Đề kiểm tra Chương 1 Toán 12 - Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số

SỞ GD&ĐT ....................

TRƯỜNG THPT ....................

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: Toán – Lớp 12 (Chương 1)

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 1)$

B. $(1; +\infty)$

C. $(-2; 2)$

D. $(-\infty; 2)$

Câu 2. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ là

A. $x = 2$

B. $x = 0$

C. $(2; -2)$

D. $(0; 2)$

Câu 3. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ là đường thẳng

A. $x = -1$

B. $x = 1$

C. $y = 2$

D. $y = -1$

Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 1$ trên đoạn $[-1; 2]$ bằng

A. $1$

B. $-7$

C. $3$

D. $2$

Câu 5. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ có phương trình là

A. $y = x - 1$

B. $y = x - 2$

C. $y = x + 2$

D. $y = -x + 2$

Câu 6. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 2)^2(x + 1)^3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. $3$

B. $1$

C. $2$

D. $0$

Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{9}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng

A. $3$

B. $9$

C. $10$

D. $6$

Câu 8. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ là điểm nào sau đây?

A. $I(-2; 3)$

B. $I(2; 3)$

C. $I(-2; -1)$

D. $I(3; -2)$

Câu 9. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại $x = -2$ .

B. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; 1)$ .

Câu 10. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$ ?

A. $y = \dfrac{x - 1}{x + 2}$

B. $y = x^4 + 2x^2$

C. $y = -x^3 - 3x$

D. $y = x^3 + 3x - 1$

Câu 11. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$ là

A. $2$

B. $1$

C. $3$

D. $0$

Câu 12. Cho hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

[Đồ thị hàm số bậc ba đi qua gốc tọa độ O(0,0), có điểm cực đại (-1, 2) và điểm cực tiểu (1, -2)]

Hệ số $a$ và giá trị cực đại của hàm số lần lượt là

A. $a < 0;\ y_{\text{CĐ}} = 1$

B. $a > 0;\ y_{\text{CĐ}} = -1$

C. $a > 0;\ y_{\text{CĐ}} = 2$

D. $a < 0;\ y_{\text{CĐ}} = 2$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$ .
c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 1$ .
d) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}} = -1$ .

Câu 2. Cho hàm số bậc ba $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ có đồ thị là $(C)$ .
a) Đạo hàm của hàm số là $y' = 3x^2 - 6x - 9$ .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$ .
c) Điểm $I(1; -6)$ là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ .
d) Trên đoạn $[0; 4]$ , giá trị lớn nhất của hàm số bằng $5$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-22$ .

Câu 3. Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(H)$ .
a) Đồ thị $(H)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$ .
b) Giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm $I(1; 2)$ , điểm này là tâm đối xứng của $(H)$ .
c) Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ .
d) Tiếp tuyến của đồ thị $(H)$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ có hệ số góc bằng $-3$ .

Câu 4. Một chất điểm chuyển động thẳng dọc theo một trục định hướng, quãng đường đi được $s$ (tính bằng mét) sau khoảng thời gian $t$ (tính bằng giây, $t \ge 0$ ) kể từ thời điểm xuất phát được mô tả bởi hàm số:

$s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t$

a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ là $v(t) = -3t^2 + 12t + 15$ (m/s).
b) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = 1$ s là $a(1) = 6\text{ m/s}^2$ .
c) Vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 2$ s.
d) Kể từ thời điểm ban đầu đến khi chất điểm dừng lại (vận tốc tức thời bằng 0), chất điểm đi được quãng đường là $120\text{ m}$ .

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Cho hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-5; 5]$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía khác nhau của trục tung?

Câu 2. Cho hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ . Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ . Tính giá trị của biểu thức $P = M + 2m$ .

Câu 3. Cho hàm số $y = \dfrac{ax + 1}{bx - 2}$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ). Biết rằng đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 3$ . Tính tổng $S = a + b$ .

Câu 4. Một người nông dân có $60$ mét hàng rào lưới thép muốn rào một khu đất hình chữ nhật giáp với một bờ tường thẳng có sẵn để làm vườn rau (không cần rào phía bờ tường). Diện tích lớn nhất của khu vườn mà người nông dân có thể rào được bằng bao nhiêu mét vuông?

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-5; 5]$ để hàm số $y = \dfrac{x - 2}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(3; +\infty)$ ?

Câu 6. Một cơ sở sản xuất một loại sản phẩm với chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ( $1 \le x \le 25$ , sản phẩm) được mô hình hoá bởi hàm số:

$C(x) = x^3 - 30x^2 + 300x + 1000\quad \text{(nghìn đồng)}$

Chi phí biên $C'(x)$ thể hiện tốc độ tăng chi phí theo số lượng sản phẩm. Hỏi chi phí biên đạt giá trị nhỏ nhất khi cơ sở sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

A. ĐÁP ÁN PHẦN I (12 câu – 3,0 điểm, mỗi câu đúng được 0,25 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Đáp án	B	C	A	D	B	C	D	A	B	D	A	C

B. ĐÁP ÁN PHẦN II (4 câu – 4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn tóm tắt
Câu 1	a)	Đ	Mẫu số $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ .
	b)	Đ	$f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$ .
	c)	S	$f(x) = x + \dfrac{1}{x - 1} \Rightarrow \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - x] = 0 \Rightarrow$ tiệm cận xiên là $y = x$ .
	d)	Đ	$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ . Qua $x = 0$ , $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên là điểm cực đại; $f(0) = -1$ .
Câu 2	a)	Đ	$y' = 3x^2 - 6x - 9$ .
	b)	S	$y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$ . Trên khoảng $(-1; 3)$ , $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến.
	c)	Đ	$y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y(1) = -6 \Rightarrow I(1; -6)$ là tâm đối xứng.
	d)	Đ	$y(0) = 5$ , $y(3) = -22$ , $y(4) = -15 \Rightarrow \max_{[0; 4]} y = 5$ , $\min_{[0; 4]} y = -22$ .
Câu 3	a)	Đ	$\lim_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow x = 1$ ; $\lim_{x \to \pm\infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$ .
	b)	Đ	Giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất.
	c)	S	$y' = \dfrac{2(-1) - 1(1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0, \forall x \ne 1 \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
	d)	Đ	Hệ số góc tiếp tuyến là $k = y'(2) = \dfrac{-3}{(2 - 1)^2} = -3$ .
Câu 4	a)	Đ	$v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 15$ .
	b)	Đ	$a(t) = v'(t) = -6t + 12 \Rightarrow a(1) = 6\text{ m/s}^2$ .
	c)	Đ	$v(t) = -3(t - 2)^2 + 27 \le 27$ . Vận tốc đạt cực đại tại $t = 2$ s.
	d)	S	Khi dừng lại $v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 5$ s. Quãng đường $s(5) = -(5)^3 + 6(5)^2 + 15(5) = 100$ m $\ne 120$ m.

C. ĐÁP ÁN PHẦN III (6 câu – 3,0 điểm, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải vắn tắt
Câu 1	1	$y' = 3[x^2 - 2mx + (m^2 - 1)]$ . Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm trái dấu: $x_1 x_2 < 0 \Leftrightarrow m^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < m < 1$ . Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 0$ . Có $1$ giá trị nguyên.
Câu 2	8	Trên đoạn $[2; 4]$ , $y' = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0$ nên hàm số nghịch biến. $M = y(2) = 4$ ; $m = y(4) = 2$ . Do đó $P = M + 2m = 4 + 2(2) = 8$ .
Câu 3	8	Tiệm cận đứng: $bx - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{b} = 1 \Rightarrow b = 2$ . Tiệm cận ngang: $y = \dfrac{a}{b} = 3 \Rightarrow a = 3b = 6$ . Vậy $S = a + b = 6 + 2 = 8$ .
Câu 4	450	Gọi chiều rộng hàng rào là $x$ ( $0 < x < 30$ , m). Chiều dài giáp bờ tường là $60 - 2x$ . Diện tích khu vườn: $S(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x = -2(x - 15)^2 + 450 \le 450$ . Diện tích lớn nhất bằng $450\text{ m}^2$ khi $x = 15$ m.
Câu 5	7	Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{m\}$ . Ta có $y' = \dfrac{2 - m}{(x - m)^2}$ . Hàm số đồng biến trên $(3; +\infty) \Leftrightarrow \begin{cases} y' > 0 \\ m \notin (3; +\infty) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 - m > 0 \\ m \le 3 \end{cases} \Leftrightarrow m < 2$ . Kết hợp $m \in [-5; 5]$ và $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1\}$ . Có $7$ giá trị.
Câu 6	10	Chi phí biên: $C'(x) = 3x^2 - 60x + 300 = 3(x - 10)^2 \ge 0$ . Giá trị nhỏ nhất của $C'(x)$ bằng $0$ đạt được khi $x = 10 \in [1; 25]$ . Vậy cần sản xuất $10$ sản phẩm.