Đề kiểm tra Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Toán 12

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

[Đồ thị]

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 3 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 4 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 5$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ và có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2; 3]$ bằng

Câu 6 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ là đường thẳng

Câu 7 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 8 (0,25 điểm). Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 9 (0,25 điểm). Đồ thị của hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ nhận điểm nào sau đây làm tâm đối xứng?

Câu 10 (0,25 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương và có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 11 (0,25 điểm). Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 9t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

Câu 12 (0,25 điểm). Số lượng vi khuẩn trong một mẻ nuôi cấy sau $t$ giờ được mô hình hoá bởi hàm số $N(t) = 1000 + \dfrac{200t}{t + 2}$ ($t \ge 0$). Khẳng định nào sau đây mô tả đúng về tốc độ gia tăng số lượng vi khuẩn?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - (m - 1)x^2 + (m^2 - 3m + 2)x + 1$ với $m$ là tham số thực.
a) Khi $m = 1$, đạo hàm của hàm số là $f'(x) = x^2$.
b) Khi $m = 1$, hàm số đã cho đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$.
c) Khi $m = 3$, phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 0$ và $x_2 = 4$.
d) Có đúng hai giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 3)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 + x + 4}{x + 1}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$.
c) Trên đoạn $[0; 3]$, hàm số có giá trị lớn nhất bằng $4$.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(-1; +\infty)$ bằng $3$.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Đường thẳng $x = 2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$.
b) Đồ thị $(C)$ không có đường tiệm cận ngang.
c) Đường thẳng $y = 2x + 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
d) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ là điểm $I(2; 5)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm với chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm ($0 < x \le 200$) trong một ngày được cho bởi hàm số:

$$C(x) = x^3 - 60x^2 + 1500x + 2000 \quad \text{(nghìn đồng)}$$

Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm khi sản xuất $x$ sản phẩm là $\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
a) Chi phí cố định ban đầu của doanh nghiệp (khi chưa sản xuất sản phẩm) là $2\,000$ nghìn đồng.
b) Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm khi sản xuất $10$ sản phẩm là $1\,200$ nghìn đồng/sản phẩm.
c) Công thức chi phí trung bình là $\overline{C}(x) = x^2 - 60x + 1500 + \dfrac{2000}{x}$.
d) Doanh nghiệp sản xuất $40$ sản phẩm trong một ngày thì chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là thấp nhất.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Cho hàm số $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 1$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x^2 - 2x + m}$ không có đường tiệm cận đứng.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ có hai điểm cực trị là $x_1, x_2$. Tính giá trị của biểu thức $P = x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2$.

Câu 4 (0,5 điểm). Một chất điểm chuyển động thẳng với phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, trong đó $t$ tính bằng giây ($t \ge 0$) và $s$ tính bằng mét. Vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$ giây bằng bao nhiêu mét trên giây?

Câu 5 (0,5 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-5; 5]$ để phương trình $f(x) - m = 0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt?

[Đồ thị]

Câu 6 (0,5 điểm). Một người thợ gò hàn muốn làm một thùng chứa nước hình trụ có nắp bằng tôn với dung tích $V = 54\pi$ dm$^3$. Để tiết kiệm vật liệu nhất (diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất), bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu decimét?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

#

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

- $f'(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(2;+\infty)$.
- $f'(x)<0$ trên khoảng $(-1;2)$.

Do đó, hàm số đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(2;+\infty)$. Trong các phương án đã cho, khoảng thỏa mãn là $(-\infty;-1)$.

Chọn B.

Câu 2

Quan sát đồ thị, khi $x$ tăng:

- Trên khoảng $(-\infty;-1)$, đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến.
- Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến.
- Trên khoảng $(1;+\infty)$, đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến.

Trong các phương án đã cho, khoảng nghịch biến là $(1;+\infty)$.

Chọn C.

Câu 3

Từ bảng biến thiên, khi $x$ đi qua $1$, dấu của $f'(x)$ đổi từ âm sang dương. Vì vậy:

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.
- Giá trị cực tiểu là $f(1)=-4$.

Điểm cực tiểu của đồ thị có hoành độ $1$ và tung độ $-4$, tức là $(1;-4)$.

Chọn C.

Câu 4

Xét hàm số $f(x)=x^3-3x+5$ trên đoạn $[0;2]$.

Ta có:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Phương trình $f'(x)=0$ có các nghiệm $x=1$ và $x=-1$. Trong đó, chỉ có $x=1$ thuộc đoạn $[0;2]$.

Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại điểm tới hạn thuộc đoạn:

$$f(0)=5,\qquad f(1)=1-3+5=3,\qquad f(2)=8-6+5=7.$$

So sánh ba giá trị, suy ra:

$$\min_{[0;2]}f(x)=3.$$

Chọn A.

Câu 5

Từ bảng biến thiên:

- Trên $[-2;0]$, hàm số tăng từ $-1$ đến $4$.
- Trên $[0;2]$, hàm số giảm từ $4$ xuống $1$.
- Trên $[2;3]$, hàm số tăng từ $1$ đến $5$.

Giá trị lớn nhất trong các giá trị được thể hiện là $5$, đạt tại $x=3$. Vậy:

$$\max_{[-2;3]}f(x)=5.$$

Chọn B.

Câu 6

Xét hàm số:

$$y=\dfrac{2x-3}{x+1}.$$

Mẫu số bằng $0$ khi $x=-1$. Tại điểm này, tử số bằng:

$$2(-1)-3=-5\ne 0.$$

Do tử số tiến tới một số khác $0$ còn mẫu số tiến tới $0$, ít nhất một giới hạn một phía của hàm số tại $x=-1$ là vô cực. Vì thế, $x=-1$ là đường tiệm cận đứng.

Chọn A.

Câu 7

Từ bảng biến thiên:

$$\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty.$$

Vậy đồ thị có một đường tiệm cận đứng là $x=1$.

Mặt khác:

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=2.$$

Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là $y=2$. Hai giới hạn ở vô cực cùng cho một đường thẳng, không phải hai đường khác nhau.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$.

Chọn B.

Câu 8

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị đi qua điểm $(0;1)$, có điểm cực đại $(-1;3)$ và điểm cực tiểu $(1;-1)$.

Xét phương án B: $y=x^3-3x+1$. Ta có:

$$y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Suy ra:

- $y'>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$.
- $y'<0$ khi $-1<x<1$.

Vì vậy, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$. Hơn nữa:

$$y(-1)=3,\qquad y(1)=-1,\qquad y(0)=1.$$

Các đặc điểm này phù hợp với đồ thị đã cho.

Chọn B.

Câu 9

Biến đổi hàm số:

$$y=\dfrac{2x+1}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}.$$

Do đó:

- Khi $x\to 1$, phân thức $\dfrac{3}{x-1}$ tiến ra vô cực theo từng phía, nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
- Khi $x\to\pm\infty$, ta có $\dfrac{3}{x-1}\to 0$, nên $y=2$ là tiệm cận ngang.

Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(1;2)$.

Ta cũng có thể kiểm tra tính đối xứng trực tiếp: đặt $X=x-1$ và $Y=y-2$, phương trình trở thành:

$$Y=\dfrac{3}{X}.$$

Nếu $(X;Y)$ thuộc đồ thị này thì $(-X;-Y)$ cũng thuộc đồ thị. Vì vậy, đồ thị nhận $I(1;2)$ làm tâm đối xứng.

Chọn A.

Câu 10

Với hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$, ta có $a\ne 0$ và:

$$y'=3ax^2+2bx+c.$$

Gọi $x_1$, $x_2$ là hoành độ hai điểm cực trị. Hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung nên:

$$x_1x_2<0.$$

Theo định lí Viète áp dụng cho phương trình $3ax^2+2bx+c=0$:

$$x_1x_2=\dfrac{c}{3a}<0.$$

Vì $3a^2>0$, nhân hai vế với $3a^2$ cho:

$$ac<0.$$

Điều kiện đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương cho $d>0$, nhưng không cần sử dụng để kết luận dấu của $ac$.

Chọn B.

Câu 11

Vận tốc tức thời là đạo hàm của hàm số vị trí theo thời gian:

$$v(t)=s'(t).$$

Lấy đạo hàm từng hạng tử:

$$s'(t)=(-t^3)'+(6t^2)'+(9t)'=-3t^2+12t+9.$$

Vậy:

$$v(t)=-3t^2+12t+9.$$

Chọn A.

Lưu ý: Công thức đã cho không thể biểu diễn quãng đường tích lũy trên toàn bộ $t\ge 0$, vì đạo hàm của nó đổi dấu. Điều này không ảnh hưởng đến phép tính đạo hàm và lựa chọn đáp án của câu hỏi.

Câu 12

Tốc độ gia tăng số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ là $N'(t)$. Với $t\ge 0$:

$$N'(t)=\left(1000+\dfrac{200t}{t+2}\right)'=\dfrac{200(t+2)-200t}{(t+2)^2}=\dfrac{400}{(t+2)^2}>0.$$

Như vậy, số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian.

Để xét tốc độ tăng thay đổi như thế nào, ta tính:

$$N''(t)=-\dfrac{800}{(t+2)^3}<0\quad\text{với }t\ge 0.$$

Do $N''(t)<0$, hàm số $N'(t)$ giảm theo thời gian. Nghĩa là số lượng vi khuẩn vẫn tăng, nhưng tốc độ gia tăng giảm dần.

Chọn B.

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1

Ta có:

$$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-(m-1)x^2+(m^2-3m+2)x+1.$$

Lấy đạo hàm:

$$f'(x)=x^2-2(m-1)x+m^2-3m+2.$$

a) Đúng.

Khi $m=1$:

$$f'(x)=x^2-2(1-1)x+1-3+2=x^2.$$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Đúng.

Khi $m=1$, ta có $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+1$ và $f'(x)=x^2\ge 0$ với mọi $x\in\mathbb R$.

Đạo hàm chỉ bằng $0$ tại một điểm $x=0$, không bằng $0$ trên bất kì khoảng nào. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb R$.

Cũng có thể thấy trực tiếp: nếu $x_1<x_2$ thì $x_1^3<x_2^3$, suy ra $f(x_1)<f(x_2)$.

c) Sai.

Khi $m=3$:

$$f'(x)=x^2-4x+2.$$

Giải phương trình $f'(x)=0$:

$$x^2-4x+2=0\iff (x-2)^2=2\iff x=2\pm\sqrt{2}.$$

Hai nghiệm phân biệt là $2-\sqrt{2}$ và $2+\sqrt{2}$, không phải $0$ và $4$.

d) Sai.

Hàm số đồng biến trên $(0;3)$ khi và chỉ khi $f'(x)\ge 0$ với mọi $x\in(0;3)$. Trong bài này, nếu điều kiện đạo hàm không âm được thỏa mãn thì hàm số đồng biến thực sự, vì $f'$ là một tam thức bậc hai không đồng nhất bằng $0$.

Đặt $u=m-1$. Khi đó:

$$m^2-3m+2=(m-1)(m-2)=u(u-1),$$

nên:

$$f'(x)=x^2-2ux+u(u-1)=(x-u)^2-u.$$

Xét các trường hợp:

- Nếu $u\le 0$ thì $(x-u)^2-u\ge 0$ với mọi $x$. Mọi $m\le 1$ đều thỏa mãn.
- Nếu $0<u<3$, lấy $x=u$ thuộc $(0;3)$ thì $f'(u)=-u<0$. Vì vậy không thỏa mãn.
- Nếu $u=3$, đạo hàm âm tại các điểm thuộc $(0;3)$ đủ gần $3$, nên không thỏa mãn.
- Nếu $u>3$, trên đoạn $[0;3]$, biểu thức $(x-u)^2-u$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$. Do tính liên tục, điều kiện cần và đủ là:

$$f'(3)=(u-3)^2-u\ge 0.$$

Giải bất phương trình:

$$u^2-7u+9\ge 0.$$

Hai nghiệm của phương trình tương ứng là $\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}$ và $\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}$. Kết hợp với $u>3$, ta được:

$$u\ge\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}.$$

Trở lại tham số $m$:

$$m\le 1\quad\text{hoặc}\quad m\ge\dfrac{9+\sqrt{13}}{2}.$$

Với $m$ nguyên, điều kiện trở thành:

$$m\le 1\quad\text{hoặc}\quad m\ge 7.$$

Có vô số giá trị nguyên thỏa mãn, không phải đúng hai giá trị.

Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Câu 2

Xét hàm số:

$$f(x)=\dfrac{x^2+x+4}{x+1}.$$

a) Đúng.

Hàm số xác định khi mẫu số khác $0$:

$$x+1\ne 0\iff x\ne-1.$$

Vậy tập xác định là $D=\mathbb R\setminus\{-1\}$.

b) Đúng.

Theo quy tắc đạo hàm thương:

$$f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1)^2}.$$

Rút gọn tử số:

$$(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)=x^2+2x-3.$$

Do đó:

$$f'(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}.$$

c) Đúng.

Trên $[0;3]$, phương trình $f'(x)=0$ chỉ có nghiệm $x=1$.

Tính các giá trị:

$$f(0)=4,\qquad f(1)=\dfrac{6}{2}=3,\qquad f(3)=\dfrac{16}{4}=4.$$

Suy ra:

$$\max_{[0;3]}f(x)=4.$$

Giá trị lớn nhất đạt tại cả $x=0$ và $x=3$.

d) Đúng.

Trên khoảng $(-1;+\infty)$, ta có $(x+1)^2>0$ và $x+3>0$. Vì vậy, dấu của $f'(x)$ là dấu của $x-1$:

- $f'(x)<0$ khi $-1<x<1$.
- $f'(x)>0$ khi $x>1$.

Hàm số giảm trên $(-1;1)$ rồi tăng trên $(1;+\infty)$, nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1$:

$$\min_{(-1;+\infty)}f(x)=f(1)=3.$$

Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Câu 3

Chia đa thức ở tử cho mẫu:

$$2x^2-3x+1=(x-2)(2x+1)+3.$$

Do đó:

$$f(x)=2x+1+\dfrac{3}{x-2},\qquad x\ne 2.$$

a) Đúng.

Khi $x\to 2$, hạng tử $\dfrac{3}{x-2}$ có giới hạn vô cực theo từng phía. Cụ thể:

$$\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$$

Vậy $x=2$ là tiệm cận đứng.

b) Đúng.

Khi $x\to\pm\infty$, hạng tử $\dfrac{3}{x-2}\to 0$, còn $2x+1$ có độ lớn tiến ra vô cực. Vì vậy, hàm số không có giới hạn hữu hạn khi $x\to+\infty$ hoặc $x\to-\infty$.

Do đó, đồ thị không có tiệm cận ngang.

c) Đúng.

Ta có:

$$f(x)-(2x+1)=\dfrac{3}{x-2}\to 0\quad\text{khi }x\to\pm\infty.$$

Vậy $y=2x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

d) Đúng.

Giao điểm của hai đường tiệm cận thỏa mãn:

$$x=2,\qquad y=2x+1.$$

Thay $x=2$ vào phương trình thứ hai, được $y=5$. Vậy giao điểm là $I(2;5)$.

Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Câu 4

Chi phí sản xuất được cho bởi:

$$C(x)=x^3-60x^2+1500x+2000.$$

a) Đúng, nếu mở rộng công thức chi phí đến $x=0$.

Thay $x=0$ vào biểu thức:

$$C(0)=2000.$$

Theo cách hiểu thông thường của mô hình chi phí, đây là chi phí cố định ban đầu, bằng $2000$ nghìn đồng.

Tuy nhiên, đề chỉ nêu miền áp dụng $0<x\le 200$. Vì vậy, để khẳng định chính xác giá trị tại $x=0$, cần hiểu rằng công thức được mở rộng đến điểm này.

b) Đúng.

Khi sản xuất $10$ sản phẩm:

$$C(10)=10^3-60\cdot 10^2+1500\cdot 10+2000.$$

Tính được:

$$C(10)=1000-6000+15000+2000=12000\text{ nghìn đồng}.$$

Do đó, chi phí trung bình cho một sản phẩm là:

$$\overline C(10)=\dfrac{12000}{10}=1200\text{ nghìn đồng/sản phẩm}.$$

c) Đúng.

Vì $x>0$, chia từng hạng tử của $C(x)$ cho $x$:

$$\overline C(x)=\dfrac{x^3-60x^2+1500x+2000}{x}=x^2-60x+1500+\dfrac{2000}{x}.$$

d) Sai.

Ta có:

$$\overline C(40)=40^2-60\cdot40+1500+\dfrac{2000}{40}=750\text{ nghìn đồng/sản phẩm}.$$

Chỉ cần tìm một số sản phẩm hợp lệ có chi phí trung bình nhỏ hơn $750$ để bác bỏ khẳng định. Chẳng hạn:

$$\overline C(30)=30^2-60\cdot30+1500+\dfrac{2000}{30}=\dfrac{2000}{3}<750.$$

Vậy sản xuất $40$ sản phẩm không cho chi phí trung bình thấp nhất.

Để kiểm tra thêm vị trí tối ưu, xét:

$$\overline C'(x)=2x-60-\dfrac{2000}{x^2},\qquad \overline C''(x)=2+\dfrac{4000}{x^3}>0\quad(x>0).$$

Vì $\overline C''(x)>0$, đạo hàm $\overline C'(x)$ tăng nghiêm ngặt. Ta có:

$$\overline C'(31)=2-\dfrac{2000}{961}<0,\qquad \overline C'(32)=4-\dfrac{2000}{1024}>0.$$

Vì vậy, điểm tối thiểu theo biến thực nằm giữa $31$ và $32$. Số sản phẩm là số nguyên nên chỉ cần so sánh hai giá trị:

$$\overline C(31)=601+\dfrac{2000}{31}\approx 665{,}52,$$

$$\overline C(32)=666{,}5.$$

Trong các số lượng sản phẩm nguyên hợp lệ, chi phí trung bình nhỏ nhất đạt khi sản xuất $31$ sản phẩm.

Kết luận: a) Đúng theo cách mở rộng mô hình đã nêu; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1

Xét hàm số:

$$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+1.$$

Ta có:

$$f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2).$$

Phương trình $f'(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt:

$$x=-1,\qquad x=0,\qquad x=2.$$

Xét dấu của $f'(x)$:

- Khi $x<-1$: $f'(x)<0$.
- Khi $-1<x<0$: $f'(x)>0$.
- Khi $0<x<2$: $f'(x)<0$.
- Khi $x>2$: $f'(x)>0$.

Đạo hàm đổi dấu tại cả ba nghiệm. Vì vậy, hàm số có ba điểm cực trị: cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$.

Đáp số: $3$.

Câu 2

Xét hàm số:

$$y=\dfrac{x+1}{x^2-2x+m}.$$

Mẫu số có thể viết thành:

$$x^2-2x+m=(x-1)^2+m-1.$$

Để đồ thị không có tiệm cận đứng, trước hết xét trường hợp mẫu số không có nghiệm thực:

$$m-1>0\iff m>1.$$

Khi đó mẫu số luôn dương, nên hàm số xác định và liên tục trên toàn bộ $\mathbb R$; không có tiệm cận đứng.

Xét tiếp $m\le 1$:

- Nếu $m=1$, mẫu số bằng $(x-1)^2$. Tại $x=1$, tử số bằng $2\ne 0$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
- Nếu $m<1$, mẫu số có hai nghiệm thực phân biệt. Tử số $x+1$ chỉ có một nghiệm là $x=-1$, nên không thể đồng thời triệt tiêu tại cả hai nghiệm của mẫu. Ít nhất một nghiệm của mẫu vẫn là tiệm cận đứng.

Vậy các giá trị cần tìm là:

$$\boxed{m>1}.$$

Câu 3

Ta có:

$$y'=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2).$$

Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $-1$ và $2$. Đạo hàm đổi dấu tại cả hai nghiệm nên đó là hai điểm cực trị của hàm số.

Có thể tính trực tiếp:

$$P=(-1)^2+2^2-(-1)\cdot2=1+4+2=7.$$

Hoặc dùng Viète: $x_1+x_2=1$, $x_1x_2=-2$, do đó:

$$P=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=1^2-3(-2)=7.$$

Đáp số: $7$.

Câu 4

Vận tốc tức thời của chất điểm là:

$$v(t)=s'(t)=-3t^2+18t+21.$$

Hoàn thành bình phương:

$$v(t)=-3(t^2-6t)+21=-3(t-3)^2+48.$$

Vì $(t-3)^2\ge 0$, ta có:

$$v(t)\le 48.$$

Dấu bằng xảy ra khi $t=3$, thuộc khoảng thời gian $[0;5]$. Vậy vận tốc tức thời lớn nhất là $48$ m/s.

Kiểm tra tại hai đầu mút:

$$v(0)=21\text{ m/s},\qquad v(5)=36\text{ m/s}.$$

Cả hai đều nhỏ hơn $48$ m/s.

Đáp số: $48$ m/s.

Câu 5

Phương trình $f(x)-m=0$ tương đương:

$$f(x)=m.$$

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ với đường thẳng ngang $y=m$.

Từ đồ thị:

- Giá trị cực đại là $2$.
- Giá trị cực tiểu là $-2$.

Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại đúng ba điểm phân biệt khi nó nằm giữa hai mức cực trị:

$$-2<m<2.$$

Tại $m=2$ hoặc $m=-2$, đường thẳng đi qua một điểm cực trị và chỉ có hai giao điểm phân biệt, nên hai giá trị này không được tính.

Kết hợp điều kiện $m$ nguyên và $m\in[-5;5]$, ta được:

$$m\in\{-1;0;1\}.$$

Có tất cả $3$ giá trị.

Đáp số: $3$.

Câu 6

Gọi bán kính đáy và chiều cao của thùng hình trụ lần lượt là $r$, $h$ với $r>0$, $h>0$.

Theo công thức thể tích:

$$\pi r^2h=54\pi\iff h=\dfrac{54}{r^2}.$$

Thùng có nắp và đáy nên diện tích toàn phần gồm diện tích hai đáy và diện tích xung quanh:

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Thay $h=\dfrac{54}{r^2}$:

$$S(r)=2\pi r^2+\dfrac{108\pi}{r},\qquad r>0.$$

Lấy đạo hàm:

$$S'(r)=4\pi r-\dfrac{108\pi}{r^2}=\dfrac{4\pi(r^3-27)}{r^2}.$$

Vì $4\pi>0$ và $r^2>0$, dấu của $S'(r)$ là dấu của $r^3-27$:

- $S'(r)<0$ khi $0<r<3$.
- $S'(r)=0$ khi $r=3$.
- $S'(r)>0$ khi $r>3$.

Do đó, diện tích toàn phần giảm đến $r=3$ rồi tăng; diện tích nhỏ nhất khi $r=3$ dm.

Kiểm tra thể tích: khi $r=3$ dm, ta có $h=\dfrac{54}{3^2}=6$ dm và $\pi r^2h=54\pi$ dm$^3$, đúng yêu cầu.

Đáp số: $3$ dm.