Đề kiểm tra Chương 1 – Ứng dụng đạo hàm (Toán 12) theo bảng đặc tả

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Môn: Toán – Lớp 12

Năm học 2026 – 2027

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Chọn một phương án trả lời đúng duy nhất cho mỗi câu hỏi sau.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1;\,1)$

B. $(-\infty;\,-1)$ và $(1;\,+\infty)$

C. $(-\infty;\,1)$

D. $(-1;\,+\infty)$

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. $3$

B. $2$

C. $-1$

D. $0$

Câu 3 (0,25 điểm). Số điểm cực trị của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$ là

A. $3$

B. $1$

C. $2$

D. $0$

Câu 4 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên đoạn $[-2;\,3]$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-2;\,3]$ bằng

A. $4$

B. $2$

C. $-2$

D. $1$

Câu 5 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ trên đoạn $[2;\,3]$ bằng

A. $5$

B. $\dfrac{7}{2}$

C. $3$

D. $2$

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , có $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ và $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$ . Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

Câu 7 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x-1}{x+3}$ là

A. $x = 2$

B. $x = -3$

C. $y = 2$

D. $y = -3$

Câu 8 (0,25 điểm). Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2+x+1}{x-1}$ là

A. $y = x + 2$

B. $y = x - 2$

C. $y = 2x + 1$

D. $y = x + 3$

Câu 9 (0,25 điểm). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ là điểm

A. $I(1;\,2)$

B. $I(-1;\,2)$

C. $I(1;\,-2)$

D. $I(2;\,1)$

Câu 10 (0,25 điểm). Đồ thị ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[Đồ thị]

A. $y = -x^3 + 3x^2 + 2$

B. $y = x^3 + 3x^2 + 2$

C. $y = x^3 - 3x^2 + 2$

D. $y = x^3 - 3x^2 - 2$

Câu 11 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

[Đồ thị]

Phương trình $x^3 - 3x + 1 = m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

A. $-3 < m < 1$

B. $-1 < m < 3$

C. $m > 3$

D. $m < -1$

Câu 12 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ (với $a,\,b,\,c,\,d$ là các số thực, $c \ne 0$ , $ad - bc \ne 0$ ) có đồ thị nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng, nhận đường thẳng $y = 2$ làm tiệm cận ngang và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a > 0,\ b > 0,\ c > 0,\ d < 0$

B. $a > 0,\ b < 0,\ c > 0,\ d < 0$

C. $a < 0,\ b > 0,\ c < 0,\ d > 0$

D. $a > 0,\ b > 0,\ c < 0,\ d > 0$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (4,0 điểm)

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ .

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;\,2)$ .

b) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ .

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;\,3]$ bằng $-2$ .

d) Phương trình $f(x) = 0$ có đúng một nghiệm thực.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ .

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

b) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;\,3]$ bằng $5$ .

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = 2$ .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2+x+1}{x-1}$ .

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = x + 2$ .

c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;\,3]$ bằng $3 + 2\sqrt{3}$ .

Câu 4 (1,0 điểm). Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -\dfrac{t^3}{3} + 6t^2$ (m), với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động.

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ là $v(t) = -t^2 + 12t$ (m/s).

b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t$ là $a(t) = -2t + 12$ (m/s $^2$ ).

c) Vận tốc lớn nhất của vật trong quá trình chuyển động là $36$ m/s.

d) Quãng đường vật đi được trong $10$ giây đầu tiên là $400$ m.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từng câu bằng một con số (hoặc một biểu thức số) vào ô trả lời.

Câu 1 (0,5 điểm). Biết rằng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ có phương trình $y = ax + b$ . Tính hệ số góc $a$ .

Câu 2 (0,5 điểm). Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 1$ đồng biến trên khoảng $(a;\,b)$ . Tính $b - a$ .

Câu 3 (0,5 điểm). Một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng $12$ cm. Người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gấp tấm tôn lại để được một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích lớn nhất (cm $^3$ ) của chiếc hộp đó.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ . Gọi $S$ là diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận của $(C)$ và hai trục tọa độ. Tính $S$ .

Câu 5 (0,5 điểm). Tính số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ với trục hoành.

Câu 6 (0,5 điểm). Tính số điểm cực trị của hàm số $y = \left|x^3 - 3x + 2\right|$ .

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

SỞ GD&ĐT …

TRƯỜNG THPT …

Hướng dẫn chấm chính thức

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Môn: Toán – Lớp 12

Năm học 2026 – 2027

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Tổng điểm toàn bài là 10,0 điểm; điểm thành phần nhỏ nhất là 0,25 điểm.
- Phần I: mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
- Phần II: điểm của mỗi câu tính theo số ý đúng: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.
- Phần III: mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm; học sinh chỉ cần ghi đúng kết quả số.
- Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn (3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	B	C	A	A	B	B	B	A	A	C	B	A

Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.

2. Phần II. Trắc nghiệm đúng – sai (4,0 điểm)

Câu	1a	1b	1c	1d	2a	2b	2c	2d
Đáp án	Đ	Đ	Đ	S	Đ	Đ	S	Đ

Câu	3a	3b	3c	3d	4a	4b	4c	4d
Đáp án	Đ	Đ	S	Đ	Đ	Đ	Đ	S

Đúng 1 ý: 0,1 điểm — 2 ý: 0,25 điểm — 3 ý: 0,5 điểm — cả 4 ý: 1,0 điểm.

3. Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	$-2$	$2$	$128$	$2$	$3$	$3$

Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.

4. Hướng dẫn giải chi tiết

Câu	Nội dung	Điểm
I.1	Từ bảng biến thiên, $y' > 0$ trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$ nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.	0,25
I.2	Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ , giá trị cực tiểu bằng $-1$ .	0,25
I.3	$y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2-1)$ ; $y' = 0$ có ba nghiệm đơn $x = 0,\ x = \pm 1$ nên hàm số có 3 điểm cực trị.	0,25
I.4	Từ bảng biến thiên, $\max\limits_{[-2;3]} f(x) = 4$ (đạt tại $x = 0$ ).	0,25
I.5	$y' = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x \in [2;3]$ nên hàm số nghịch biến trên $[2;3]$ ; $\min\limits_{[2;3]} y = y(3) = \dfrac{7}{2}$ .	0,25
I.6	Đồ thị có tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = 2$ , vậy có 2 đường tiệm cận.	0,25
I.7	Nghiệm của mẫu $x = -3$ (tử khác 0 tại $x = -3$ ) nên tiệm cận đứng là $x = -3$ .	0,25
I.8	$y = \dfrac{x^2+x+1}{x-1} = x + 2 + \dfrac{3}{x-1}$ ; vì $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3}{x-1} = 0$ nên tiệm cận xiên là $y = x + 2$ .	0,25
I.9	Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nhận giao điểm hai tiệm cận $x = 1$ , $y = 2$ làm tâm đối xứng: $I(1;2)$ .	0,25
I.10	Đồ thị có nhánh đi lên khi $x \to +\infty$ nên $a > 0$ ; điểm cực đại $(0;2)$ , điểm cực tiểu $(2;-2)$ phù hợp với $y = x^3 - 3x^2 + 2$ .	0,25
I.11	Hàm số có giá trị cực đại $3$ (tại $x = -1$ ) và giá trị cực tiểu $-1$ (tại $x = 1$ ); phương trình có ba nghiệm phân biệt khi $-1 < m < 3$ .	0,25
I.12	Tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{c} = 2$ ; tiệm cận đứng $x = -\dfrac{d}{c} = 1$ . Chọn $c > 0$ thì $a = 2c > 0$ , $d = -c < 0$ . Giao với trục tung có tung độ $\dfrac{b}{d} < 0$ , mà $d < 0$ nên $b > 0$ . Vậy $a>0,\ b>0,\ c>0,\ d<0$ .	0,25
II.1	a) $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) < 0$ trên $(0;2)$ : Đúng. b) $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x = 0$ nên $x = 0$ là điểm cực đại: Đúng. c) $y(0) = 2$ , $y(2) = -2$ , $y(3) = 2$ nên $\min\limits_{[0;3]} y = -2$ : Đúng. d) $x^3-3x^2+2 = (x-1)(x^2-2x-2)$ có 3 nghiệm thực: Sai.	1,0
II.2	a) Mẫu $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ : Đúng. b) $y' = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0$ trên mỗi khoảng xác định: Đúng. c) Hàm số nghịch biến trên $[2;3]$ nên $\min\limits_{[2;3]} y = y(3) = \dfrac{7}{2} \ne 5$ : Sai. d) Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ : Đúng.	1,0
II.3	a) $x \ne 1$ : Đúng. b) $y = x + 2 + \dfrac{3}{x-1}$ nên tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận xiên $y = x+2$ : Đúng. c) $y' = \dfrac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}$ , đổi dấu trên mỗi khoảng xác định nên hàm số không đồng biến trên cả khoảng: Sai. d) Trên $[2;3]$ , $y' = 0$ tại $x = 1+\sqrt{3} \in [2;3]$ ; $y(1+\sqrt{3}) = 3+2\sqrt{3} \approx 6{,}46$ ; $y(2) = 7$ ; $y(3) = 6{,}5$ . Vậy $\min = 3+2\sqrt{3}$ : Đúng.	1,0
II.4	a) $v(t) = s'(t) = -t^2+12t$ : Đúng. b) $a(t) = v'(t) = -2t+12$ : Đúng. c) $v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 6$ ; $v(6) = 36$ và $v(t) \le 36$ với $t > 0$ nên vận tốc lớn nhất bằng $36$ m/s: Đúng. d) $s(10) = -\dfrac{1000}{3} + 600 = \dfrac{800}{3} \approx 266{,}67$ m $\ne 400$ m: Sai.	1,0
III.1	$y' = 3x^2-6x$ ; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ . Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;-2)$ . Đường thẳng qua hai điểm này là $y = -2x+2$ , suy ra hệ số góc $a = -2$ .	0,5
III.2	$y' = -3x^2+6x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$ nên $a = 0$ , $b = 2$ ; $b - a = 2$ .	0,5
III.3	Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông bị cắt, $0 < x < 6$ . Thể tích hộp: $V(x) = x(12-2x)^2$ . $V'(x) = (12-2x)(12-6x)$ ; $V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (loại $x = 6$ ). $V(2) = 2\cdot 8^2 = 128$ cm $^3$ .	0,5
III.4	Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ . Hình chữ nhật tạo bởi $x = 1$ , $y = 2$ và hai trục tọa độ có kích thước $1 \times 2$ nên $S = 2$ .	0,5
III.5	Hàm số $y = x^3-3x+1$ có giá trị cực đại $3 > 0$ và giá trị cực tiểu $-1 < 0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.	0,5
III.6	$f(x) = x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)$ có 2 điểm cực trị và 1 nghiệm đơn $x = -2$ . Hàm số $y = \|f(x)\|$ đạt cực trị tại 2 điểm cực trị của $f$ và tại nghiệm đơn $x = -2$ , vậy có 3 điểm cực trị.	0,5

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (4,0 điểm)

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Đề cùng môn Toán, lớp 12