉ lệ với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $y(t)$ hiện tại, dẫn đến diện tích mặt thoáng chất lỏng $S(y)$ ($\text{m}^2$) ở độ cao $y$ và tốc độ biến thiên chiều cao mực chất lỏng $\dfrac{dy}{dt}$ (m/phút) thỏa mãn phương trình:

$$S(y) \cdot \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{4\pi}{15} \sqrt{y}$$

Thời gian tính từ lúc bắt đầu mở van xả cho đến khi chiều cao mực hóa chất trong bồn giảm xuống chỉ còn $1$ m là

Câu 8 (0,25 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một khuôn viên cảnh quan được giới hạn bởi vòm parabol $(P_1): y = 12 - x^2$ và trục hoành $Ox$. Bên trong khuôn viên, kiến trúc sư thiết kế một đường ranh giới dạng parabol $(P_2): y = ax^2$ ($a > 0$) cắt $(P_1)$ tại hai điểm $A, B$. Khu vực tam giác $OAB$ được quy hoạch làm đài phun nước trung tâm, còn phần diện tích nằm giữa hai đường parabol $(P_1), (P_2)$ nhưng nằm bên ngoài tam giác $OAB$ được dùng để trồng hoa tulip với chi phí $1{,}5$ triệu đồng/$\text{m}^2$. Biết hệ số $a$ được chọn sao cho diện tích đài phun nước $\triangle OAB$ đạt giá trị lớn nhất. Tổng chi phí trồng hoa tulip của công trình bằng

Câu 9 (0,25 điểm). Cường độ dòng điện $i(t)$ (Ampe) chạy qua một cuộn cảm siêu dẫn trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = \dfrac{\pi}{3}$ (giây) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0; \dfrac{\pi}{3}\right]$, thỏa mãn điều kiện ban đầu $i(0) = 2$ A và phương trình vi phân:

$$i'(t) + \tan t \cdot i(t) = 6 \sin t \cos^2 t \quad \left(\forall t \in \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right]\right)$$

Tổng điện lượng $q$ (Coulomb) dịch chuyển qua tiết diện thẳng của cuộn cảm trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = \dfrac{\pi}{3}$ giây, được xác định bởi tích phân $q = \int_0^{\pi/3} i(t) dt$, có giá trị bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Một nhà hát hiện đại có phần mái vòm đặc biệt. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là chục mét, tức $1$ đơn vị dài bằng $10$ m), mặt sàn của nhà hát nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ và được giới hạn bởi hình elip $(E): \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} \le 1$. Biết rằng nếu cắt nhà hát bởi mặt phẳng bất kỳ vuông góc với trục lớn $Ox$ tại điểm có hoành độ $x \in [-4; 4]$ thì thiết diện thu được luôn là một tam giác cân có cạnh đáy nằm trên mặt sàn $(Oxy)$ và chiều cao của mái vòm tại thiết diện đó bằng $\dfrac{3}{4}$ độ dài cạnh đáy tương ứng. Hệ thống điều hòa trung tâm cần làm mát toàn bộ không gian bên trong nhà hát với công suất tiêu thụ điện định mức là $25$ kW cho mỗi $1000\text{ m}^3$ thể tích không gian. Tổng công suất điện định mức của hệ thống điều hòa cho toàn bộ nhà hát là

Câu 11 (0,25 điểm). Trữ lượng sinh khối $M(t)$ (tấn) của một loài tảo biển quý hiếm trong một khu bảo tồn sinh thái biển sau $t$ năm ($t \ge 0$) kể từ khi bắt đầu chương trình phục hồi thỏa mãn phương trình vi phân tăng trưởng Gompertz:

$$M'(t) = 0{,}2 M(t) \ln \dfrac{500}{M(t)}$$

Biết rằng tại thời điểm bắt đầu chương trình ($t = 0$), trữ lượng sinh khối của loài tảo này là $M(0) = 500 e^{-4}$ tấn. Sau bao nhiêu năm kể từ khi bắt đầu chương trình phục hồi thì tốc độ tăng trưởng sinh khối $M'(t)$ (tấn/năm) của loài tảo này đạt giá trị lớn nhất?

Câu 12 (0,25 điểm). Trong một lò phản ứng nhiệt hạch thử nghiệm, mật độ dòng nhiệt $q(x)$ ($\text{MW/m}^2$) truyền qua lớp vỏ chắn bức xạ tại vị trí cách mặt trong của vách một khoảng $x$ (mét, $0 \le x \le 1$) là một hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn $[0; 1]$ và thỏa mãn phương trình vi phân:

$$q''(x) - 2 q'(x) + q(x) = 12 e^x \quad (\forall x \in [0; 1])$$

Biết tại bề mặt trong của vách chắn ($x = 0$), mật độ dòng nhiệt và tốc độ biến thiên của nó theo chiều dày lần lượt là $q(0) = 2\text{ MW/m}^2$ và $q'(0) = 5\text{ MW/m}^3$. Chỉ số hấp thụ nhiệt chuẩn hóa dọc theo toàn bộ bề dày vách chắn, được xác định bởi tích phân $I = \int_0^1 e^{-x} q(x) dx$, có giá trị bằng

PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 13 đến Câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 13 (1,0 điểm). Một tàu thăm dò khí quyển được phóng thẳng đứng từ một bệ phóng trên mặt đất ($h(0) = 0$) từ trạng thái nghỉ ($v(0) = 0$). Quá trình bay lên của tàu gồm hai giai đoạn liên tiếp:
Trong giai đoạn 1 (từ $t = 0$ đến $t = 6$ giây), động cơ phản lực hoạt động tạo ra gia tốc tổng hợp biến thiên theo thời gian là $a_1(t) = 12 - \dfrac{32}{(t + 2)^2}$ ($\text{m/s}^2$).
Trong giai đoạn 2 ($t \ge 6$ giây), ngay tại thời điểm $t = 6$ giây, nhiên liệu cạn kiệt và động cơ tắt hẳn; tàu tiếp tục bay thẳng đứng lên cao theo quán tính dưới tác dụng của trọng trường và lực cản không khí làm vận tốc $v_2(t)$ (m/s) thỏa mãn phương trình vi phân $v'_2(t) + 0{,}2 v_2(t) = -10$ cho đến khi tàu đạt độ cao cực đại.
a) Biểu thức vận tốc của tàu thăm dò trong giai đoạn 1 ($0 \le t \le 6$) là $v_1(t) = 12t + \dfrac{32}{t + 2} - 16$ (m/s) và vận tốc tại thời điểm vừa tắt động cơ ($t = 6$ giây) bằng $60$ m/s.
b) Độ cao của tàu thăm dò đạt được tại thời điểm động cơ vừa tắt ($t = 6$ giây) là $120 + 32 \ln 2$ (m).
c) Trong giai đoạn 2 ($t \ge 6$), vận tốc của tàu được xác định bởi hàm số $v_2(t) = 110 e^{-0{,}2(t - 6)} - 50$ (m/s).
d) Độ cao cực đại mà tàu thăm dò đạt được so với mặt đất lớn hơn $280$ m.

Câu 14 (1,0 điểm). Tại một khu công nghiệp sinh thái, nước thải sau xử lý sơ bộ được dẫn vào một hồ điều hòa sinh học có thể tích nước cố định là $V = 10\,000\text{ m}^3$. Nồng độ phốt-pho hữu cơ $C(t)$ ($\text{g/m}^3$) trong hồ sau $t$ ngày ($t \ge 0$) kể từ khi kích hoạt hệ thống lọc thực vật nổi là một hàm số dương, có đạo hàm liên tục trên $[0; +\infty)$ và thỏa mãn phương trình vi phân:

$$(t + 1) C'(t) + C(t) = \dfrac{1}{2(t + 1)} [C(t)]^2 \quad (\forall t \ge 0)$$

Biết nồng độ phốt-pho hữu cơ ban đầu trong hồ là $C(0) = 2\text{ g/m}^3$. Để đánh giá tải lượng môi trường, các chuyên gia định nghĩa chỉ số tích lũy phốt-pho trong $T$ ngày đầu tiên là $I(T) = \int_0^T C(t) dt$ ($\text{g}\cdot\text{ngày/m}^3$).
a) Nếu đặt $u(t) = \dfrac{1}{C(t)}$ thì đạo hàm của hàm số $g(t) = \dfrac{u(t)}{t + 1}$ trên $[0; +\infty)$ là $g'(t) = -\dfrac{1}{2(t + 1)^3}$.
b) Biểu thức nồng độ phốt-pho hữu cơ trong hồ theo thời gian $t$ là $C(t) = \dfrac{4(t + 1)}{(t + 1)^2 + 1}$ ($\text{g/m}^3$).
c) Tại thời điểm $t = 2$ ngày, tổng khối lượng phốt-pho hữu cơ đang hòa tan trong toàn bộ $10\,000\text{ m}^3$ nước của hồ điều hòa bằng $12$ kg.
d) Để chỉ số tích lũy phốt-pho $I(T)$ vượt ngưỡng $4 \ln 5$ ($\text{g}\cdot\text{ngày/m}^3$) thì thời gian vận hành $T$ tối thiểu phải từ $7$ ngày trở lên.

Câu 15 (1,0 điểm). Một nghệ nhân chế tác một chiếc bình pha lê cao cấp có chiều cao $30$ cm. Đặt chiếc bình vào hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là decimet, $1\text{ dm} = 10\text{ cm}$) sao cho trục đối xứng của bình trùng với đoạn $[0; 3]$ trên trục hoành $Ox$ ($x = 0$ ứng với đáy bình và $x = 3$ ứng với miệng bình). Bán kính mặt cắt ngoài của bình tại vị trí có hoành độ $x \in [0; 3]$ được cho bởi hàm số $R(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 4}$ (dm). Phần đế bình từ $x = 0$ đến $x = 1$ dm là khối pha lê đặc hoàn toàn; phần khoang chứa nước của bình tương ứng với $x \in [1; 3]$ có bán kính mặt cắt lòng trong là $r(x) = \sqrt{R^2(x) - \dfrac{2}{x + 1}}$ (dm).
a) Đường kính ngoài nhỏ nhất tại phần eo thắt của chiếc bình bằng $\sqrt{7}$ dm.
b) Thể tích toàn phần giới hạn bởi bề mặt ngoài của chiếc bình từ đáy đến miệng bình là $7{,}5\pi\text{ dm}^3$.
c) Dung tích chứa nước tối đa của khoang lòng bình là $\pi\left(\dfrac{14}{3} - 4\ln 2\right)$ lít.
d) Biết pha lê có khối lượng riêng là $3\text{ kg/dm}^3$, khối lượng của chiếc bình rỗng lớn hơn $42$ kg.

Câu 16 (1,0 điểm). Một tập đoàn năng lượng khai thác một giếng dầu ngoài khơi. Sau $t$ năm kể từ khi bắt đầu khai thác ($t \ge 0$), tốc độ sinh doanh thu $f(t)$ (triệu USD/năm) là một hàm số dương, khả vi trên $[0; +\infty)$ và thỏa mãn phương trình vi phân hàm ẩn:

$$(t + 2) f'(t) + 2 f(t) = \dfrac{120}{t + 2} \quad (\forall t \ge 0)$$

Biết tốc độ sinh doanh thu tại thời điểm ban đầu ($t = 0$) là $f(0) = 45$ triệu USD/năm. Trong khi đó, tốc độ phát sinh chi phí vận hành và bảo dưỡng giếng dầu tại thời điểm $t$ (năm) được mô hình hóa bởi hàm số $C'(t) = 9 + \dfrac{24}{t + 2}$ (triệu USD/năm). Tập đoàn sẽ duy trì khai thác giếng dầu cho đến thời điểm $T$ ($T > 0$) mà tốc độ sinh doanh thu bằng tốc độ phát sinh chi phí ($f(T) = C'(T)$) thì dừng khai thác.
a) Đạo hàm của hàm số $g(t) = (t + 2)^2 f(t)$ bằng $120$ với mọi $t \ge 0$.
b) Biểu thức tốc độ sinh doanh thu tại thời điểm $t$ là $f(t) = \dfrac{120t + 180}{(t + 2)^2}$ (triệu USD/năm).
c) Tập đoàn sẽ dừng khai thác giếng dầu sau đúng $10$ năm kể từ khi bắt đầu khai thác.
d) Tổng lợi nhuận ròng mà tập đoàn thu được trong toàn bộ thời gian khai thác giếng dầu (từ $t = 0$ đến $t = T$, tính bởi $\int_0^T [f(t) - C'(t)] dt$) bằng $96(\ln 5 - 1)$ triệu USD.

PHẦN III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 17 đến Câu 22.

Câu 17 (0,5 điểm). Một xe trượt siêu tốc chạy thử nghiệm trên đường ray từ trường thẳng dài. Trong giai đoạn tăng tốc kéo dài $1$ giây đầu tiên ($0 \le t \le 1$), vận tốc $v(t)$ (m/s) của xe là một hàm số dương, khả vi và thỏa mãn phương trình vi phân $v'(t) = (20t + 4)\sqrt{v(t)}$ với vận tốc khởi đầu tại $t = 0$ là $v(0) = 4$ m/s. Ngay tại thời điểm $t = 1$ giây, động cơ đẩy ngắt hoàn toàn và hệ thống phanh điện từ kích hoạt làm xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc không đổi $a = -13{,}5\text{ m/s}^2$ cho đến khi xe dừng hẳn. Tính tổng quãng đường (đơn vị: mét) mà xe trượt đã di chuyển được kể từ thời điểm $t = 0$ cho đến khi dừng hẳn.

Câu 18 (0,5 điểm). Trong một lò phản ứng tổng hợp nhiên liệu sinh học, nồng độ chất xúc tác $C(t)$ (g/L) tại thời điểm $t$ (giờ, $t \ge 0$) biến thiên theo phương trình vi phân tách biến:

$$C'(t) = -\dfrac{2t + 1}{8} [C(t)]^2 \sqrt{C(t)} \quad (\forall t \ge 0)$$

Biết nồng độ chất xúc tác ban đầu lúc $t = 0$ là $C(0) = 4$ g/L. Theo quy trình vận hành tự động, ngay khi nồng độ chất xúc tác trong lò giảm xuống còn $0{,}25$ g/L thì hệ thống sẽ tạm ngừng phản ứng để nạp bổ sung chất xúc tác. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu phản ứng thì hệ thống tạm ngừng lần đầu tiên?

Câu 19 (0,5 điểm). Một nhà máy đầu tư một dây chuyền sản xuất tự động hóa với chi phí mua sắm và lắp đặt ban đầu cố định là $432$ triệu đồng. Sau khi đưa vào khai thác, tại thời điểm $t$ (năm, $t \ge 0$), tốc độ phát sinh chi phí vận hành và bảo trì của dây chuyền được mô hình hóa bởi hàm số $M'(t) = 12 + 6t + 9t^2$ (triệu đồng/năm). Gọi $A(t)$ là chi phí trung bình hàng năm của dây chuyền tính từ lúc đưa vào khai thác đến hết năm thứ $t$ ($t > 0$), được xác định bởi công thức:

$$A(t) = \dfrac{432 + \int_0^t M'(u) du}{t}\text{ (triệu đồng/năm)}$$

Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí trung bình hàng năm $A(t)$ (tính theo đơn vị: triệu đồng/năm).

Câu 20 (0,5 điểm). Khi truyền một chùm xung laser công suất cao qua một sợi cáp quang biển đặc biệt có chiều dài $x$ (km, $x \in [0; 2]$), do hiệu ứng tán xạ phi tuyến trong lõi cáp, cường độ tín hiệu quang $I(x)$ (mW) là một hàm số dương, khả vi và suy giảm dọc theo chiều dài sợi cáp theo hệ thức vi phân:

$$(x + 1) I(x) I'(x) + [I(x)]^2 = -32(x + 1)^2 \quad (\forall x \in [0; 2])$$

Biết tại đầu phát ($x = 0$), cường độ tín hiệu quang được kích hoạt ở mức $I(0) = 32$ mW. Cường độ tín hiệu quang tại vị trí cách đầu phát $x = 1$ km bằng bao nhiêu mW?

Câu 21 (0,5 điểm). Mặt đứng của một bức tường chắn sóng nghệ thuật tại quảng trường biển được thiết kế trong hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là chục mét, tức $1$ đơn vị dài bằng $10$ m), có chiều rộng $60$ m tương ứng với $-3 \le x \le 3$, giới hạn phía dưới bởi mặt đất $y = 0$ và phía trên bởi đường cong parabol $y = 6 - \dfrac{1}{2} x^2$. Trên bề mặt bức tường này, phần diện tích giới hạn bởi hai đường cong $y = x^2$ và $y = 6 - \dfrac{1}{2} x^2$ được ốp phù điêu đá granite với đơn giá $0{,}5$ triệu đồng/$\text{m}^2$; toàn bộ phần diện tích mặt đứng còn lại của bức tường được sơn phủ vật liệu chống ăn mòn với đơn giá $0{,}2$ triệu đồng/$\text{m}^2$. Tính tổng kinh phí (đơn vị: triệu đồng) để hoàn thiện bề mặt bức tường chắn sóng đó.

Câu 22 (0,5 điểm). Lưu lượng nước $Q(t)$ (nghìn $\text{m}^3/\text{giờ}$) chảy vào một hồ chứa thủy điện tại thời điểm $t$ (giờ, $0 \le t \le 3$) trong một đợt lũ thượng nguồn là một hàm số dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; 3]$ và thỏa mãn phương trình vi phân:

$$(t + 1) Q'(t) + 2 Q(t) = 12(t + 1) \sqrt{Q(t)} \quad (\forall t \in [0; 3])$$

Biết lưu lượng nước chảy vào hồ tại thời điểm $t = 0$ là $Q(0) = 16$ nghìn $\text{m}^3/\text{giờ}$. Đồng thời, trong suốt $3$ giờ đó, nhà máy thủy điện vận hành các tổ máy phát điện và xả nước qua đập tràn với tổng lưu lượng nước thoát ra khỏi hồ tại thời điểm $t$ là $q(t) = 4t + \dfrac{9}{(t + 1)^2}$ (nghìn $\text{m}^3/\text{giờ}$). Biết thể tích nước có sẵn trong hồ chứa tại thời điểm $t = 0$ là $500$ nghìn $\text{m}^3$. Tính thể tích nước có trong hồ chứa tại thời điểm $t = 3$ giờ (tính theo đơn vị: nghìn $\text{m}^3$).

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

BẢNG ĐÁP ÁN CHẤM THI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4,0 điểm)
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm (đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm).

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm.