Đề kiểm tra chuyên đề Vectơ trong không gian (chưa học tọa độ) - Toán 12

PHẦN TRẮC NGHIỆM (10 câu – 10,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm). Cho vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ và số thực $k < 0$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 2 (1,0 điểm). Cho đoạn thẳng $AB$ trong không gian và điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A, B$ sao cho $AM = 2MB$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3 (1,0 điểm). Cho đoạn thẳng $AB$ trong không gian có trung điểm là $I$. Với điểm $O$ bất kì trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4 (1,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ trong không gian và điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Với điểm $M$ bất kì trong không gian, đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB$ và $CD$ thỏa mãn $AB = 3CD$. Khẳng định nào sau đây biểu diễn đúng mối quan hệ giữa vectơ $\vec{AB}$ và vectơ $\vec{CD}$?

Câu 7 (1,0 điểm). Cho tứ diện $ABCD$. Điểm $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 8 (1,0 điểm). Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB$ và $CD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Trên đoạn thẳng $SG$ lấy điểm $M$ sao cho $SM = 3MG$. Biểu diễn vectơ $\vec{AM}$ theo ba vectơ $\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{AC}$ là

Câu 10 (1,0 điểm). Một chiếc đèn chùm có trọng lượng $P = 60\text{ N}$ được treo cân bằng vào trần nhà bằng ba sợi dây cáp không giãn gắn vào cùng một điểm $O$ trên đèn chùm. Ba lực căng của dây cáp tác dụng lên điểm $O$ lần lượt là $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$. Biết rằng trọng lực tác dụng lên đèn là $\vec{P}$. Hợp lực của ba lực căng dây $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$ có độ lớn bằng bao nhiêu?

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN

B. LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.
- Theo định nghĩa tích của một số với một vectơ: với số thực $k < 0$ và $\vec{a} \ne \vec{0}$, vectơ $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$. Do đó khẳng định C "Vectơ $k\vec{a}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$" là sai.
- Chọn C.

Câu 2.
- Vì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A, B$ nên hai vectơ $\vec{AM}$ và $\vec{MB}$ cùng hướng.
- Do độ dài $AM = 2MB$ nên $\vec{AM} = 2\vec{MB}$.
- Chọn A.

Câu 3.
- Với điểm $O$ bất kì và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, ta có:

$$\vec{OA} + \vec{OB} = (\vec{OI} + \vec{IA}) + (\vec{OI} + \vec{IB}) = 2\vec{OI} + (\vec{IA} + \vec{IB}) = 2\vec{OI} + \vec{0} = 2\vec{OI}.$$

- Chọn B.

Câu 4.
- Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.
- Với điểm $M$ bất kì trong không gian, ta có:

$$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{MG} + \vec{GA}) + (\vec{MG} + \vec{GB}) + (\vec{MG} + \vec{GC}) = 3\vec{MG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = 3\vec{MG}.$$

- Chọn C.

Câu 5.
- Theo quy tắc hình hộp: với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, đường chéo $\vec{AC'}$ xuất phát từ đỉnh $A$ bằng tổng của ba vectơ trên ba cạnh xuất phát từ đỉnh $A$:

$$\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}.$$

- Chọn A.

Câu 6.
- Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ nên đoạn thẳng $AB$ song song với $CD$, do đó hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ ngược hướng nhau.
- Vì độ dài $AB = 3CD$ nên $\vec{AB} = -3\vec{CD}$.
- Chọn B.

Câu 7.
- Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ thỏa mãn tính chất đặc trưng:

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}.$$

- Chọn A.

Câu 8.
- Ta có:

$$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}.$$

$$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BD} + \vec{DN}.$$

- Cộng từng vế hai đẳng thức trên, ta được:

$$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AC} + \vec{BD}) + (\vec{CN} + \vec{DN}).$$

- Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$; vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\vec{CN} + \vec{DN} = \vec{0}$.
- Suy ra $2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD} \implies \vec{MN} = \dfrac{1}{2}\left(\vec{AC} + \vec{BD}\right)$.
- Chọn A.

Câu 9.
- Do $M$ thuộc đoạn thẳng $SG$ và $SM = 3MG$ nên $SM = \dfrac{3}{4}SG$, suy ra $\vec{SM} = \dfrac{3}{4}\vec{SG}$.
- Ta có:

$$\vec{AM} = \vec{AS} + \vec{SM} = \vec{AS} + \dfrac{3}{4}\vec{SG} = \vec{AS} + \dfrac{3}{4}(\vec{AG} - \vec{AS}) = \dfrac{1}{4}\vec{AS} + \dfrac{3}{4}\vec{AG}.$$

- Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\vec{AG} = \dfrac{1}{3}(\vec{AA} + \vec{AB} + \vec{AC}) = \dfrac{1}{3}\vec{AB} + \dfrac{1}{3}\vec{AC}$.
- Thay vào biểu thức của $\vec{AM}$, ta được:

$$\vec{AM} = \dfrac{1}{4}\vec{AS} + \dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\vec{AB} + \dfrac{1}{3}\vec{AC}\right) = \dfrac{1}{4}\vec{AS} + \dfrac{1}{4}\vec{AB} + \dfrac{1}{4}\vec{AC}.$$

- Chọn A.

Câu 10.
- Đèn chùm ở trạng thái cân bằng nên tổng hợp lực tác dụng lên điểm $O$ bằng vectơ $\vec{0}$:

$$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{P} = \vec{0} \iff \vec{F} + \vec{P} = \vec{0} \iff \vec{F} = -\vec{P}.$$

- Do đó độ lớn của hợp lực $\vec{F}$ bằng độ lớn của trọng lực $\vec{P}$:

$$|\vec{F}| = |-\vec{P}| = P = 60\text{ N}.$$

- Chọn B.