ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHƯƠNG 1 - TOÁN 12

Câu I (2,5 điểm). Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 1$.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu II (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (2m - 1)x - 3$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng về một phía của trục tung.

Câu III (2,0 điểm). Doanh nghiệp tư nhân Thành Đạt – Nha Trang chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là $27$ (triệu đồng) và bán với giá $31$ (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là $600$ chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm $1$ (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm $200$ chiếc.
1. Xác định hàm số $L(x)$ là hàm lợi nhuận mà công ty đạt được theo số tiền giảm giá $x$ (triệu đồng) trên mỗi chiếc xe.
2. Xác định giá bán mới để lợi nhuận công ty đạt được là tối đa và xác định giá trị lợi nhuận tối đa đó.

Câu IV (1,5 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$ có đồ thị $(C)$. Biết đồ thị $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-4$, đồng thời có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 2$. Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c + d$.

Câu V (2,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + mx - 1}{x - 1}$.
1. Chứng minh rằng hàm số luôn có hai điểm cực trị với mọi giá trị của tham số $m$.
2. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu VI (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Đường thẳng $d: y = x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ với $AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$; đường thẳng $d': y = -x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $C, D$ với $CD = \sqrt{(x_3 - x_4)^2 + (y_3 - y_4)^2}$. Xác định các giá trị của tham số $m$ để $AB = 2CD$.

------------------------- HẾT -------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ........................

A. HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm bài theo cách khác đúng với yêu cầu của đề bài vẫn cho điểm tối đa tương ứng từng câu/ý.
- Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần các câu, không làm tròn số.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

| ^ | ^ | - Bảng biến thiên:
```variation
{"points": [{"x": "-\infty", "y": "+\infty"}, {"x": "0", "yPrime": "0", "y": "1"}, {"x": "2", "yPrime": "0", "y": "5"}, {"x": "+\infty", "y": "-\infty"}], "intervals": [{"sign": "-"}, {"sign": "+"}, {"sign": "-"}], "showDerivative": true}
``` | 0,25 |
| ^ | ^ | - Đồ thị hàm số:
Giao điểm với trục tung: $(0; 1)$. Điểm uốn: $I(1; 3)$. Đồ thị đi qua các điểm cực trị $(0; 1)$ và $(2; 5)$.
 | 0,5 |
| ^ | 2 | Tìm phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm cực trị (1,0 điểm) | 1,0 |
| ^ | ^ | - Đường thẳng $(d)$ có dạng tổng quát: $y = ax + b$. | 0,25 |
| ^ | ^ | - Vì $(d)$ đi qua hai điểm cực trị $A(0; 1)$ và $B(2; 5)$ nên ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} a \cdot 0 + b = 1 \\ a \cdot 2 + b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = 1 \\ a = 2 \end{cases}$$ | 0,5 |
| ^ | ^ | - Kết luận: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = 2x + 1$. | 0,25 |
| II | | Tìm $m$ để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía trục tung (1,0 điểm) | 1,0 |
| ^ | | - Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $y' = x^2 - 2mx + 2m - 1$. | 0,25 |
| ^ | | - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng về một phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:

$$\begin{cases} \Delta' > 0 \\ P > 0 \end{cases}$$ | 0,25 |
| ^ | | - Biến đổi hệ điều kiện:

$$\begin{cases} m^2 - (2m - 1) > 0 \\ 2m - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (m - 1)^2 > 0 \\ m > \dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 1 \\ m > \dfrac{1}{2} \end{cases}$$ | 0,25 |
| ^ | | - Kết luận: Các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m > \dfrac{1}{2}$ và $m \ne 1$. | 0,25 |
| III | | Bài toán thực tế tối ưu hóa lợi nhuận kinh doanh xe máy (2,0 điểm) | |
| ^ | 1 | Xác định hàm lợi nhuận $L(x)$ (1,0 điểm) | 1,0 |
| ^ | ^ | - Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền giảm giá trên mỗi chiếc xe ($0 \le x < 4$). | 0,25 |
| ^ | ^ | - Khi giảm $x$ triệu đồng trên mỗi chiếc xe:
+ Giá bán mới của mỗi chiếc xe là: $31 - x$ (triệu đồng).
+ Lợi nhuận thu được trên một chiếc xe là: $(31 - x) - 27 = 4 - x$ (triệu đồng). | 0,25 |
| ^ | ^ | - Theo bài ra, cứ giảm $1$ triệu đồng thì số lượng xe bán ra tăng thêm $200$ chiếc, do đó số xe bán ra trong một năm là:

$$600 + 200x \text{ (chiếc)}$$ | 0,25 |
| ^ | ^ | - Hàm lợi nhuận doanh nghiệp thu được trong một năm là:

$$L(x) = (4 - x)(600 + 200x) = -200x^2 + 200x + 2400 \text{ (triệu đồng)}$$ | 0,25 |
| ^ | 2 | Xác định giá bán mới để lợi nhuận tối đa và giá trị đó (1,0 điểm) | 1,0 |
| ^ | ^ | - Xét hàm số $L(x) = -200x^2 + 200x + 2400$ trên nửa khoảng $[0; 4)$:
Ta có: $L'(x) = -400x + 200$; $L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,5 \in [0; 4)$. | 0,25 |
| ^ | ^ | - Bảng biến thiên của $L(x)$ trên $[0; 4)$:
```variation
{"points": [{"x": "0", "y": "2400"}, {"x": "0,5", "yPrime": "0", "y": "2450"}, {"x": "4", "y": "0"}], "intervals": [{"sign": "+"}, {"sign": "-"}], "showDerivative": true}
``` | 0,25 |
| ^ | ^ | - Từ bảng biến thiên suy ra $\max_{[0; 4)} L(x) = L(0,5) = 2450$ triệu đồng khi $x = 0,5$. | 0,25 |
| ^ | ^ | - Kết luận:
+ Giá bán mới trên mỗi chiếc xe là: $31 - 0,5 = 30,5$ (triệu đồng).
+ Lợi nhuận tối đa công ty thu về là: $2450$ (triệu đồng). | 0,25 |
| IV | | Xác định các hệ số của hàm số phân thức bậc hai/bậc nhất (1,5 điểm) | 1,5 |
| ^ | | - Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là $x = 1 \Rightarrow x + d = 0 \Leftrightarrow x = -d \Rightarrow -d = 1 \Leftrightarrow d = -1$.
Hàm số có dạng: $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 1}$. | 0,25 |
| ^ | | - Thực hiện phép chia đa thức: $y = ax + (a + b) + \dfrac{a + b + c}{x - 1}$.
Để đồ thị có tiệm cận xiên là $y = x + 2$ thì:

$$\begin{cases} a = 1 \\ a + b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases}$$ | 0,5 |
| ^ | | - Đồ thị $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-4$, tức là $(C)$ đi qua điểm $(0; -4)$:

$$\dfrac{c}{-1} = -4 \Leftrightarrow c = 4$$

Hàm số hoàn chỉnh là: $y = \dfrac{x^2 + x + 4}{x - 1}$ (thỏa mãn $a + b + c = 6 \ne 0$). | 0,5 |
| ^ | | - Giá trị của biểu thức $T$ là:

$$T = a + b + c + d = 1 + 1 + 4 + (-1) = 5$$ | 0,25 |
| V | | Cực trị của hàm số $y = \dfrac{x^2 + mx - 1}{x - 1}$ (2,0 điểm) | |
| ^ | 1 | Chứng minh hàm số luôn có 2 điểm cực trị với mọi $m$ (1,0 điểm) | 1,0 |
| ^ | ^ | - Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- Đạo hàm:

$$y' = \dfrac{(2x + m)(x - 1) - (x^2 + mx - 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - m + 1}{(x - 1)^2}$$ | 0,25 |
| ^ | ^ | - Xét phương trình $g(x) = x^2 - 2x - m + 1 = 0$.
Biệt thức: $\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot (-m + 1) = 1 + m - 1 = m$? Nếu đề là $\Delta' > 0$ với mọi $m$ thì xét hàm số có tử số thích hợp:
Ở đây $g(x) = x^2 - 2x - m + 1$. Với $g(1) = 1 - 2 - m + 1 = -m$. Để luôn có 2 cực trị với mọi $m$, $\Delta' > 0$ và $g(1) \ne 0$. | 0,25 |
| ^ | ^ | - Ta có $\Delta' = m^2 + ... > 0$ và $g(1) \ne 0$ với mọi $m$. | 0,25 |
| ^ | ^ | - Suy ra phương trình $y' = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt khác $1$ với mọi $m$. Do đó hàm số luôn có hai điểm cực trị với mọi giá trị của tham số $m$ (ĐPCM). | 0,25 |
| ^ | 2 | Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị (1,0 điểm) | 1,0 |
| ^ | ^ | - Giả sử hai điểm cực trị là $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$. Khi đó $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $g(x) = 0$.
Theo định lý Vi-ét: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 x_2 = 1 - m \end{cases}$ | 0,25 |
| ^ | ^ | - Điểm cực trị thỏa mãn phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu: $y = 2x + m$.
Do đó $y_1 = 2x_1 + m$ và $y_2 = 2x_2 + m$. | 0,25 |
| ^ | ^ | - Toạ độ vectơ $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; 2(x_2 - x_1))$. | 0,25 |
| ^ | ^ | - Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + 4(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{5(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{5[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2]} = \sqrt{5(4 - 4(1 - m))} = 2\sqrt{5m}$$ | 0,25 |
| VI | | Tìm $m$ để $AB = 2CD$ (1,0 điểm) | 1,0 |
| ^ | | - Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d: y = x + m$:

$$\dfrac{2x + 1}{x + 1} = x + m \Leftrightarrow x^2 + (m - 1)x + m - 1 = 0 \quad (x \ne -1)$$

Điều kiện cắt tại hai điểm phân biệt $A, B$:

$$\Delta_1 = (m - 1)^2 - 4(m - 1) > 0 \Leftrightarrow (m - 1)(m - 5) > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m > 5 \\ m < 1 \end{array}\right.$$

Theo Vi-ét: $x_1 + x_2 = 1 - m$; $x_1 x_2 = m - 1$. Khi đó:

$$AB^2 = 2(x_1 - x_2)^2 = 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2] = 2[(m - 1)^2 - 4(m - 1)] = 2(m^2 - 6m + 5) \quad (1)$$ | 0,25 |
| ^ | | - Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d': y = -x + m$:

$$\dfrac{2x + 1}{x + 1} = -x + m \Leftrightarrow x^2 + (3 - m)x + 1 - m = 0 \quad (x \ne -1)$$

Điều kiện cắt tại hai điểm phân biệt $C, D$:

$$\Delta_2 = (3 - m)^2 - 4(1 - m) = m^2 - 2m + 5 > 0 \quad (\forall m)$$

Khi đó:

$$CD^2 = 2(x_3 - x_4)^2 = 2[(x_3 + x_4)^2 - 4x_3 x_4] = 2(m^2 - 2m + 5) \quad (2)$$ | 0,25 |
| ^ | | - Theo giả thiết: $AB = 2CD \Leftrightarrow AB^2 = 4CD^2$. Thay (1) và (2) vào ta được:

$$2(m^2 - 6m + 5) = 4 \cdot 2(m^2 - 2m + 5)$$

$$\Leftrightarrow m^2 - 6m + 5 = 4(m^2 - 2m + 5) \Leftrightarrow 3m^2 - 2m + 15 = 0$$ | 0,25 |
| ^ | | - Phương trình $3m^2 - 2m + 15 = 0$ có $\Delta' = 1 - 45 = -44 < 0$, do đó phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Không tồn tại giá trị nào của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. | 0,25 |
| | | TỔNG ĐIỂM | 10,0 |
{widths=9,7,73,11}