ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I – TOÁN 12 (CẬP NHẬT TOÁN THỰC TẾ)

SỞ GD&ĐT ...

TRƯỜNG THPT ...

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I – NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 2)$

B. $(-\infty; 2)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-3; 2)$

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 5$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $5$

B. $3$

C. $7$

D. $0$

Câu 4 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ có đường tiệm cận đứng là

A. $x = -3$

B. $x = 2$

C. $y = 2$

D. $y = -3$

Câu 5 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ là đường thẳng

A. $y = x + 1$

B. $y = x - 1$

C. $y = x$

D. $y = 2x - 1$

Câu 6 (0,25 điểm). Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ có toạ độ tâm đối xứng là

A. $I(1; 0)$

B. $I(0; 2)$

C. $I(2; -2)$

D. $I(-1; -2)$

Câu 7 (0,25 điểm). Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

A. $y = x^3 - 3x$

B. $y = -x^3 + 3x$

C. $y = x^3 + 3x$

D. $y = x^3 - 3x^2$

Câu 8 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax + 1}{bx - 2}$ có đồ thị nhận đường thẳng $x = 2$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = 3$ làm tiệm cận ngang. Giá trị của biểu thức $a + b$ bằng

A. $4$

B. $5$

C. $2$

D. $1$

Câu 9 (0,25 điểm). Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4$ và đường thẳng $y = 4$ là

A. $3$

B. $2$

C. $1$

D. $0$

Câu 10 (0,25 điểm). Một xưởng sản xuất một loại sản phẩm. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ( $x \in \mathbb{N}^*$ ) được cho bởi hàm số $C(x) = 20x + 1200$ (nghìn đồng). Hàm giá bán của mỗi sản phẩm khi bán ra $x$ sản phẩm là $p(x) = 100 - x$ (nghìn đồng). Giả sử các sản phẩm sản xuất ra đều được bán hết. Xưởng cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

A. $30$

B. $40$

C. $50$

D. $60$

Câu 11 (0,25 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

A. $m < 2$

B. $m \le 2$

C. $m > 2$

D. $m \ne 2$

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + x - 1}{x - 1}$ . Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số có toạ độ là

A. $I(1; 3)$

B. $I(1; 2)$

C. $I(-1; 1)$

D. $I(1; -1)$

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị là $(C)$ .
a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ .
b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(0; 2)$ và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B(2; -2)$ .
c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ bằng $2$ .
d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ có phương trình là $y = -2x + 2$ .

Câu 2 (1,0 điểm). Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận $P(t)$ (đơn vị: tỉ đồng) sau $t$ tháng kinh doanh ( $0 \le t \le 12$ ). Trong năm đầu tiên, mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hoá bởi hàm số:

$P(t) = -t^3 + 12t^2 + 60t - 50$

a) Lợi nhuận của công ty sau 2 tháng kinh doanh đạt 110 tỉ đồng.
b) Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty theo thời gian là $P'(t) = -3t^2 + 24t + 10$ .
c) Lợi nhuận của công ty đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 10$ tháng.
d) Tại thời điểm $t = 4$ tháng thì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty đạt mức cao nhất.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 9x - 1$ . Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-2; 2]$ . Tính giá trị của biểu thức $T = M + m$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 5}{x - 2}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = ax + b$ . Tính giá trị của biểu thức $P = a^2 + b^2$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Một công ty nông sản có công suất chế biến không quá 180 tấn nguyên liệu một tháng. Nếu công ty chế biến $x$ tấn nguyên liệu trong một tháng ( $1 \le x \le 180$ ) thì chi phí sản xuất và doanh thu lần lượt là $C(x) = 0,002x^3 + 30x + 20$ (triệu đồng) và $R(x) = 90x$ (triệu đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được trong một tháng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4 (0,5 điểm). Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 300000 quả bóng Pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc cùng loại, mỗi máy có thể sản xuất được 60 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập máy này là 125 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát với chi phí trả cho người giám sát là 90 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để tổng chi phí hoạt động là thấp nhất?

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Thí sinh trình bày chi tiết lời giải cho các bài toán sau.

Bài 1 (1,5 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$ .

Bài 2 (1,5 điểm). Một bác nông dân muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $200\text{ m}^2$ để trồng hoa. Mảnh vườn có một cạnh tận dụng bờ tường có sẵn nên không cần rào (bờ tường thẳng và đủ dài), ba cạnh còn lại được rào bằng lưới thép. Chi phí mua mỗi mét lưới thép là $250$ nghìn đồng.
a) (0,75 điểm) Gọi $x\text{ (m)}$ là độ dài cạnh của mảnh vườn vuông góc với bờ tường ( $x > 0$ ). Hãy lập hàm số biểu thị tổng độ dài lưới thép $L(x)$ theo $x$ và tìm tập xác định của hàm số đó.
b) (0,75 điểm) Tìm kích thước của mảnh vườn để tổng chi phí mua lưới thép là ít nhất. Tính số tiền chi phí tối thiểu đó.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GD&ĐT ...

TRƯỜNG THPT ...

Hướng dẫn chấm chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I – NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: 90 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm bài theo cách khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu thành phần, không làm tròn.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	C	B	B	A	B	A	A	A	B	B

Câu	11	12
Đáp án	A	A

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (2,0 điểm)
Quy tắc tính điểm theo quy định của Bộ GD&ĐT:
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Điểm
Câu 1	a)	S	1,0
	b)	Đ
	c)	Đ
	d)	Đ
Câu 2	a)	Đ	1,0
	b)	S
	c)	Đ
	d)	Đ

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

Câu	Đáp án	Điểm
Câu 1	$15$	0,5
Câu 2	$5$	0,5
Câu 3	$3980$	0,5
Câu 4	$60$	0,5

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài	Ý	Nội dung	Điểm
Bài 1 (1,5 điểm)		Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$ (1,5 điểm)	1,5
		1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .	0,25
		2. Sự biến thiên: - Đạo hàm: $y' = \dfrac{2(x - 1) - (2x - 1)(1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{-1}{(x - 1)^2} < 0, \forall x \ne 1$ . - Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ . - Hàm số không có cực trị.	0,25
		- Giới hạn và tiệm cận: $\lim_{x \to +\infty} y = 2$ ; $\lim_{x \to -\infty} y = 2 \Rightarrow$ Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị. $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ ; $\lim_{x \to 1^-} y = -\infty \Rightarrow$ Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.	0,25
		- Bảng biến thiên: <variation>{"points":[{"x":"-\infty","y":"2"},{"x":"1","doubleLine":true,"yLeft":"-\infty","yRight":"+\infty","yPrime":""},{"x":"+\infty","y":"2"}],"intervals":[{"sign":"-"},{"sign":"-"}]}</variation>	0,25
		3. Đồ thị: - Giao điểm với trục tung: $x = 0 \Rightarrow y = 1$ , toạ độ $(0; 1)$ . - Giao điểm với trục hoành: $y = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ , toạ độ $\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)$ . - Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai đường tiệm cận $I(1; 2)$ . - Đồ thị hàm số: [Đồ thị]	0,5
Bài 2 (1,5 điểm)		Bài toán tối ưu hoá chi phí rào vườn (1,5 điểm)	1,5
	a)	Thiết lập hàm số $L(x)$ và tìm tập xác định (0,75 điểm)	0,75
		Cạnh của mảnh vườn vuông góc với bờ tường có độ dài là $x\text{ (m)}$ với $x > 0$ .	0,25
		Vì diện tích mảnh vườn là $200\text{ m}^2$ , độ dài cạnh song song với bờ tường là $\dfrac{200}{x}\text{ (m)}$ .	0,25
		Do bờ tường có sẵn không cần rào nên tổng chiều dài lưới thép dùng để rào ba cạnh là: $L(x) = 2x + \dfrac{200}{x}\text{ (m)}$ Tập xác định của hàm số là $D = (0; +\infty)$ .	0,25
	b)	Tìm kích thước để chi phí mua lưới thép là ít nhất (0,75 điểm)	0,75
		Chi phí mua lưới thép rào vườn là $C(x) = 250 \cdot L(x) = 250\left(2x + \dfrac{200}{x}\right) = 500x + \dfrac{50000}{x}$ (nghìn đồng). Để chi phí $C(x)$ ít nhất thì tổng độ dài lưới thép $L(x)$ phải nhỏ nhất. Xét hàm số $L(x) = 2x + \dfrac{200}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ : Ta có đạo hàm: $L'(x) = 2 - \dfrac{200}{x^2} = \dfrac{2x^2 - 200}{x^2}$ . $L'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 200 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 100 \Leftrightarrow x = 10$ (thoả mãn $x > 0$ ).	0,25
		Bảng biến thiên của hàm số $L(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$ : - Trên khoảng $(0; 10)$ ta có $L'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(10; +\infty)$ ta có $L'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến. Do đó, hàm số $L(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 10$ .	0,25
		Kích thước của mảnh vườn khi đó là: - Hai cạnh vuông góc với bờ tường dài: $10\text{ m}$ . - Cạnh song song với bờ tường dài: $\dfrac{200}{10} = 20\text{ m}$ . Tổng độ dài lưới thép tối thiểu là: $L(10) = 2(10) + 20 = 40\text{ m}$ . Số tiền chi phí tối thiểu để mua lưới thép là: $40 \times 250 = 10000\text{ (nghìn đồng)} = 10\text{ triệu đồng.}$	0,25

Lưu ý: Thí sinh có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy $L(x) = 2x + \dfrac{200}{x} \ge 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{200}{x}} = 40$ , dấu "=" xảy ra khi $2x = \dfrac{200}{x} \Leftrightarrow x = 10$ để tìm giá trị nhỏ nhất ở Bài 2b, nếu lập luận chặt chẽ vẫn đạt điểm tối đa.