Đề khảo sát chất lượng Toán 12 - Mã đề 101 và 102

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 2. Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 5$ trên đoạn $[0; 3]$. Tính tổng $S = M + m$.

Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$, lấy các điểm $M, N$ lần lượt thuộc cạnh $AB, CD$ sao cho $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Đặt $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$. Giá trị của $k$ để $\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{AC'}$ là

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2; -3; 5)$. Toạ độ hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là

Câu 6. Một trạm kiểm lâm ghi lại độ tuổi (đơn vị: năm) của $20$ cây gỗ quý trong khu bảo tồn thu được kết quả như sau:

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu là

Câu 7. Một lớp học ghi lại điểm kiểm tra định kỳ của $40$ học sinh với bảng tần số ghép nhóm như sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây?

Câu 8. Tìm tập giá trị của hàm số $y = 3\sin 2x - 4\cos 2x + 1$.

Câu 9. Số nghiệm của phương trình $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là

Câu 10. Cho ba số $x, 6, 18$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Giá trị của $x$ bằng

Câu 11. Một đường tròn có bán kính bằng $10\text{ cm}$. Độ dài của cung tròn có số đo $72^\circ$ bằng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA \perp (ABC)$. Biết $AB = a, BC = a\sqrt{3}, SA = a$. Số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$ bằng

Câu 13. Một bồn chứa xăng dầu gồm phần thân ở giữa là hình trụ có chiều dài $h$ mét ($h > 0$) và hai đầu là hai nửa hình cầu bán kính $r$ mét ($r > 0$). Biết tổng thể tích của bồn là $36\pi\text{ m}^3$. Chi phí sơn mặt ngoài của hai đầu bán cầu là $150\,000\text{ đồng/m}^2$, chi phí sơn mặt ngoài phần thân hình trụ là $100\,000\text{ đồng/m}^2$. Để chi phí sơn toàn bộ mặt ngoài là nhỏ nhất thì bán kính $r$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

Câu 14. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_2(x^2 - 3x) \le 2$ bằng

Câu 15. Cho $\log_2 3 = a$ và $\log_5 2 = b$. Biểu diễn $\log_{10} 15$ theo $a$ và $b$ ta được

Câu 16. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao $SO = a$. Cosin của góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ bằng

Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 6; 7)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho tam giác $MAB$ có chu vi nhỏ nhất. Toạ độ điểm $M$ là

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 4m^3$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $4$?

Câu 19. Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = BC = 2a$. Góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$. Thể tích khối chóp $A'.ABC$ bằng

Câu 20. Cho tập hợp $S = \{1; 2; 3; \dots; 20\}$. Chọn ngẫu nhiên một tập con gồm $3$ phần tử của $S$. Xác suất để tổng của $3$ số được chọn là một số chia hết cho $3$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Một trường THPT tổ chức bài kiểm tra năng lực môn Toán cho hai lớp $12A$ và $12B$, điểm số được thu thập theo bảng tần số ghép nhóm sau:

a) Điểm trung bình của học sinh lớp $12B$ cao hơn điểm trung bình của học sinh lớp $12A$.
b) Nhóm chứa mốt của lớp $12A$ là $[6; 7)$ và của lớp $12B$ là $[7; 8)$.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu lớp $12A$ lớn hơn khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu lớp $12B$.
d) Lớp $12A$ có độ lệch chuẩn nhỏ hơn lớp $12B$, chứng tỏ học sinh lớp $12A$ đạt kết quả đồng đều hơn.

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $D(0; 4; 0)$ và $A'(0; 0; 5)$.
a) Toạ độ đỉnh $C'$ của hình hộp là $(3; 4; 5)$.
b) Độ dài đường chéo $AC' = 5\sqrt{2}$.
c) Toạ độ trọng tâm của tam giác $A'BD$ là $\left(1; \dfrac{4}{3}; \dfrac{5}{3}\right)$.
d) Điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho $MA^2 + MB^2 + MD^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M$ có toạ độ là $(0; 0; 0)$.

Câu 3. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận xiên là $y = x$.
b) Điểm cực đại của hàm số là $x = 0$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 3$.
c) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
d) Tiếp tuyến bất kỳ của $(C)$ tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi bằng $2$.

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = BC = a\sqrt{2}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = 2a$.
a) Đoạn thẳng $AC = 2a$.
b) Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$.
c) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$.
d) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\dfrac{2a^3}{3}$.

Câu 5. Một hộp đựng $12$ quả cầu gồm $5$ quả màu đỏ được đánh số từ $1$ đến $5$, $4$ quả màu xanh được đánh số từ $1$ đến $4$ và $3$ quả màu vàng được đánh số từ $1$ đến $3$. Chọn ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả cầu.
a) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 220$.
b) Xác suất để chọn được $3$ quả cầu có đủ cả ba màu là $\dfrac{3}{11}$.
c) Xác suất để chọn được $3$ quả cầu có cùng số là $\dfrac{3}{220}$.
d) Xác suất để tổng các số ghi trên $3$ quả cầu là một số chẵn bằng $\dfrac{119}{220}$.

Câu 6. Cho hàm số $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$.
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}$.
b) Bất phương trình $f'(x) \le 0$ có tập nghiệm là $(-\infty; 2]$.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $1$.
d) Có đúng $3$ giá trị nguyên của tham số $m \in [-5; 5]$ để phương trình $f(x) = m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có thể tích bằng $72\text{ cm}^3$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SA$, $N$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $SN = 2NB$, và $P$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $SP = 3PC$. Tính thể tích khối chóp $S.MNP$ (theo đơn vị $\text{cm}^3$).

Câu 2. Cho đa giác đều có $18$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên $4$ đỉnh của đa giác. Biết xác suất để $4$ đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật có dạng $\dfrac{a}{b}$, với $a, b \in \mathbb{N}^*$ và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T = a + b$.

Câu 3. Một quả tên lửa mô hình được phóng lên từ mặt đất, quỹ đạo bay được mô tả bởi một parabol trong hệ toạ độ $Oxy$ với mặt đất là trục $Ox$, phương trình $y = -\dfrac{1}{10}x^2 + 4x$ (đơn vị trên hai trục là mét). Điểm phóng đặt tại gốc $O(0; 0)$. Tính khoảng cách từ điểm rơi của tên lửa về lại điểm phóng (theo đơn vị mét).

Câu 4. Một thiết bị bay không người lái (drone) xuất phát từ điểm $A(10; 20; 0)$ trên mặt đất, bay thẳng đều lên điểm $B(10; 20; 30)$, sau đó bay theo đường thẳng đến điểm $C(40; 60; 50)$ để thực hiện nhiệm vụ khảo sát (các toạ độ tính bằng mét). Tính tổng quãng đường drone đã di chuyển từ điểm xuất phát đến điểm $C$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 5. Cho các số thực dương $x, y$ thoả mãn $\log_2(x + 2y) = 2\log_4 x + \log_2 y$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x^2}{1 + 4y} + \dfrac{4y^2}{1 + x}$ có dạng $\dfrac{m}{n}$ với $m, n \in \mathbb{N}^*$ và $\dfrac{m}{n}$ tối giản. Tính $m + n$.

Câu 6. Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x + 1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-20; 20]$ để phương trình $f(|x|) = m$ có đúng $4$ nghiệm thực phân biệt?

--------- HẾT ĐỀ 101 ---------

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

[Đồ thị]

Câu 2. Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 10$ trên đoạn $[0; 3]$. Tính giá trị của biểu thức $P = M - m$.

Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD$. Điểm $P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AC'}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA'}$ ta được:

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-4; 2; 7)$. Toạ độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục $Oy$ là

Câu 6. Một cơ sở chăn nuôi ghi nhận khối lượng (đơn vị: kg) của $24$ con bê khi sinh ra theo bảng tần số ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị $M_e$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Câu 7. Đo chiều cao (đơn vị: cm) của $30$ cây giống trong vườn ươm ta thu được bảng số liệu sau:

Độ lệch chuẩn $s$ của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng

Câu 8. Tìm tập giá trị của hàm số $y = 6\cos x - 8\sin x - 3$.

Câu 9. Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[-\pi; \pi]$ của phương trình $\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 10. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = -2$. Số hạng thứ tư $u_4$ bằng

Câu 11. Một bánh xe có bán kính $R = 25\text{ cm}$. Khi bánh xe quay được một góc $135^\circ$ thì quãng đường một điểm trên vành bánh xe di chuyển được bằng (làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $SA \perp (ABC)$ và $SA = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Số đo góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$ bằng

Câu 13. Một bồn kim loại chứa hóa chất lỏng có dạng hình trụ đứng với hai đầu bịt kín, thể tích chứa yêu cầu bằng $54\pi\text{ m}^3$. Biết chi phí sản xuất phần nắp trên và đáy dưới là $300\,000\text{ đồng/m}^2$, chi phí làm thành bên xung quanh là $200\,000\text{ đồng/m}^2$. Để tổng chi phí vật liệu làm bồn là thấp nhất, bán kính đáy $r$ của hình trụ bằng bao nhiêu mét?

Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x) \ge -1$ là

Câu 15. Cho $\log_3 5 = a$ và $\log_3 2 = b$. Biểu diễn $\log_{15} 12$ theo $a$ và $b$ ta được

Câu 16. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, góc giữa mặt bên và đáy bằng $60^\circ$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; 1; 4)$ và $B(4; 5; 2)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho biểu thức $MA^2 + MB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất có toạ độ là

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để đồ thị hàm số $y = x^4 - 2mx^2 + 2m - 1$ có $3$ điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn hơn $1$?

Câu 19. Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a, AC = a\sqrt{3}$. Mặt phẳng $(A'BC)$ tạo với mặt đáy $(ABC)$ một góc $60^\circ$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

Câu 20. Cho tập hợp $X = \{1; 2; 3; \dots; 25\}$. Chọn ngẫu nhiên $2$ số khác nhau từ $X$. Xác suất để tích của $2$ số được chọn là một số chẵn bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Kết quả khảo sát điểm thi môn Toán giữa học kì I của hai lớp $12C$ và $12D$ được cho trong bảng sau:

a) Số học sinh đạt điểm giỏi (từ $8$ điểm trở lên) của hai lớp bằng nhau.
b) Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của lớp $12D$ thuộc nhóm $[5; 7)$.
c) Điểm trung bình của học sinh lớp $12D$ cao hơn học sinh lớp $12C$.
d) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu lớp $12C$ lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu lớp $12D$.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(1; 1; 2)$, $B(4; 1; 2)$, $D(1; 5; 2)$, $A'(1; 1; 6)$.
a) Toạ độ đỉnh $C$ của hình hộp là $(4; 5; 2)$.
b) Tâm $I$ của hình hộp chữ nhật có toạ độ là $\left(\dfrac{5}{2}; 3; 4\right)$.
c) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật bằng $\sqrt{41}$.
d) Vectơ $\overrightarrow{B'D} = (-3; 4; -4)$.

Câu 3. Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$ là $x = -1$.
b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$.
c) Hàm số đạt cực đại tại $x = -2$ và giá trị cực đại bằng $-2$.
d) Khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường tiệm cận xiên của $(C)$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$.
a) $BD \perp SC$.
b) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ bằng $45^\circ$.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ bằng $a\sqrt{3}$.
d) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

Câu 5. Một hộp đựng $15$ tấm thẻ được đánh số thứ tự từ $1$ đến $15$. Rút ngẫu nhiên đồng thời $3$ thẻ.
a) Số cách rút ra $3$ tấm thẻ là $455$.
b) Xác suất để rút được $3$ tấm thẻ đều ghi số chia hết cho $3$ là $\dfrac{2}{91}$.
c) Xác suất để tích các số ghi trên $3$ thẻ rút được là số lẻ bằng $\dfrac{8}{65}$.
d) Xác suất để tổng các số ghi trên $3$ tấm thẻ chia hết cho $3$ lớn hơn $0,35$.

Câu 6. Cho hàm số $f(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 2x}$.
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = (2x - 2)\mathrm{e}^{x^2 - 2x}$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $1$.
d) Bất phương trình $f(x) \le \mathrm{e}^3$ có tập nghiệm là đoạn $[-1; 3]$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có thể tích bằng $120\text{ cm}^3$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$. Tính thể tích của khối chóp $S.MNPQ$ (theo đơn vị $\text{cm}^3$).

Câu 2. Một đa giác đều $20$ đỉnh nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh của đa giác. Tính xác suất để $3$ đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 3. Một quả bóng đá được sút lên từ mặt đất, quỹ đạo của bóng bay theo một đường cong parabol $y = -\dfrac{1}{8}x^2 + 2x$ (đơn vị đo trên các trục là mét), trong đó $Ox$ nằm trên mặt đất. Tính độ cao cực đại mà quả bóng đạt được so với mặt đất (theo đơn vị mét).

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, một khinh khí cầu chuyển động đều từ vị trí $A(100; 200; 300)$ đến vị trí $B(400; 600; 300)$ mất đúng $10$ phút (toạ độ tính theo mét). Tính tốc độ trung bình của khinh khí cầu theo đơn vị $\text{m/s}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 5. Cho các số thực dương $a, b$ thoả mãn $\log_3(a + 3b) = 2\log_9 a + \log_3 b$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \dfrac{a^2}{1 + 3b} + \dfrac{9b^2}{1 + a}$ có dạng $\dfrac{p}{q}$ với $p, q \in \mathbb{N}^*$ và $\dfrac{p}{q}$ tối giản. Tính $p + q$.

Câu 6. Cho hàm số bậc ba $y = g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-15; 15]$ để phương trình $g(|x|) = m$ có đúng $3$ nghiệm thực phân biệt?

--------- HẾT ĐỀ 102 ---------