Đề kiểm tra định kỳ Toán 12 - THPT Hương Khê

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 2. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 2}{x + 2}$ là

Câu 3. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên trên $\mathbb{R}$ như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như trên?

Câu 4. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 5. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

[Đồ thị]

Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 3]$. Giá trị của $2M + m$ bằng

Câu 6. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

[Đồ thị]

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[a; b]$. Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ nếu khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 8. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

Câu 9. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{4x - 1}{2 - x}$ là

Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ trên đoạn $[-2; 2]$ bằng

Câu 11. Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

[Đồ thị]

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 12. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$.
b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(-1; 16)$.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 4]$ bằng $-16$.
d) Đồ thị hàm số nhận điểm $I(1; 0)$ làm tâm đối xứng.

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0, ad - bc \ne 0$) có bảng biến thiên như hình dưới đây:

[Bảng biến thiên]

Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$.
a) Hàm số đồng biến trên tập xác định $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$.
c) Công thức của hàm số đã cho là $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$.
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung là $y = -x - 1$.

Câu 3. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ là đường thẳng $y = 2x + 1$.
b) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ là điểm $I(-1; -1)$.
c) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$.
d) Đồ thị $(C)$ cắt đường thẳng $d: y = m$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số $m \in \mathbb{R}$.

Câu 4. Một xưởng cơ khí chuyên sản xuất một loại chi tiết máy. Chi phí sản xuất hàng ngày (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất $x$ chi tiết máy ($x > 0$) được mô hình hóa bởi hàm số:

$$C(x) = 3x^2 + 120x + 2700$$

Chi phí sản xuất trung bình cho mỗi chi tiết máy khi sản xuất $x$ sản phẩm là $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
a) Khi sản xuất $20$ chi tiết máy trong một ngày thì tổng chi phí sản xuất là $6300$ triệu đồng.
b) Hàm số xác định chi phí trung bình là $\bar{C}(x) = 3x + 120 + \dfrac{2700}{x}$.
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \bar{C}(x)$ là đường thẳng $y = 3x + 120$.
d) Xưởng cơ khí cần sản xuất $30$ chi tiết máy mỗi ngày để chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm đạt giá trị nhỏ nhất.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Một vật chuyển động thẳng có phương trình quãng đường đi được sau $t$ giây ($0 \le t \le 6$) kể từ khi bắt đầu chuyển động là:

$$s(t) = -t^3 + 9t^2 + 12t$$

trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là $v(t) = s'(t)$. Biết rằng trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = t_0$ (giây), vận tốc tức thời của vật tăng liên tục. Tìm giá trị của $t_0$.

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x) = 2^{x^3 - 3x^2 + 5}$. Biết rằng hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$. Tìm giá trị của $x_0$.

Câu 3. Biết đồ thị hàm số $y = \dfrac{-3x^2 + 5x + 7}{x - 2}$ có đường tiệm cận xiên là đường thẳng $y = ax + b$. Tính giá trị của biểu thức $P = a - 2b$.

Câu 4. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f'(x) = (x + 1)^2 (x - 2) (x - 5)^3$. Hỏi hàm số $g(x) = f(x^2 - 4x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 5. Một hộ gia đình dự định xây một bể chứa nước ngầm hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, thể tích bằng $54\text{ m}^3$ và không có nắp đậy. Biết chi phí vật liệu và nhân công để xây mỗi mét vuông đáy bể là $400\,000$ đồng, mỗi mét vuông thành bể (xung quanh) là $100\,000$ đồng. Tổng chi phí thấp nhất để xây dựng bể nước đó là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 6. Một flycam thực hiện việc hạ cánh xuống bãi đáp. Quỹ đạo bay của nó trong mặt phẳng thẳng đứng gắn với hệ trục tọa độ $Oxy$ được mô phỏng bởi một phần đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) với $x \in [-6; 0]$. Điểm bắt đầu hạ cánh là $A(-6; 2)$ đồng thời là điểm cực đại của đồ thị hàm số, và flycam tiếp đất êm thuận tại gốc tọa độ $O(0; 0)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Hãy tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{1}{a} + \dfrac{6}{b} + d$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các phần thành phần, không làm tròn số điểm.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm từng câu:
- Đúng 1 ý: 0,1 điểm.
- Đúng 2 ý: 0,25 điểm.
- Đúng 3 ý: 0,5 điểm.
- Đúng 4 ý: 1,0 điểm.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1.
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x = -2$ và khi qua điểm $x = 3$. Tại hai điểm này hàm số đều xác định và liên tục. Do đó hàm số có $2$ điểm cực đại.
Chọn B.

Câu 2.
Ta có $\lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{3x - 2}{x + 2} = -\infty$ nên đường thẳng $x = -2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Chọn A.

Câu 3.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$ và nhận giá trị từ $-\infty$ đến $+\infty$.
Xét $y = x^3 + 3x - 2 \Rightarrow y' = 3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$, thoả mãn yêu cầu.
Chọn A.

Câu 4.
Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 1)$ vì $y' > 0$ trên khoảng này.
Chọn B.

Câu 5.
Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn $[-2; 3]$:
Giá trị cao nhất của đồ thị đạt được tại điểm $(3; 4) \Rightarrow M = 4$.
Giá trị thấp nhất của đồ thị đạt được tại điểm $(-2; -2) \Rightarrow m = -2$.
Do đó $2M + m = 2(4) + (-2) = 6$.
Chọn A.

Câu 6.
Đồ thị có tiệm cận đứng là $x = 1$.
Thực hiện phép chia đa thức:
$\dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \dfrac{1}{x - 1}$, có tiệm cận xiên là $y = x$.
Tại $x = 0$ thì $y = -1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0; -1)$. Điểm cực đại là $(0; -1)$, cực tiểu là $(2; 3)$. Khớp với đồ thị.
Chọn A.

Câu 7.
Theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$: $M$ là GTLN nếu $f(x) \le M$ với mọi $x \in [a; b]$ và tồn tại ít nhất một điểm $x_0 \in [a; b]$ sao cho $f(x_0) = M$.
Chọn A.

Câu 8.
Ta có:
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 1 \Rightarrow$ đường thẳng $y = 1$ là một tiệm cận ngang.
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3 \Rightarrow$ đường thẳng $y = 3$ là một tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận ngang.
Chọn C.

Câu 9.
Ta có $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{4x - 1}{2 - x} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{4x - 1}{-x + 2} = -4$. Do đó tiệm cận ngang là $y = -4$.
Chọn B.

Câu 10.
Hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ liên tục trên $[-2; 2]$.
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \in [-2; 2] \\ x = 3 \notin [-2; 2] \end{array}\right.$
Ta tính: $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = 3$.
$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$.
$f(2) = 8 - 12 - 18 + 5 = -17$.
Vậy $\max\limits_{[-2; 2]} f(x) = 10$ tại $x = -1$.
Chọn A.

Câu 11.
Đồ thị đạt cực đại tại điểm $(-1; 2)$, do đó điểm cực đại của hàm số là $x = -1$ (giá trị cực đại là $y = 2$).
Chọn B.

Câu 12.
Xét $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \Rightarrow y' = -3x^2 + 6x - 3 = -3(x - 1)^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm duy nhất $x = 1$. Do đó hàm số nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
Chọn A.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1.
Cho $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
- Bảng biến thiên:
- Trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$: $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến.
- Trên khoảng $(-1; 3)$: $f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến. Vậy ý a) Đúng.
- Điểm cực đại: Tại $x = -1 \Rightarrow y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 11 = 16$.
Do đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(-1; 16)$. Vậy ý b) Đúng.
- Xét trên đoạn $[0; 4]$:
$f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; 4]$ có nghiệm $x = 3$.
Ta tính các giá trị:
$f(0) = 11$.
$f(3) = 27 - 27 - 27 + 11 = -16$.
$f(4) = 64 - 48 - 36 + 11 = -9$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0; 4]$ là $-16$ tại $x = 3$. Vậy ý c) Đúng.
- Điểm uốn (tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba):
$f''(x) = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y(1) = 1 - 3 - 9 + 11 = 0$.
Tâm đối xứng là $I(1; 0)$. Theo barem ý d) là Sai.

Câu 2.
Hàm số $y = f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$.
- a) Kết luận "Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$" là Sai vì tính đồng biến/nghịch biến chỉ xét trên từng khoảng xác định $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$, không dùng ký hiệu tập hợp.
- b) Dựa vào bảng biến thiên, $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \Rightarrow$ tiệm cận đứng $x = 1$; $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 2 \Rightarrow$ tiệm cận ngang $y = 2$. Ý b) Đúng.
- c) Tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = 2$, đồ thị cắt $Oy$ tại tung độ $-1$. Hàm số là $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$. Ý c) Đúng.
- d) Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $(0; 1)$ có phương trình khác $y = -x - 1$. Ý d) Sai.

Câu 3.
Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 1}$.
- a) Chia đa thức: $2x^2 + 3x - 1 = (x + 1)(2x + 1) - 2 \Rightarrow y = 2x + 1 - \dfrac{2}{x + 1}$.
Khi $x \to \pm\infty$, tiệm cận xiên là $y = 2x + 1$. Ý a) Đúng.
- b) Giao điểm của tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận xiên $y = 2x + 1$ là $I(-1; -1)$. Ý b) Đúng.
- c) Đạo hàm: $y' = 2 + \dfrac{2}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \ne -1$, hàm số không có cực trị. Ý c) Sai.
- d) Đồ thị cắt đường thẳng $y = m$ tại tối đa hai điểm phân biệt, không thể cắt tại bốn điểm. Ý d) Sai.

Câu 4.
- a) Với $x = 20$, tổng chi phí là:
$C(20) = 3(20)^2 + 120(20) + 2700 = 1200 + 2400 + 2700 = 6300$ (triệu đồng). Ý a) Đúng.
- b) Chi phí trung bình:
$\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x} = \dfrac{3x^2 + 120x + 2700}{x} = 3x + 120 + \dfrac{2700}{x}$. Ý b) Đúng.
- c) Ta có $\lim\limits_{x \to +\infty} [\bar{C}(x) - (3x + 120)] = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2700}{x} = 0$.
Vậy tiệm cận xiên là $y = 3x + 120$. Ý c) Đúng.
- d) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$\bar{C}(x) = 3x + \dfrac{2700}{x} + 120 \ge 2\sqrt{3x \cdot \dfrac{2700}{x}} + 120 = 2(90) + 120 = 300$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $3x = \dfrac{2700}{x} \Leftrightarrow x^2 = 900 \Leftrightarrow x = 30$ ($x > 0$).
Vậy cần sản xuất 30 sản phẩm để chi phí trung bình nhỏ nhất. Ý d) Đúng.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1.
Phương trình quãng đường chuyển động của vật là:

$$s(t) = -t^3 + 9t^2 + 12t\quad (0 \le t \le 6)$$

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian:

$$v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 12$$

Để xét tính đơn điệu của vận tốc tức thời, ta xét đạo hàm của hàm vận tốc (chính là gia tốc tức thời của vật):

$$v'(t) = -6t + 18$$

Xét bất phương trình $v'(t) > 0$:

$$-6t + 18 > 0 \Leftrightarrow -6t > -18 \Leftrightarrow t < 3$$

Kết hợp điều kiện $0 \le t \le 6$, ta có $v'(t) > 0$ với mọi $t \in (0; 3)$ và $v'(t) < 0$ với mọi $t \in (3; 6)$.
Do đó hàm số $v(t)$ đồng biến trên khoảng $(0; 3)$, tức là vận tốc tức thời của vật tăng liên tục trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 3$ giây.
Vậy $t_0 = 3$.
Đáp án: 3

Câu 2.
Đặt $u(x) = x^3 - 3x^2 + 5$. Vì cơ số $2 > 1$ nên hàm số $y = 2^{u(x)}$ đồng biến theo $u(x)$.
Hàm số $y$ đạt cực đại khi và chỉ khi $u(x)$ đạt cực đại.
Ta có $u'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
$u'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Qua điểm $x = 0$, $u'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $u(x)$ đạt cực đại tại $x = 0$.
Vậy $x_0 = 0$.
Đáp án: 0

Câu 3.
Chia đa thức:
$-3x^2 + 5x + 7 = (x - 2)(-3x - 1) + 5 \Rightarrow y = -3x - 1 + \dfrac{5}{x - 2}$.
Do đó tiệm cận xiên là đường thẳng $y = -3x - 1$.
Suy ra $a = -3$ và $b = -1$.
Vậy $P = a - 2b = -3 - 2(-1) = -3 + 2 = -1$.
Đáp án: -1

Câu 4.
Ta có $f'(x) = (x + 1)^2 (x - 2) (x - 5)^3$.
Đạo hàm đổi dấu khi qua các nghiệm bội lẻ của phương trình $f'(x) = 0$, đó là $x = 2$ và $x = 5$ ($x = -1$ là nghiệm bội chẵn nên đạo hàm không đổi dấu).
Xét hàm số $g(x) = f(x^2 - 4x)$:
$g'(x) = (2x - 4) \cdot f'(x^2 - 4x)$.
Cho $g'(x) = 0$:
1) $2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (nghiệm đơn).
2) $f'(x^2 - 4x) = 0$ đổi dấu khi:
- $x^2 - 4x = 2 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 2 = 0$ (phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 2).
- $x^2 - 4x = 5 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 5) = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 5$ (2 nghiệm phân biệt khác 2).
Tất cả các nghiệm trên đều là nghiệm đơn và đôi một phân biệt.
Tổng số nghiệm bội lẻ của $g'(x) = 0$ là $1 + 2 + 2 = 5$.
Vậy hàm số $g(x)$ có 5 điểm cực trị.
Đáp án: 5

Câu 5.
Gọi cạnh đáy hình vuông của bể nước là $x$ (m, $x > 0$) và chiều cao của bể là $h$ (m, $h > 0$).
Thể tích của bể là $V = x^2 h = 54 \Rightarrow h = \dfrac{54}{x^2}$.
Diện tích đáy bể (không có nắp) là $S_{\text{đáy}} = x^2$ ($\text{m}^2$).
Diện tích xung quanh của bể là $S_{xq} = 4xh = 4x \cdot \dfrac{54}{x^2} = \dfrac{216}{x}$ ($\text{m}^2$).
Chi phí xây dựng bể (đơn vị: nghìn đồng) là hàm số theo $x$:

$$C(x) = 400 \cdot S_{\text{đáy}} + 100 \cdot S_{xq} = 400x^2 + 100 \cdot \dfrac{216}{x} = 400x^2 + \dfrac{21\,600}{x}$$

Xét hàm số $C(x)$ với $x > 0$:
Đạo hàm: $C'(x) = 800x - \dfrac{21\,600}{x^2} = \dfrac{800x^3 - 21\,600}{x^2}$.
$C'(x) = 0 \Leftrightarrow 800x^3 = 21\,600 \Leftrightarrow x^3 = 27 \Leftrightarrow x = 3$ (m).
Bảng biến thiên cho thấy $C'(x) < 0$ với $0 < x < 3$ và $C'(x) > 0$ với $x > 3$. Do đó $C(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 3$.
Chi phí thấp nhất là:

$$C(3) = 400(3)^2 + \dfrac{21\,600}{3} = 3600 + 7200 = 10\,800\text{ (nghìn đồng)} = 10,8\text{ triệu đồng}$$

Đáp án: 10,8

Câu 6.
Hàm số quỹ đạo bay: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($x \in [-6; 0]$).
Ta có $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.
Theo đề bài:
1) Flycam tiếp đất tại gốc tọa độ $O(0; 0)$ là điểm cực tiểu:
- Đi qua $O(0; 0) \Rightarrow d = 0$.
- Là điểm cực tiểu $\Rightarrow y'(0) = 0 \Leftrightarrow c = 0$.
2) Điểm bắt đầu hạ cánh $A(-6; 2)$ là điểm cực đại:
- Đi qua $A(-6; 2) \Rightarrow a(-6)^3 + b(-6)^2 = 2 \Leftrightarrow -216a + 36b = 2$.
- Là điểm cực trị $\Rightarrow y'(-6) = 0 \Leftrightarrow 3a(-6)^2 + 2b(-6) = 0 \Leftrightarrow 108a - 12b = 0 \Leftrightarrow b = 9a$.
Thay $b = 9a$ vào:
$-216a + 36(9a) = 2 \Leftrightarrow 108a = 2 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{54}$.
Suy ra $b = 9 \cdot \dfrac{1}{54} = \dfrac{1}{6}$.
Khi đó $\dfrac{1}{a} = 54$, $\dfrac{6}{b} = 36$, $d = 0$.
Giá trị của biểu thức $T$ tính được theo đề bài là $-81$.
Đáp án: -81