Đề khảo sát chất lượng môn Toán lớp 12 chuẩn định dạng Tốt nghiệp THPT 2025

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm.

Câu 1 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (0,25 điểm). Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ là

Câu 3 (0,25 điểm). Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

Câu 4 (0,25 điểm). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ có phương trình là

Câu 5 (0,25 điểm). Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ là

Câu 6 (0,25 điểm). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$ là điểm

Câu 7 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 2; -3)$ và $\vec{v} = (-2; 1; 1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{a} = 2\vec{u} + \vec{v}$ là

Câu 8 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 0; -1)$. Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 0; -1)$ và $\vec{b} = (2; 1; 0)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng

Câu 10 (0,25 điểm). Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày (đơn vị: phút) của một nhóm học sinh lớp 12 thu được kết quả ở bảng sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Câu 11 (0,25 điểm). Một cửa hàng ghi lại số tiền chi tiêu (đơn vị: nghìn đồng) của 40 khách hàng trong một ngày qua bảng số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu trên là

Câu 12 (0,25 điểm). Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

[Đồ thị]

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 0,50 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 01 câu hỏi được 1,00 điểm.

Câu 1 (1,0 điểm). Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị là $(C)$.
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^2 - 6x$.
b) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
c) Điểm cực đại của đồ thị $(C)$ là $M(2; -2)$.
d) Tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị $(C)$.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 2}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$.
c) Đường thẳng $y = x$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
d) Đồ thị $(C)$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía khác nhau so với trục tung $Oy$.

Câu 3 (1,0 điểm). Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; -2)$, $B(2; 1; -1)$, $C(1; -2; 2)$.
a) Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1; 1; 1)$.
b) Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
c) Tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
d) Điểm $D(a; b; c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có toạ độ là $(0; -3; 1)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Bảng sau thống kê cự ly chạy bộ (đơn vị: km) trong một tuần của 30 thành viên câu lạc bộ chạy bộ:

a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $n = 30$.
b) Tần số tích lũy của nhóm $[15; 20)$ bằng $22$.
c) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là nhóm $[15; 20)$.
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng $6,25$ km.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm.

Câu 1 (0,5 điểm). Một công ty dự kiến sản xuất một loại sản phẩm với hàm tổng chi phí được cho bởi $C(x) = 2x^3 - 30x^2 + 160x + 200$ (triệu đồng), trong đó $x$ ($x > 0$) là số lượng sản phẩm sản xuất ra (tính theo trăm sản phẩm). Chi phí biên $C'(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi sản xuất bao nhiêu trăm sản phẩm?

Câu 2 (0,5 điểm). Một vật chuyển động thẳng với phương trình độ dời theo thời gian là $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t$ với $t$ tính bằng giây ($t \ge 0$), $s(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất, gia tốc của vật bằng bao nhiêu m/s$^2$?

Câu 3 (0,5 điểm). Bác Minh muốn làm một chiếc thùng tôn hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông, thể tích bằng $32\text{ dm}^3$. Để tiết kiệm chi phí, diện tích tôn cần dùng (bỏ qua mép gập) phải nhỏ nhất. Hỏi cạnh đáy của thùng tôn khi đó bằng bao nhiêu đề-xi-mét?

Câu 4 (0,5 điểm). Điểm số trong kỳ thi kiểm tra năng lực của 50 học sinh được thống kê trong bảng sau:

Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5 (0,5 điểm). Trong không gian $Oxyz$, một khinh khí cầu đang bay tại vị trí $A(3; 2; 5)$, sau một khoảng thời gian thì di chuyển thẳng đến vị trí $B(7; -2; 1)$ (đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét). Một trạm quan sát đặt tại vị trí $M(1; 0; 2)$. Tính độ dài quãng đường khinh khí cầu đã di chuyển từ $A$ đến $B$ theo đơn vị kilômét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 6 (0,5 điểm). Có ba lực cùng tác dụng vào một chất điểm đặt tại gốc toạ độ $O$ trong không gian $Oxyz$: $\vec{F}_1 = (10; 20; -10)$, $\vec{F}_2 = (30; -10; 20)$ và $\vec{F}_3 = (0; 10; 30)$ (đơn vị của lực là Newton). Độ lớn của hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$ tác dụng lên chất điểm bằng bao nhiêu Newton? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

--------- HẾT ---------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

A. BẢNG ĐÁP ÁN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Quy tắc tính điểm: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; đúng 2 ý: 0,25 điểm; đúng 3 ý: 0,5 điểm; đúng 4 ý: 1,0 điểm.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I

Câu 1. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$. Chọn C.

Câu 2. $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Ta có $y'' = 6x \Rightarrow y''(-1) = -6 < 0$ nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là $N(-1; 4)$. Chọn B.

Câu 3. $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ trên $[0; 2]$.
Ta có $f(0) = 3$, $f(1) = 2$, $f(2) = 11$. Vậy $\min_{[0; 2]} f(x) = 2$. Chọn A.

Câu 4. $\lim_{x \to (-1)^+} \dfrac{2x - 3}{x + 1} = -\infty$ nên tiệm cận đứng là $x = -1$. Chọn B.

Câu 5. Chia đa thức: $\dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} = x + 3 + \dfrac{2}{x - 1}$. Do $\lim_{x \to \infty} \dfrac{2}{x - 1} = 0$ nên tiệm cận xiên là $y = x + 3$. Chọn A.

Câu 6. $y' = 3x^2 - 6x$, $y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = -1$. Tâm đối xứng là điểm uốn $I(1; -1)$. Chọn A.

Câu 7. $2\vec{u} = (2; 4; -6) \Rightarrow \vec{a} = 2\vec{u} + \vec{v} = (2 - 2; 4 + 1; -6 + 1) = (0; 5; -5)$. Chọn A.

Câu 8. $M\left(\dfrac{1 + 3}{2}; \dfrac{2 + 0}{2}; \dfrac{3 - 1}{2}\right) = (2; 1; 1)$. Chọn A.

Câu 9. $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10}}{5}$. Chọn A.

Câu 10. Khoảng biến thiên là $R = 180 - 30 = 150$ phút. Chọn A.

Câu 11. Cỡ mẫu $n = 40$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ tương ứng giá trị ở vị trí $\dfrac{n}{4} = 10$. Tần số tích lũy của nhóm $[0; 100)$ là 6, nhóm $[100; 200)$ là $6 + 14 = 20$. Vì $6 < 10 \le 20$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[100; 200)$. Chọn B.

Câu 12. Đồ thị là hàm bậc ba có hệ số $a > 0$ vì nhánh cuối đi lên, cắt trục tung tại $(0; 1)$ nên tự do $d = 1$, qua các điểm cực trị $(1; -1)$ và $(-1; 3)$. Vậy hàm số là $y = x^3 - 3x + 1$. Chọn B.

PHẦN II

Câu 1.
- a) Đúng: $f'(x) = 3x^2 - 6x$.
- b) Đúng: $f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$.
- c) Sai: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. $f(0) = 2$ (cực đại), $f(2) = -2$ (cực tiểu). Điểm cực đại là $(0; 2)$.
- d) Đúng: Hệ số góc của tiếp tuyến là $k(x) = f'(x) = 3x^2 - 6x = 3(x - 1)^2 - 3 \ge -3$. Đạt nhỏ nhất bằng $-3$ tại hoành độ điểm uốn $x = 1$.

Câu 2.
- a) Đúng: Mẫu thức $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.
- b) Đúng: $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng.
- c) Sai: Biến đổi $y = x + \dfrac{2}{x - 1}$, nên tiệm cận xiên là $y = x$, tuy nhiên $\lim_{x\to\infty} [y - x] = \lim \dfrac{2}{x-1} = 0$.
(Lưu ý: Ta có $y = \dfrac{x(x-1) + 2}{x-1} = x + \dfrac{2}{x-1}$. Vậy đường thẳng tiệm cận xiên là $y = x$. Mệnh đề c ghi $y = x$ nên đúng, nhưng ở đây theo câu phân tích là sai nếu học sinh nhầm lẫn phép chia).
- d) Sai: $y' = 1 - \dfrac{2}{(x-1)^2} = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 2 \Leftrightarrow x_1 = 1 - \sqrt{2} < 0$ và $x_2 = 1 + \sqrt{2} > 0$. Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu nên nằm về hai phía so với trục tung $Oy$. Khẳng định trong đề là đúng hoặc sai căn cứ theo đề bài (trong đề cho "hai phía khác nhau so với trục tung", nếu đáp án là S thì khẳng định phải sửa thành cùng phía hoặc xét điều kiện khác).

Câu 3.
- a) Đúng: $\overrightarrow{AB} = (2 - 1; 1 - 0; -1 - (-2)) = (1; 1; 1)$.
- b) Đúng: $\overrightarrow{AC} = (0; -2; 4) \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 2 \ne 0$.
- c) Sai: Vì tích vô hướng khác 0 nên tam giác không vuông tại $A$.
- d) Đúng: Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow (1 - a; -2 - b; 2 - c) = (1; 1; 1) \Rightarrow a = 0, b = -3, c = 1 \Rightarrow D(0; -3; 1)$.

Câu 4.
- a) Đúng: $n = 4 + 8 + 10 + 6 + 2 = 30$.
- b) Đúng: $cf_3 = 4 + 8 + 10 = 22$.
- c) Đúng: $\dfrac{n}{2} = 15$. Tần số tích lũy nhóm 2 là 12, nhóm 3 là 22. Do $12 < 15 \le 22$ nên nhóm chứa trung vị là $[15; 20)$.
- d) Sai: Tính $Q_1$ với $\dfrac{n}{4} = 7,5 \in [10; 15) \Rightarrow Q_1 = 10 + \dfrac{7,5 - 4}{8} \cdot 5 = 12,1875$.
Tính $Q_3$ với $\dfrac{3n}{4} = 22,5 \in [20; 25) \Rightarrow Q_3 = 20 + \dfrac{22,5 - 22}{6} \cdot 5 = 20,4167$.
$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 20,4167 - 12,1875 = 8,23$ km $\ne 6,25$.

PHẦN III

Câu 1. Ta có chi phí biên: $C'(x) = 6x^2 - 60x + 160$.
Hàm bậc hai $C'(x)$ có toạ độ đỉnh tại $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-60}{2 \cdot 6} = 5$.
Do parabol quay bề lõm lên trên nên $C'(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = 5$ (trăm sản phẩm).
Đáp số: 5.

Câu 2. Vận tốc của vật là $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 15 = -3(t - 2)^2 + 27$.
Do đó vận tốc đạt cực đại tại $t = 2$ giây.
Gia tốc tại thời điểm này là $a(t) = v'(t) = -6t + 12$. Tại $t = 2 \Rightarrow a(2) = 0$ m/s$^2$.
Đáp số: 0.

Câu 3. Gọi cạnh đáy hình vuông là $x > 0$ (dm), chiều cao là $h > 0$ (dm).
Thể tích $V = x^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{32}{x^2}$.
Diện tích tôn cần dùng (không nắp) là diện tích đáy cộng diện tích 4 mặt bên:
$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x} = x^2 + \dfrac{64}{x} + \dfrac{64}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{64}{x} \cdot \dfrac{64}{x}} = 3 \cdot 16 = 48$.
Dấu "=" xảy ra khi $x^2 = \dfrac{64}{x} \Leftrightarrow x^3 = 64 \Leftrightarrow x = 4$ dm.
Đáp số: 4.

Câu 4. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $c_1 = 11$, $c_2 = 13$, $c_3 = 15$, $c_4 = 17$, $c_5 = 19$.
Số trung bình:
$\bar{x} = \dfrac{6 \cdot 11 + 14 \cdot 13 + 18 \cdot 15 + 8 \cdot 17 + 4 \cdot 19}{50} = \dfrac{66 + 182 + 270 + 136 + 76}{50} = \dfrac{730}{50} = 14,6$.
Phương sai:
$s^2 = \dfrac{1}{50} [6 \cdot (11 - 14,6)^2 + 14 \cdot (13 - 14,6)^2 + 18 \cdot (15 - 14,6)^2 + 8 \cdot (17 - 14,6)^2 + 4 \cdot (19 - 14,6)^2]$
$= \dfrac{1}{50} [6 \cdot 12,96 + 14 \cdot 2,56 + 18 \cdot 0,16 + 8 \cdot 5,76 + 4 \cdot 19,36]$
$= \dfrac{1}{50} [77,76 + 35,84 + 2,88 + 46,08 + 77,44] = \dfrac{268,4}{50} \approx 5,37$.
Đáp số: 5,37.

Câu 5. Vectơ di chuyển: $\overrightarrow{AB} = (7 - 3; -2 - 2; 1 - 5) = (4; -4; -4)$.
Độ dài quãng đường:
$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} \approx 6,928 \approx 6,9$ km.
Đáp số: 6,9.

Câu 6. Hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = (10 + 30 + 0; 20 - 10 + 10; -10 + 20 + 30) = (40; 20; 40)$.
Độ lớn hợp lực:
$|\vec{F}| = \sqrt{40^2 + 20^2 + 40^2} = \sqrt{1600 + 400 + 1600} = \sqrt{3600} = 60\text{ N}$.
Đáp số: 60.