ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN 12 - THEO ĐỊNH DẠNG TỐT NGHIỆP THPT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

Câu 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 2}{x + 1}$ là đường thẳng có phương trình:

Câu 3. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

[Đồ thị]

Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$ trên đoạn $[-2; 2]$ bằng:

Câu 5. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Số hạng thứ $5$ của cấp số cộng đã cho bằng:

Câu 6. Nghiệm của phương trình $\cos x = \dfrac{1}{2}$ là:

Câu 7. Giới hạn $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}$ bằng:

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt{3}$.

[Hình vẽ]

Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng:

Câu 9. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(3; 4; -1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (2; -1; 2)$ và $\vec{v} = (1; 2; -2)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng:

Câu 12. Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra trực tuyến của một nhóm học sinh lớp 12 được thống kê ở bảng sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$ với mọi $x \ne 1$.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$.
d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $1$.

Câu 2. Mực nước $h$ (tính bằng mét) tại một cảng biển trong một ngày $(0 \le t \le 24)$ được mô hình hóa bởi công thức:

$$h(t) = 4 + 2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$$

trong đó $t$ (giờ) là thời gian tính từ lúc $0$ giờ sáng $(t = 0)$.
a) Lúc $0$ giờ sáng, mực nước tại cảng biển là $6$ m.
b) Tốc độ thay đổi mực nước tại thời điểm $t$ được tính bởi công thức $h'(t) = -2\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ (m/giờ).
c) Lần đầu tiên trong ngày mực nước tại cảng xuống thấp nhất là vào lúc $6$ giờ sáng.
d) Một tàu chở hàng chỉ có thể ra vào cảng an toàn khi mực nước tại cảng đạt ít nhất $5$ m. Trong khoảng thời gian từ $0$ giờ đến $12$ giờ trưa, tổng thời gian tàu có thể ra vào cảng an toàn là $4$ giờ.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một đài kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$. Hai thiết bị bay không người lái (drone) $A$ và $B$ đang hoạt động tại các vị trí có tọa độ lần lượt là $A(2; 6; 3)$ và $B(5; 0; 6)$.
a) Khoảng cách từ thiết bị bay $A$ đến đài kiểm soát không lưu $O$ bằng $7$ km.
b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(3; 6; 3)$.
c) Một thiết bị bay thứ ba tại vị trí $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $MB = 2MA$ có tọa độ là $M(3; 4; 4)$.
d) Trên mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$), người ta đặt một trạm tiếp sóng tại vị trí $N$ sao cho tổng khoảng cách từ $N$ đến hai thiết bị bay $A$ và $B$ là nhỏ nhất. Khi đó trạm tiếp sóng $N$ cách đài kiểm soát không lưu $O$ một khoảng bằng $6$ km.

Câu 4. Khảo sát quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của một nhóm người cao tuổi tập dưỡng sinh tại công viên, người ta thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = 6$.
b) Quãng đường đi bộ trung bình mỗi ngày của nhóm người cao tuổi được khảo sát là $3,5$ km.
c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $Q_1 = 2,5$.
d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $s^2 = 1,2$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 (0,5 điểm). Tại một trạm nghiên cứu sinh thái, hệ thống pin năng lượng mặt trời bắt đầu nạp điện vào tổ hợp ắc quy lưu trữ từ lúc $6$ giờ sáng. Biết rằng lúc $6$ giờ sáng, trong ắc quy đang có sẵn $29$ kWh điện năng. Trong khoảng thời gian từ $6$ giờ sáng đến $18$ giờ chiều cùng ngày, tổng lượng điện năng lưu trữ trong ắc quy sau $t$ giờ kể từ lúc $6$ giờ sáng ($0 \le t \le 12$) được mô hình hóa bởi hàm số $E(t) = -t^3 + 18t^2 + 35t + 29$ (đơn vị: kWh). Biết công suất nạp điện tức thời của hệ thống tại thời điểm $t$ được xác định bởi $P(t) = E'(t)$ (đơn vị: kW). Hỏi vào thời điểm công suất nạp điện tức thời đạt giá trị lớn nhất trong ngày, tổng lượng điện năng đang lưu trữ trong ắc quy là bao nhiêu kWh?

Câu 2 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 5$, $AD = 3$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 4$.

[Hình vẽ]

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $SC$.

Câu 3 (0,5 điểm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10; 10]$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (2m + 3)x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Câu 4 (0,5 điểm). Một tàu khảo sát thủy văn tự hành di chuyển ngược dòng nước từ cửa biển vào một trạm quan trắc nằm cách đó $20$ km. Biết vận tốc dòng nước chảy ngược chiều tàu không đổi và bằng $4$ km/h. Khi tàu chạy với vận tốc so với mặt nước là $v$ (km/h, với $v > 4$), công suất tiêu thụ điện năng của hệ thống động cơ trên tàu được xác định bởi công thức $P(v) = 0,25v^3$ (đơn vị: kW). Biết tổng điện năng tiêu thụ (đơn vị: kWh) trong một hành trình bằng tích của công suất tiêu thụ $P(v)$ và thời gian di chuyển (đơn vị: giờ). Tính tổng điện năng tiêu thụ nhỏ nhất (đơn vị: kWh) mà tàu cần sử dụng để hoàn thành hành trình trên.

Câu 5 (0,5 điểm). Trong kỹ thuật năng lượng tái tạo, khi một luồng gió tự nhiên có vận tốc $12$ m/s thổi vuông góc vào mặt phẳng cánh quạt của một tuabin điện gió ngoài khơi, cánh quạt sẽ thu giữ một phần động năng làm vận tốc luồng gió ngay tại mặt phẳng cánh quạt giảm xuống còn $x$ (m/s), với $0 < x < 12$. Theo cơ học chất lưu, công suất điện năng $P(x)$ (đơn vị: kW) mà tuabin thu được từ luồng gió phụ thuộc vào vận tốc $x$ theo công thức $P(x) = 2x^2(12 - x)$. Để công suất điện năng thu được đạt giá trị lớn nhất, hệ thống điều khiển tự động cần điều chỉnh độ nghiêng cánh quạt sao cho vận tốc gió $x$ tại mặt phẳng cánh quạt bằng bao nhiêu m/s?

Câu 6 (0,5 điểm). Một trạm nghiên cứu sử dụng một quả khí cầu bơm khí Heli để quan trắc khí tượng. Hợp lực của lực đẩy Ác-si-mét và trọng lực tác dụng lên khí cầu là một lực nâng $\vec{F}$ có phương thẳng đứng hướng từ dưới lên trên và có độ lớn bằng $120$ N. Để giữ khí cầu đứng yên tại vị trí $S$ trong không trung, người ta dùng bốn sợi dây cáp không dãn $SA, SB, SC, SD$ có cùng độ dài $50$ m buộc từ điểm $S$ xuống bốn cọc cố định $A, B, C, D$ nằm trên mặt đất phẳng sao cho $ABCD$ là một hình chữ nhật có hai cạnh $AB = 48$ m và $BC = 64$ m. Khi khí cầu ở trạng thái cân bằng (bỏ qua khối lượng của các dây cáp và lực cản của gió), độ lớn lực căng trên mỗi sợi dây cáp bằng bao nhiêu Newton?

--------- HẾT ---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

A. BẢNG ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1. Phần I: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm.

2. Phần II: Trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1,0 điểm. Trong mỗi câu: chỉ lựa chọn chính xác 01 ý được 0,1 điểm; chính xác 02 ý được 0,25 điểm; chính xác 03 ý được 0,5 điểm; chính xác cả 04 ý được 1,0 điểm.

3. Phần III: Trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Chọn B.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}} = f(2) = -1$.

Câu 2

Chọn D.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
Ta có $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x - 2}{x + 1} = 3$ và $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x - 2}{x + 1} = 3$.
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 3$.

Câu 3

Chọn A.
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có nhánh cuối đi lên khi $x \to +\infty$ nên $a > 0$ (loại B và C).
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $(-1; 3)$ và $(1; -1)$.
Xét hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ có $y' = 3x^2 - 3 = 0 \iff x = \pm 1$; $y(-1) = 3$ và $y(1) = -1$ (thỏa mãn).

Câu 4

Chọn C.
Hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$ liên tục trên đoạn $[-2; 2]$.
Ta có $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$; $f'(x) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = -1 \in [-2; 2] \\ x = 3 \notin [-2; 2] \end{array}\right.$.
Tính các giá trị: $f(-2) = 8$; $f(-1) = 15$; $f(2) = -12$.
Vậy $\max_{[-2; 2]} f(x) = f(-1) = 15$.

Câu 5

Chọn B.
Số hạng thứ $5$ của cấp số cộng là $u_5 = u_1 + 4d = 3 + 4 \cdot 4 = 19$.

Câu 6

Chọn A.
Ta có $\cos x = \dfrac{1}{2} \iff \cos x = \cos\dfrac{\pi}{3} \iff x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Câu 7

Chọn D.
Ta có $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.

Câu 8

Chọn C.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $(ABCD)$.
Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc $\widehat{SBA}$.
Xét $\triangle SAB$ vuông tại $A$, ta có $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \implies \widehat{SBA} = 60^\circ$.

Câu 9

Chọn A.
Theo quy tắc hình hộp đối với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.

Câu 10

Chọn B.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - 1; 4 - (-2); -1 - 3) = (2; 6; -4)$.

Câu 11

Chọn D.
Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = -4$.
Độ dài các vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3$; $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$.
Vậy $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = -\dfrac{4}{9}$.

Câu 12

Chọn C.
Trong mẫu số liệu ghép nhóm đã cho, đầu mút trái của nhóm đầu tiên là $a_1 = 15$ và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là $a_6 = 40$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R = 40 - 15 = 25$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Xét hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} = x - 1 + \dfrac{4}{x - 1}$.
- Ý a) Đúng: Điều kiện xác định là $x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1$, nên tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- Ý b) Đúng: Với mọi $x \ne 1$, ta có $f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 4}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$.
- Ý c) Sai: Cho $f'(x) = 0 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 3$. Trên các khoảng $(-1; 1)$ và $(1; 3)$, ta có $f'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-1; 1)$ và $(1; 3)$, mặt khác hàm số không xác định tại $x = 1$.
- Ý d) Đúng: Đồ thị $(C)$ có hai điểm cực trị là $A(-1; -4)$ và $B(3; 4)$. Phương trình đường thẳng đi qua $A, B$ là $y = 2x - 2$. Đường thẳng này cắt trục $Ox$ tại $M(1; 0)$ và cắt trục $Oy$ tại $N(0; -2)$. Diện tích tam giác $OMN$ là $S = \dfrac{1}{2} OM \cdot ON = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Câu 2

Xét hàm số $h(t) = 4 + 2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ với $t \in [0; 24]$.
- Ý a) Đúng: Tại $t = 0$, ta có $h(0) = 4 + 2\cos(0) = 4 + 2 = 6$ (m).
- Ý b) Sai: Đạo hàm của hàm số theo biến $t$ là $h'(t) = 2 \cdot \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = -\dfrac{\pi}{3}\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ (m/giờ).
- Ý c) Đúng: Do $\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge -1$ nên $h(t) \ge 4 - 2 = 2$ (m). Mực nước thấp nhất khi $\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = -1 \iff \dfrac{\pi t}{6} = \pi + k2\pi \iff t = 6 + 12k$ $(k \in \mathbb{Z})$. Trong ngày $(0 \le t \le 24)$, lần đầu tiên mực nước thấp nhất ứng với $k = 0$, tức là lúc $t = 6$ giờ sáng.
- Ý d) Đúng: Tàu ra vào cảng an toàn khi $h(t) \ge 5 \iff 4 + 2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge 5 \iff \cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge \dfrac{1}{2}$. Với $t \in [0; 12]$ thì $\dfrac{\pi t}{6} \in [0; 2\pi]$, bất phương trình tương đương $\dfrac{\pi t}{6} \in \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{3}; 2\pi\right] \iff t \in [0; 2] \cup [10; 12]$. Tổng thời gian tàu ra vào an toàn trong khoảng từ $0$ giờ đến $12$ giờ trưa là $(2 - 0) + (12 - 10) = 4$ (giờ).

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$, cho $O(0; 0; 0)$, $A(2; 6; 3)$ và $B(5; 0; 6)$.
- Ý a) Đúng: Khoảng cách $OA = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$ (km).
- Ý b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (5 - 2; 0 - 6; 6 - 3) = (3; -6; 3)$.
- Ý c) Đúng: Vì $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ và $MB = 2MA$ nên $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} = (1; -2; 1)$. Suy ra tọa độ điểm $M$ là $M(2 + 1; 6 - 2; 3 + 1)$ hay $M(3; 4; 4)$.
- Ý d) Sai: Hai điểm $A(2; 6; 3)$ và $B(5; 0; 6)$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(Oxy)$ (do $z_A = 3 > 0, z_B = 6 > 0$). Gọi $A'(2; 6; -3)$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $(Oxy)$. Khi đó với mọi $N \in (Oxy)$, ta có $NA + NB = NA' + NB \ge A'B$. Tổng $NA + NB$ nhỏ nhất khi $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $A'B$ với mặt phẳng $(Oxy)$. Ta có $\overrightarrow{A'B} = (3; -6; 9)$. Vì $N \in (Oxy)$ nên $z_N = 0 \implies \overrightarrow{A'N} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{A'B} = (1; -2; 3) \implies N(3; 4; 0)$. Khoảng cách từ $N$ đến $O$ là $ON = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5$ (km) $\ne 6$ km.

Câu 4

Bảng số liệu với giá trị đại diện các nhóm:

- Ý a) Sai: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R = 6 - 1 = 5$.
- Ý b) Đúng: Cỡ mẫu $n = 2 + 4 + 8 + 4 + 2 = 20$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$\bar{x} = \dfrac{2 \cdot 1,5 + 4 \cdot 2,5 + 8 \cdot 3,5 + 4 \cdot 4,5 + 2 \cdot 5,5}{20} = \dfrac{70}{20} = 3,5\text{ (km)}$$

- Ý c) Sai: Ta có $\dfrac{n}{4} = 5$. Tần số tích lũy của nhóm $[1; 2)$ là $2 < 5$, của nhóm $[2; 3)$ là $2 + 4 = 6 \ge 5$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[2; 3)$. Do đó:

$$Q_1 = 2 + \dfrac{5 - 2}{4} \cdot (3 - 2) = 2,75$$

- Ý d) Đúng: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$s^2 = \dfrac{1}{20}\left[2(1,5 - 3,5)^2 + 4(2,5 - 3,5)^2 + 8(3,5 - 3,5)^2 + 4(4,5 - 3,5)^2 + 2(5,5 - 3,5)^2\right] = \dfrac{24}{20} = 1,2$$

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Đáp án: 671
Công suất nạp điện tức thời của hệ thống tại thời điểm $t$ ($0 \le t \le 12$) là:

$$P(t) = E'(t) = -3t^2 + 36t + 35 = -3(t - 6)^2 + 143$$

Trên đoạn $[0; 12]$, công suất nạp điện tức thời $P(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $143$ kW khi $t = 6$ (tức là vào lúc $12$ giờ trưa).
Tổng lượng điện năng đang lưu trữ trong ắc quy tại thời điểm $t = 6$ là:

$$E(6) = -6^3 + 18 \cdot 6^2 + 35 \cdot 6 + 29 = -216 + 648 + 210 + 29 = 671\text{ (kWh)}$$

Câu 2

Đáp án: 2,4
Vì $AB \parallel CD$ nên $AB \parallel (SCD)$. Do đó:

$$d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD))$$

Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$, kẻ đường cao $AH \perp SD$ $(H \in SD)$.
Ta có $\begin{cases} CD \perp AD \\ CD \perp SA \end{cases} \implies CD \perp (SAD) \implies CD \perp AH$.
Kết hợp $AH \perp SD$ suy ra $AH \perp (SCD)$, tức là $d(A, (SCD)) = AH$.
Xét $\triangle SAD$ vuông tại $A$ có $SA = 4, AD = 3$:

$$AH = \dfrac{SA \cdot AD}{\sqrt{SA^2 + AD^2}} = \dfrac{4 \cdot 3}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \dfrac{12}{5} = 2,4$$

Câu 3

Đáp án: 5
Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y' = x^2 - 2mx + 2m + 3$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

$$y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \Delta' = m^2 - (2m + 3) \le 0 \iff m^2 - 2m - 3 \le 0 \iff -1 \le m \le 3$$

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-1; 0; 1; 2; 3\}$. Vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Câu 4

Đáp án: 540
Khi tàu chạy với vận tốc so với mặt nước là $v$ (km/h, $v > 4$) ngược dòng nước chảy $4$ km/h, vận tốc thực tế của tàu so với bờ là $v - 4$ (km/h).
Thời gian để tàu di chuyển hết quãng đường $20$ km là $t(v) = \dfrac{20}{v - 4}$ (giờ).
Tổng điện năng tiêu thụ của tàu trong suốt hành trình (đơn vị: kWh) là:

$$E(v) = P(v) \cdot t(v) = 0,25v^3 \cdot \dfrac{20}{v - 4} = \dfrac{5v^3}{v - 4} \quad (v > 4)$$

Ta có đạo hàm:

$$E'(v) = 5 \cdot \dfrac{3v^2(v - 4) - v^3}{(v - 4)^2} = \dfrac{10v^2(v - 6)}{(v - 4)^2}$$

Cho $E'(v) = 0 \iff v = 6$ (vì $v > 4$).
Trên khoảng $(4; 6)$, ta có $E'(v) < 0$ nên $E(v)$ nghịch biến; trên khoảng $(6; +\infty)$, ta có $E'(v) > 0$ nên $E(v)$ đồng biến.
Do đó, $E(v)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $v = 6$ km/h với mức điện năng tiêu thụ nhỏ nhất là:

$$\min_{(4; +\infty)} E(v) = E(6) = \dfrac{5 \cdot 6^3}{6 - 4} = 540\text{ (kWh)}$$

Câu 5

Đáp án: 8
Xét hàm công suất điện năng thu được theo vận tốc gió $x$ tại mặt phẳng cánh quạt:

$$P(x) = 2x^2(12 - x) = -2x^3 + 24x^2 \quad (0 < x < 12)$$

Ta có đạo hàm $P'(x) = -6x^2 + 48x = -6x(x - 8)$.
Cho $P'(x) = 0 \iff x = 8$ (do $0 < x < 12$).
Vì $P'(x) > 0$ với mọi $x \in (0; 8)$ và $P'(x) < 0$ với mọi $x \in (8; 12)$ nên hàm số $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; 12)$ tại $x = 8$ (m/s).

Câu 6

Đáp án: 50
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$. Độ dài đường chéo là $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{48^2 + 64^2} = 80$ (m), suy ra $OA = OB = OC = OD = \dfrac{AC}{2} = 40$ (m).
Vì $SA = SB = SC = SD = 50$ m và $OA = OB = OC = OD = 40$ m nên $SO \perp (ABCD)$ và độ cao của vị trí $S$ so với mặt đất là:

$$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{50^2 - 40^2} = 30\text{ (m)}$$

Gọi $\vec{T}_1, \vec{T}_2, \vec{T}_3, \vec{T}_4$ lần lượt là các lực căng trên bốn sợi dây cáp $SA, SB, SC, SD$. Do tính đối xứng nên độ lớn lực căng trên bốn dây bằng nhau: $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = |\vec{T}_3| = |\vec{T}_4| = T$.
Ta biểu diễn các vectơ lực căng theo các vectơ hình học:

$$\vec{T}_1 = \dfrac{T}{50}\overrightarrow{SA}, \quad \vec{T}_2 = \dfrac{T}{50}\overrightarrow{SB}, \quad \vec{T}_3 = \dfrac{T}{50}\overrightarrow{SC}, \quad \vec{T}_4 = \dfrac{T}{50}\overrightarrow{SD}$$

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}$, suy ra $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$. Khi đó:

$$\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 + \vec{T}_4 = \dfrac{T}{50}\left(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}\right) = \dfrac{4T}{50}\overrightarrow{SO}$$

Khi khí cầu ở trạng thái cân bằng, ta có $\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 + \vec{T}_4 + \vec{F} = \vec{0} \implies |\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 + \vec{T}_4| = |\vec{F}|$, tức là:

$$\dfrac{4T}{50} \cdot SO = 120 \iff \dfrac{4T}{50} \cdot 30 = 120 \iff \dfrac{12}{5}T = 120 \iff T = 50\text{ (N)}$$