Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm học 2026 – 2027

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 12. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Một hộp có $6$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt $3$ viên bi không hoàn lại. Biết rằng trong $3$ viên lấy ra có đúng $2$ viên bi đỏ. Xác suất để viên bi xanh được lấy ở lần thứ ba bằng

Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+2)^2(x-1)(x-3)^3$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Hàm số $g(x)=f(x^2)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log_2(x^2-2x+m)=1$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0;4)$?

Câu 4. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=3$ và $u_{n+1}=u_n^2-2u_n+2$ với mọi $n\geq 1$. Giá trị của $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{u_k-1}$ bằng

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;2)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Câu 6. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f(x)=m$ có ba nghiệm thực phân biệt?

Câu 7. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Xác suất để số được chọn chia hết cho $5$ và có tổng các chữ số bằng $14$ là

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(1;-2;1)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-5=0$ có bán kính bằng

Câu 9. Phương trình $\dfrac{\sin 2x}{1-\cos x}=0$ có tập nghiệm là

Câu 10. Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm bằng

Câu 11. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng $24\pi$ cm². Thể tích lớn nhất của khối trụ đó bằng

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=x^3-3mx^2+3(m+2)x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=\log_2\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}\right)$.
a) Tập xác định của hàm số là $(-1;+\infty)$.
b) Với mọi $x>-1$, ta có $f'(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{(x^2+1)(x+1)\ln 2}$.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;\sqrt{2}-1)$.
d) Phương trình $f(x)=1$ có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;2)$ và $M(1;1;1)$.
a) Tam giác $ABC$ đều.
b) Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình $x+y+z-2=0$.
c) Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
d) Mặt cầu đi qua bốn điểm $O$, $A$, $B$, $C$ có bán kính bằng $3$.

Câu 3. Một cơ sở sản xuất hai loại sản phẩm $A$ và $B$. Mỗi sản phẩm loại $A$ cần $2$ giờ gia công và $1$ kg nguyên liệu; mỗi sản phẩm loại $B$ cần $1$ giờ gia công và $2$ kg nguyên liệu. Cơ sở có không quá $100$ giờ gia công và không quá $80$ kg nguyên liệu. Lợi nhuận của mỗi sản phẩm loại $A$ và loại $B$ lần lượt là $40$ nghìn đồng và $50$ nghìn đồng. Gọi $x$, $y$ lần lượt là số sản phẩm loại $A$, loại $B$ được sản xuất; giả sử toàn bộ sản phẩm đều được bán hết.
a) Các điều kiện về thời gian và nguyên liệu là $2x+y\leq 100$ và $x+2y\leq 80$.
b) Phương án $x=40$, $y=20$ thỏa mãn các điều kiện sản xuất.
c) Lợi nhuận ứng với phương án $x=40$, $y=20$ là $2,6$ triệu đồng.
d) Lợi nhuận lớn nhất cơ sở có thể thu được là $3$ triệu đồng.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=x^4-2mx^2+m^2-1$, với $m$ là tham số thực.
a) Với mọi $m$, ta có $f(x)=(x^2-m)^2-1$.
b) Khi $m>0$, hàm số có ba điểm cực trị.
c) Khi $m=2$, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
d) Có đúng hai giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=3^x-3^{-x}+x^3$. Tìm giá trị nguyên của $m$ để tập nghiệm của bất phương trình

$$f\left(\sqrt{\log_2 x}\,(\log_2 x+1)\right)+f\left(-(m+1)\sqrt{\log_2 x}\right)\leq 0$$

chứa đúng $16$ số nguyên.

Câu 2. Một mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tự học mỗi tuần của $80$ học sinh được cho trong bảng sau:

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(5;4;1)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(P):x+y+z=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 4. Một bể nước không nắp có đáy là hình vuông và thể tích bằng $32$ m³. Chi phí làm mỗi mét vuông đáy bể là $600$ nghìn đồng, còn chi phí làm mỗi mét vuông thành bể là $300$ nghìn đồng. Tính chi phí nhỏ nhất để làm bể, theo đơn vị triệu đồng.

Câu 5. Ba số nguyên $a$, $b$, $c$ được chọn độc lập, ngẫu nhiên từ tập $\{-3;-2;-1;1;2;3\}$. Tính xác suất để phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 6. Một xe cứu hộ đi từ điểm $A$ đến điểm $B$ trên bãi cát, với $AB=80$ km. Có một con đường thẳng song song với $AB$ và cách $AB$ một khoảng $12$ km. Xe đi trên cát với vận tốc $30$ km/h và trên đường với vận tốc $50$ km/h. Xe đi từ $A$ đến một điểm trên đường, chạy trên đường một quãng rồi rời đường để đến $B$. Tính thời gian di chuyển ngắn nhất, theo đơn vị giờ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................