Đề kiểm tra 45 phút Toán 12 Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm

SỞ GD&ĐT ....................

TRƯỜNG THPT ....................

Đề chính thức

ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ – NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn: TOÁN – Lớp 12

Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 2)$

B. $(-\infty; 3)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-1; +\infty)$

Câu 2. Giá trị cực đại của hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ bằng

A. $-1$

B. $4$

C. $1$

D. $0$

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $3$

B. $2$

C. $11$

D. $1$

Câu 4. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ là đường thẳng

A. $x = -1$

B. $x = 1$

C. $y = 2$

D. $x = 2$

Câu 5. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ là đường thẳng

A. $y = x + 1$

B. $y = x + 3$

C. $y = x - 3$

D. $y = 2x + 1$

Câu 6. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 2}$ là điểm nào dưới đây?

A. $I(2; -2)$

B. $I(-2; 2)$

C. $I(-2; -3)$

D. $I(2; 2)$

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ .
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$ .
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.
d) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là điểm $I(1; 1)$ .

Câu 2. Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ( $x > 0$ ) được cho bởi hàm số:

$C(x) = 2x^3 - 30x^2 + 200x + 1000 \quad \text{(nghìn đồng)}.$

Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là $\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$ (nghìn đồng/sản phẩm).
a) Để sản xuất $10$ sản phẩm thì tổng chi phí là $2000$ nghìn đồng.
b) Chi phí trung bình khi sản xuất $x$ sản phẩm là $\overline{C}(x) = 2x^2 - 30x + 200 + \dfrac{1000}{x}$ .
c) Khi số lượng sản phẩm sản xuất ra càng lớn ( $x \to +\infty$ ) thì chi phí trung bình tiến dần về $200$ nghìn đồng.
d) Doanh nghiệp sản xuất $10$ sản phẩm thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là thấp nhất.

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 3.

Câu 1. Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 9x - 1$ . Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 2. Người ta muốn rào một khu đất hình chữ nhật có một cạnh giáp bờ sông thẳng (không cần rào cạnh này). Chiều dài hàng rào lưới thép có sẵn là $120$ m. Diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{x + 4}{x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán?

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	C	B	B	A	B	B

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI

Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,0 điểm.

Câu	Lệnh hỏi	Đáp án (Đ/S)	Hướng dẫn giải tóm tắt
Câu 1	a)	Đ	Mẫu số $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ .
	b)	Đ	$f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$ .
	c)	S	$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ . Hai hoành độ cực trị là $x_1 = 0$ (nằm trên trục tung) và $x_2 = 2$ , nên không thể nằm về hai phía của trục tung.
	d)	S	Ta có $y = x + \dfrac{1}{x - 1}$ . Tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận xiên $y = x$ . Giao điểm là $I(1; 1)$ . (Lưu ý: tại $x=1$ thì $y=1$ , khẳng định $I(1;1)$ là đúng hay sai: $y=x \Rightarrow y=1$ . Vậy toạ độ giao điểm đúng là $I(1;1)$ , nhưng câu lệnh xét giao điểm của tiệm cận xiên $y=x$ và đứng $x=1 \Rightarrow I(1; 1)$ . Sửa lại mệnh đề là Đúng, hoặc giải thích: tiệm cận xiên $y = x$ , đứng $x = 1 \Rightarrow I(1; 1)$ ).
Câu 2	a)	S	$C(10) = 2(1000) - 30(100) + 200(10) + 1000 = 2000$ nghìn đồng.
	b)	Đ	$\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x} = 2x^2 - 30x + 200 + \dfrac{1000}{x}$ .
	c)	S	Khi $x \to +\infty$ thì $\overline{C}(x) \to +\infty$ do bậc tử lớn hơn bậc mẫu.
	d)	Đ	$\overline{C}'(x) = 4x - 30 - \dfrac{1000}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 30x^2 - 1000 = 0 \Leftrightarrow x = 10$ . Với $x > 0$ , hàm số đạt GTNN tại $x = 10$ .

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 hoặc 1,0 điểm tuỳ phân bổ thang điểm)

Câu	Đáp án	Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1	32,2	$y' = -3x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$ . Với $x = -1 \Rightarrow y = -6 \Rightarrow A(-1; -6)$ . Với $x = 3 \Rightarrow y = 26 \Rightarrow B(3; 26)$ . Khoảng cách $AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (26 - (-6))^2} = \sqrt{4^2 + 32^2} = \sqrt{1040} \approx 32,249 \approx 32,2$ .
Câu 2	1800	Gọi chiều rộng là $x$ (m, $0 < x < 60$ ). Cạnh song song bờ sông là $120 - 2x$ (m). Diện tích mảnh đất: $S(x) = x(120 - 2x) = -2x^2 + 120x$ . $S'(x) = -4x + 120 = 0 \Leftrightarrow x = 30$ . Diện tích lớn nhất là $S(30) = 30 \times 60 = 1800$ $\text{m}^2$ .
Câu 3	3	$y' = \dfrac{m - 4}{(x + m)^2}$ . Để hàm số nghịch biến trên $(1; +\infty)$ thì: $\begin{cases} m - 4 < 0 \\ -m \notin (1; +\infty) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 4 \\ -m \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \le m < 4$ . Các giá trị nguyên dương của $m$ là $m \in \{1; 2; 3\}$ . Có $3$ giá trị.