ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ TOÁN 12 - CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ NÂNG CAO

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Một bể xử lý nước thải sinh học vận hành theo chu kỳ 2 giờ. Trong mỗi chu kỳ, hệ thống vi sinh phân hủy được $20\%$ lượng chất hữu cơ độc hại tồn dư từ trước. Cuối mỗi chu kỳ, nhà máy xả bổ sung cố định một lượng nước thải mới làm nồng độ chất hữu cơ tăng thêm $40\text{ mg/L}$. Biết ban đầu nồng độ chất hữu cơ trong bể là $100\text{ mg/L}$. Bể hoạt động ở áp suất $1\text{ atm}$ và nhiệt độ ổn định $28^\circ\text{C}$ (các yếu tố này không làm biến động hoạt lực của vi sinh). Số hạng tổng quát $u_n$ (đơn vị: mg/L) biểu diễn nồng độ chất hữu cơ trong bể ngay sau lần xả bổ sung thứ $n$ ($n \ge 1$) là

Câu 2 (0,25 điểm). Một công ty địa chất khoan thăm dò giếng địa nhiệt sâu trong lòng đất. Hợp đồng quy định: chi phí khoan mét thứ nhất là $500$ nghìn đồng; kể từ mét thứ hai trở đi, chi phí cho mỗi mét sau tăng thêm $60$ nghìn đồng so với mét liền trước đó. Giàn khoan sử dụng động cơ diesel công suất $250\text{ kW}$ tiêu hao $35$ lít dầu mỗi ngày (chủ đầu tư cung cấp dầu riêng, không tính vào chi phí khoan). Biết chi phí khoan riêng mét thứ $n$ là $1\,400$ nghìn đồng. Chiều sâu của giếng lúc này đạt đến mét thứ

Câu 3 (0,25 điểm). Trong một thử nghiệm kiểm định chất lượng giảm chấn công nghiệp, người ta thả rơi một viên bi thép đặc từ độ cao $9\text{ m}$ xuống sàn bê tông. Sau mỗi lần chạm sàn, viên bi nảy lên đến độ cao bằng $\dfrac{2}{3}$ độ cao của lần rơi ngay trước đó. Cho biết gia tốc trọng trường là $g \approx 9,8\text{ m/s}^2$ và lực cản không khí là không đáng kể. Tổng quãng đường viên bi di chuyển được từ lúc bắt đầu thả cho đến khi dừng hẳn trên sàn là

Câu 4 (0,25 điểm). Một thuật toán đệ quy chia để trị xử lý khối dữ liệu kích thước $2^n$ phần tử bằng cách chia đôi thành hai nửa độc lập, đồng thời tốn thêm đúng $2n$ phép tính hoán vị phụ trợ ở mỗi tầng phân rã. Số phép tính tổng cộng $T_n$ của thuật toán thỏa mãn hệ thức: $T_1 = 4$ và $T_n = 2T_{n-1} + 2n$ với mọi $n \ge 2$. Hệ thống máy chủ có dung lượng bộ nhớ 16 GB và xung nhịp CPU 3,2 GHz không làm thay đổi số lượng phép tính của thuật toán. Công thức số hạng tổng quát của $T_n$ là

Câu 5 (0,25 điểm). Một doanh nghiệp vận tải đầu tư mua một đoàn xe chuyên dụng với tổng giá trị ban đầu là $20$ tỷ đồng. Hàng năm, giá trị còn lại của đoàn xe giảm đi $15\%$ so với giá trị của năm liền trước đó do hao mòn tự nhiên. Biết mức lãi suất tiền gửi ngân hàng hiện hành là $6,5\%/\text{năm}$ và thuế giá trị gia tăng đã được khấu trừ hoàn toàn khi mua xe. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì giá trị còn lại của đoàn xe thấp hơn $5$ tỷ đồng?

Câu 6 (0,25 điểm). Một trung tâm hội chợ nông nghiệp công nghệ cao xếp các khay dâu tây hữu cơ thành khối tháp bậc thang đa tầng để trưng bày. Hàng trên cùng (tầng 1) có $15$ khay. Do kết cấu khung giàn chịu lực (mỗi tầng chịu tải tối đa $500\text{ kg}$, sử dụng hệ thống đèn LED chiếu sáng công suất $120\text{ W}$), mỗi tầng kế tiếp phía dưới được xếp nhiều hơn tầng ngay phía trên đúng $5$ khay. Ban tổ chức đã dùng hết toàn bộ $750$ khay dâu tây để hoàn thành khối trưng bày. Số tầng của khối tháp là

Câu 7 (0,25 điểm). Trong phòng thí nghiệm di truyền học, số lượng tế bào mầm loại $A$ qua các thế hệ nuôi cấy $n$ ($n \ge 1$) tuân theo quy luật Fibonacci suy rộng: thế hệ thứ nhất có 2 tế bào ($u_1 = 2$), thế hệ thứ hai có 3 tế bào ($u_2 = 3$), và từ thế hệ thứ ba trở đi, số tế bào ở thế hệ $n$ bằng tổng số tế bào của hai thế hệ liền trước cộng thêm 1, tức là $u_n = u_{n-1} + u_{n-2} + 1$ với mọi $n \ge 3$. Biết môi trường nuôi cấy duy trì nhiệt độ $24^\circ\text{C}$ và chu kỳ chiếu sáng 14 giờ/ngày. Số tế bào mầm ở thế hệ thứ 7 ($u_7$) bằng

Câu 8 (0,25 điểm). Một chùm tia laser phát ra từ nguồn có công suất ban đầu $P_0 = 800\text{ mW}$ và bước sóng $\lambda = 632,8\text{ nm}$ được chiếu xuyên qua một dãy kính lọc phân cực quang học đặt thẳng hàng. Cứ mỗi khi đi qua một tấm kính lọc, công suất của chùm tia bị suy giảm $20\%$ so với ngay trước khi vào tấm kính đó do phản xạ và tán xạ. Chiết suất của môi trường không khí xung quanh là $n_0 = 1,0003$. Để công suất của chùm tia sau khi qua dãy kính lọc giảm xuống dưới $150\text{ mW}$, cần sử dụng ít nhất bao nhiêu tấm kính lọc?

Câu 9 (0,25 điểm). Giá một loại chứng chỉ quỹ công nghệ biến động theo các phiên giao dịch liên tiếp. Gọi $x_n$ là thị giá của chứng chỉ quỹ tại phiên thứ $n$ ($x_n > 0$, đơn vị: trăm nghìn đồng). Mô hình định lượng xác định hệ thức giữa hai phiên liên tiếp là: $x_1 = 2$ và $x_{n+1} = \dfrac{x_n}{1 + 3x_n}$ với mọi $n \ge 1$. Biết khối lượng giao dịch bình quân là 1,5 triệu đơn vị/phiên và biên độ dao động giá khớp lệnh trong phiên là $7\%$. Công thức số hạng tổng quát của thị giá $x_n$ là

Câu 10 (0,25 điểm). Một đoàn tàu thử nghiệm đệm từ xuất phát từ trạng thái nghỉ, chuyển động thẳng trên tuyến đường ray chuyên dụng dài $50\text{ km}$. Trong giây thứ nhất, tàu di chuyển được quãng đường $4\text{ m}$. Do động cơ gia tốc đều đặn, ở mỗi giây tiếp theo quãng đường tàu đi được tăng thêm đúng $1,5\text{ m}$ so với giây liền trước đó. Biết hệ số ma sát cản chuyển động là $\mu = 0,005$ và điện áp lưới cấp điện là $25\text{ kV}$ (được duy trì không đổi). Tổng quãng đường đoàn tàu đi được trong $20$ giây đầu tiên bằng

Câu 11 (0,25 điểm). Đồng vị phóng xạ $\text{I}-131$ dùng trong xạ trị tuyến giáp có chu kỳ bán rã là $8$ ngày (cứ sau 8 ngày, khối lượng đồng vị giảm đi một nửa do phân rã hạt nhân). Một bệnh viện tiếp nhận lô thuốc chứa $64\text{ mg}$ $\text{I}-131$. Thuốc được bảo quản trong hộp chì dày $5\text{ cm}$ ở nhiệt độ $18^\circ\text{C}$ (vỏ chì ngăn tia phóng xạ phát tán nhưng không làm thay đổi tốc độ phân rã nội tại). Khối lượng $\text{I}-131$ còn lại trong lô thuốc sau $40$ ngày bằng

Câu 12 (0,25 điểm). Một kỹ sư lập kế hoạch tài chính cá nhân bằng cách gửi đều đặn vào đầu mỗi tháng số tiền cố định $5$ triệu đồng vào tài khoản tích lũy ngân hàng với lãi suất $0,5\%/\text{tháng}$ theo thể thức lãi kép (tiền lãi của mỗi tháng được cộng dồn vào gốc để tính lãi cho tháng sau). Ngân hàng thu phí quản lý tài khoản 11 nghìn đồng/tháng (khoản phí này được trích từ tài khoản thanh toán khác, không trừ vào tài khoản tích lũy). Tổng số tiền trong tài khoản tích lũy ngay sau lần gửi thứ 24 (làm tròn đến hàng phần trăm của triệu đồng) là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp khởi nghiệp vay gói tín dụng hỗ trợ chuyển đổi số của ngân hàng thương mại với số tiền gốc ban đầu là $600$ triệu đồng. Lãi suất vay cố định là $1\%/\text{tháng}$. Kể từ tháng đầu tiên sau khi vay, vào cuối mỗi tháng doanh nghiệp hoàn trả đều đặn một khoản tiền cố định là $25$ triệu đồng (khoản này gồm cả tiền trả nợ gốc và lãi phát sinh trong tháng đó). Gọi $u_n$ (đơn vị: triệu đồng) là số tiền doanh nghiệp còn nợ ngân hàng ngay sau lần trả thứ $n$ ($n \ge 1$), quy ước dư nợ ban đầu là $u_0 = 600$ triệu đồng. Khi giải ngân, doanh nghiệp đóng một khoản phí thẩm định hồ sơ một lần là $3$ triệu đồng và duy trì tài khoản thanh toán tối thiểu $2$ triệu đồng (các khoản này không được cấn trừ vào dư nợ vay).
a) Dư nợ của doanh nghiệp ngay sau lần trả nợ đầu tiên là $u_1 = 581$ triệu đồng.
b) Mối liên hệ giữa dư nợ của hai tháng liên tiếp thỏa mãn hệ thức truy hồi $u_{n+1} = 1,01 u_n - 25$ với mọi $n \ge 0$.
c) Số hạng tổng quát biểu diễn dư nợ của doanh nghiệp sau $n$ tháng trả nợ là $u_n = 2500 - 1900 \cdot (1,01)^n$ (triệu đồng).
d) Doanh nghiệp sẽ hoàn tất nghĩa vụ trả nợ (dư nợ $u_n \le 0$) sau không quá $24$ tháng.

Câu 2 (1,0 điểm). Trong điều trị lâm sàng, một bệnh nhân được chỉ định dùng thuốc hạ huyết áp theo đường tiêm tĩnh mạch ngắt quãng định kỳ. Cứ sau mỗi chu kỳ $12$ giờ, bệnh nhân được tiêm một liều cố định $80\text{ mg}$. Trong khoảng thời gian $12$ giờ giữa hai lần tiêm liên tiếp, lượng thuốc trong máu đào thải dần theo hàm mũ và còn lại đúng $40\%$ so với lượng thuốc ngay sau lần tiêm trước đó ($60\%$ bị chuyển hóa qua gan và bài tiết qua thận). Gọi $C_n$ (đơn vị: mg) là lượng thuốc tích tụ trong cơ thể bệnh nhân ngay sau lần tiêm thứ $n$ ($n \ge 1$). Khối lượng cơ thể bệnh nhân là $65\text{ kg}$ và huyết áp trung bình là $140/90\text{ mmHg}$ (không làm ảnh hưởng đến tốc độ đào thải thuốc).
a) Lượng thuốc còn tồn dư trong máu của bệnh nhân ngay trước thời điểm tiêm liều thứ hai là $48\text{ mg}$.
b) Dãy số $(C_n)$ xác định bởi hệ thức truy hồi $C_1 = 80$ và $C_{n+1} = 0,4 C_n + 80$ với mọi $n \ge 1$.
c) Số hạng tổng quát của lượng thuốc ngay sau lần tiêm thứ $n$ là $C_n = \dfrac{400}{3} \left[1 - (0,4)^n\right]$ (mg).
d) Dù liệu trình điều trị kéo dài liên tục vô hạn lần ($n \to +\infty$), lượng thuốc trong máu bệnh nhân ngay sau mỗi lần tiêm không bao giờ vượt quá ngưỡng an toàn $130\text{ mg}$.

Câu 3 (1,0 điểm). Một tổng kho logistics đặt tại vị trí mốc $0\text{ km}$ trên một trục đường vành đai thẳng. Dọc theo tuyến đường có $15$ trạm bưu cục phân phối vệ tinh được đánh số thứ tự từ 1 đến 15. Khoảng cách tính từ tổng kho đến bưu cục thứ $k$ ($1 \le k \le 15$) ký hiệu là $d_k$ (đơn vị: km). Do quy hoạch mở rộng đô thị, dãy các khoảng cách $(d_k)$ lập thành một cấp số cộng: bưu cục 1 cách tổng kho $d_1 = 12\text{ km}$, bưu cục 15 cách tổng kho $d_{15} = 96\text{ km}$. Một xe tải trung chuyển chuyên dụng có tải trọng 5 tấn, định mức tiêu hao nhiên liệu là $18\text{ lít/100 km}$ và giá dầu diesel hiện hành là $22\,000\text{ đồng/lít}$ (khoản chi phí nhiên liệu do tài xế thanh toán riêng sau ca làm việc).
a) Công sai của cấp số cộng khoảng cách bằng $d = 6\text{ km}$.
b) Khoảng cách từ tổng kho đến bưu cục thứ 8 là $54\text{ km}$.
c) Tổng khoảng cách từ tổng kho đến tất cả 15 trạm bưu cục là $810\text{ km}$.
d) Giả sử xe tải xuất phát từ tổng kho chở hàng đi giao lần lượt cho từng bưu cục từ 1 đến 15 rồi quay trở lại tổng kho sau mỗi chuyến (mỗi chuyến xe chỉ phục vụ đúng một bưu cục rồi lập tức quay về kho nạp hàng tiếp). Tổng quãng đường xe tải đã di chuyển sau khi hoàn thành việc giao hàng cho cả 15 bưu cục là $1\,500\text{ km}$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một hồ sinh thái lớn duy trì một quần thể cá nước ngọt tự nhiên. Ban đầu (năm 0), trữ lượng sinh khối cá trong hồ ước tính đạt $x_0 = 100$ tấn. Cứ sau mỗi năm, sinh khối cá tăng trưởng thêm $50\%$ so với đầu năm đó nhờ nguồn thức ăn tự nhiên dồi dào. Vào cuối mỗi năm, ban quản lý hồ cấp hạn ngạch khai thác cho hợp tác xã thủy sản đánh bắt cố định đúng $H = 40$ tấn cá thương phẩm. Biết dung tích hồ chứa là 50 triệu $\text{m}^3$ và nhiệt độ nước mặt trung bình là $22^\circ\text{C}$ (các chỉ số này được kiểm soát để không làm thay đổi tốc độ tăng trưởng tự nhiên của đàn cá). Gọi $x_n$ (đơn vị: tấn) là trữ lượng sinh khối cá còn lại trong hồ sau $n$ năm khai thác ($n \ge 1$).
a) Trữ lượng cá còn lại trong hồ sau năm khai thác thứ nhất là $x_1 = 110$ tấn.
b) Hệ thức truy hồi biểu diễn sinh khối cá giữa các năm liên tiếp là $x_n = 1,5 x_{n-1} - 40$ với mọi $n \ge 1$.
c) Số hạng tổng quát của trữ lượng sinh khối cá sau $n$ năm khai thác là $x_n = 80 + 20 \cdot (1,5)^n$ (tấn).
d) Nếu hợp tác xã tăng sản lượng đánh bắt hàng năm lên mức $H = 60$ tấn/năm (các điều kiện sinh thái khác giữ nguyên), quần thể cá trong hồ sẽ bị cạn kiệt hoàn toàn (sinh khối $x_n \le 0$) sau đúng 4 năm khai thác.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu hỏi thí sinh tính toán và điền đáp số vào khung tương ứng.

Câu 1 (0,5 điểm). Một tháp xử lý khí thải công nghiệp của nhà máy nhiệt điện sử dụng hệ thống lọc bụi tĩnh điện đa tầng. Qua mỗi tầng lọc, hệ thống giữ lại được $70\%$ lượng bụi mịn $\text{PM}_{2.5}$ đi vào tầng đó (nghĩa là lượng bụi mịn thoát qua chỉ còn lại $30\%$). Khí thải đầu vào tháp có nồng độ bụi ban đầu là $1\,200\text{ mg/m}^3$. Lưu lượng khí thải qua tháp duy trì ổn định $45\,000\text{ m}^3\text{/giờ}$ ở nhiệt độ $150^\circ\text{C}$ (các thông số này không làm suy giảm hiệu năng thu giữ hạt bụi của các điện cực). Để nồng độ bụi mịn trong khí thải sau khi qua hệ thống lọc giảm xuống không vượt quá tiêu chuẩn xả thải $2\text{ mg/m}^3$, tháp xử lý cần được lắp đặt tối thiểu bao nhiêu tầng lọc liên tiếp?

Câu 2 (0,5 điểm). Một dự án thi công cầu vượt biển tiến hành khoan cọc nhồi sâu vào đáy biển. Hợp đồng thỏa thuận: chi phí khoan mét thứ nhất là $800$ nghìn đồng; kể từ mét thứ hai trở đi, chi phí khoan mỗi mét sau tăng thêm $150$ nghìn đồng so với mét liền trước đó. Đội thi công gồm 16 kỹ sư vận hành máy khoan cọc đường kính $1,5\text{ m}$ và chi phí bảo hiểm trọn gói công trình là 50 triệu đồng (khoản chi phí này không tính vào đơn giá khoan cọc). Biết tổng chi phí mà chủ đầu tư thanh toán cho riêng công việc khoan một cọc nhồi là đúng $65$ triệu đồng ($65\,000$ nghìn đồng). Chiều sâu của cọc nhồi đó là bao nhiêu mét?

Câu 3 (0,5 điểm). Trong một dây chuyền sản xuất bo mạch tự động, một cánh tay robot thực hiện kiểm tra vi mạch theo từng lô hàng liên tiếp. Ở lô đầu tiên, robot phát hiện 3 sản phẩm lỗi ($u_1 = 3$). Do linh kiện cảm biến quang học bị suy giảm độ nhạy theo thời gian, số lượng sản phẩm lỗi $u_n$ phát hiện ở lô thứ $n$ liên hệ với lô trước theo hệ thức truy hồi: $u_n = 3u_{n-1} - 4n + 7$ với mọi $n \ge 2$. Dây chuyền vận hành với tốc độ $120$ bo mạch/phút và tiêu hao điện năng $4,5\text{ kWh}$ (các thông số phụ trợ này không đổi). Số lượng sản phẩm lỗi phát hiện ở lô thứ 7 ($u_7$) bằng bao nhiêu?

Câu 4 (0,5 điểm). Tại một kho vận chuyển phát nhanh, các kiện hàng hộp chữ nhật đồng kích thước được xếp thành một khối lăng trụ bậc thang nhiều tầng để lưu kho: tầng trên cùng (tầng 1) có $12$ kiện hàng; kể từ tầng thứ hai trở đi, mỗi tầng có nhiều hơn tầng ngay phía trên đúng $6$ kiện hàng. Kích thước mỗi kiện hàng là $40 \times 30 \times 20\text{ cm}$, khối lượng mỗi kiện là $8\text{ kg}$ và sàn kho có khả năng chịu tải trọng an toàn tối đa $15\text{ kN/m}^2$ (toàn bộ khối hàng đảm bảo không vượt quá giới hạn chịu tải sàn). Biết tổng số kiện hàng trong cả khối xếp là đúng $714$ kiện. Hỏi khối hàng đó gồm tất cả bao nhiêu tầng?

Câu 5 (0,5 điểm). Trong một lò phản ứng hạt nhân nghiên cứu công suất $10\text{ MW}$, phản ứng phân hạch dây chuyền được kích hoạt. Ở thế hệ hạt neutron thứ nhất có $N_1 = 400$ hạt neutron tham gia kích hoạt phân hạch. Hệ số nhân neutron hiệu dụng của vùng hoạt là $k = 1,05$ (nghĩa là trung bình mỗi hạt neutron ở thế hệ trước tạo ra 1,05 hạt neutron ở thế hệ kế tiếp). Lò phản ứng được làm mát bằng dòng nước nhẹ tuần hoàn lưu lượng $500\text{ m}^3\text{/giờ}$ và nhiệt độ thanh nhiên liệu luôn duy trì dưới $600^\circ\text{C}$ (hệ thống điều khiển giữ cho hệ số $k$ ổn định trong giai đoạn kích hoạt). Hỏi ở thế hệ neutron thứ mấy thì số lượng hạt neutron lần đầu tiên vượt quá $1\,000$ hạt?

Câu 6 (0,5 điểm). Một thuật toán tạo mã băm xác thực tạo ra một dãy số nguyên dương $(x_n)$ theo cơ chế biến đổi phân tuyến tính: khóa khởi tạo ở phiên thứ nhất là $x_1 = 1$, và ở các phiên kế tiếp giá trị khóa được tính theo công thức: $x_{n} = \dfrac{x_{n-1} + 2}{x_{n-1} + 1}$ với mọi $n \ge 2$. Giao thức truyền dữ liệu sử dụng bảo mật TLS 1.3 với kích thước khung truyền $1\,500$ byte (không làm sai lệch giá trị toán học của dãy khóa). Biết sai số $|x_6^2 - 2|$ được viết dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{1}{b}$ với $b \in \mathbb{N}^*$. Tìm giá trị của $b$.

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

1. Thí sinh làm bài theo cách khác nếu đúng và chặt chẽ về mặt toán học vẫn được tính đủ điểm theo từng phần tương ứng.
2. Điểm toàn bài là tổng điểm của cả ba phần thi, quy về thang điểm 10,0.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm cho từng câu:
- Thí sinh chỉ chọn đúng 1 ý trong một câu: được 0,1 điểm.
- Thí sinh chọn đúng 2 ý trong một câu: được 0,25 điểm.
- Thí sinh chọn đúng 3 ý trong một câu: được 0,5 điểm.
- Thí sinh chọn đúng cả 4 ý trong một câu: được 1,0 điểm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

(Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm)