Đề khảo sát chất lượng môn Toán 12 nâng cao - Năm học 2025 - 2026

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 5}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$. Giao điểm của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên của $(C)$ có tọa độ là

Câu 2. Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới đây:

[Bảng biến thiên]

Hàm số $g(x) = f(2 - x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x + \sqrt{4 - x^2}$ trên đoạn $[-2; 2]$ bằng

Câu 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$ thoả mãn $u_1 + u_5 = 18$ và $u_3 \cdot u_4 = 88$. Biết công sai $d > 0$, số hạng đầu $u_1$ bằng

Câu 5. Số nghiệm thực của phương trình $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$ thuộc đoạn $[0; 4\pi]$ là

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a$, $AD = a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ bằng

Câu 7. Biết đồ thị hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0$) có đường tiệm cận đứng $x = 2$, đường tiệm cận ngang $y = -1$ và đi qua điểm $A(1; 3)$. Giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a + b}{c + d}$ bằng

Câu 8. Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh và 7 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả cầu từ hộp. Xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả màu đỏ và ít nhất 1 quả màu xanh bằng

Câu 9. Bảng sau biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian hoàn thành một bài kiểm tra môn Toán của 40 học sinh (đơn vị: phút):

Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để phương trình $4^x - m \cdot 2^{x+1} + 2m + 3 = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Câu 11. Cho hàm số $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$ có bảng biến thiên như sau:

[Bảng biến thiên]

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là

Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$.

a) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 1$.
b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(0; -3)$ và điểm cực tiểu là $B(4; 5)$.
c) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $4\sqrt{5}$.
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta: x + 3y - 1 = 0$ có đúng 2 tiếp tuyến.

Câu 2. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 2025$, với $m$ là tham số thực.

a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1)$.
b) Với mọi giá trị của tham số $m$, hàm số luôn có hai điểm cực trị.
c) Hai điểm cực trị của hàm số là $x_1 = m - 1$ và $x_2 = m + 1$.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số phụ thuộc vào giá trị của tham số $m$.

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$.

a) Đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$.
b) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$.
c) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
d) Cosin của góc giữa đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Câu 4. Trong một đợt kiểm tra sức khỏe định kỳ của một trường học, tỉ lệ học sinh bị cận thị là $40\%$. Trong số học sinh bị cận thị có $80\%$ học sinh thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh trên 2 giờ mỗi ngày; trong số học sinh không bị cận thị có $30\%$ học sinh thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh trên 2 giờ mỗi ngày. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường.

a) Xác suất để học sinh được chọn thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh trên 2 giờ mỗi ngày bằng $0,50$.
b) Xác suất để học sinh được chọn vừa bị cận thị vừa sử dụng điện thoại thông minh trên 2 giờ mỗi ngày bằng $0,32$.
c) Biết rằng học sinh được chọn thường xuyên sử dụng điện thoại thông minh trên 2 giờ mỗi ngày, xác suất để học sinh đó bị cận thị là $0,64$.
d) Nếu chọn ngẫu nhiên độc lập 3 học sinh, xác suất để có đúng 2 học sinh bị cận thị xấp xỉ bằng $0,288$.

PHẦN III. Câu trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm chuyên dụng với chi phí sản xuất $x$ sản phẩm (tính bằng triệu đồng) được mô tả bởi hàm số $C(x) = 2x^2 + 40x + 800$, trong đó $x \in [5; 50]$. Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là thấp nhất?

Câu 2. Một xưởng cơ khí cần làm một bồn chứa nước bằng inox hình trụ có thể tích $V = 54\pi$ (m³) và không có nắp đậy bên trên. Để tiết kiệm chi phí vật liệu inox, diện tích toàn bộ bề mặt xung quanh và đáy bồn phải nhỏ nhất. Khi đó bán kính đáy của bồn chứa bằng bao nhiêu mét?

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-20; 20]$ để hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x + 5m}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -10)$?

Câu 4. Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a\sqrt{2}$. Tính thể tích của khối chóp đó theo đơn vị $a^3$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu 5. Một hộp đựng 15 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ. Tính xác suất để tích ba số ghi trên 3 tấm thẻ rút được là một số chẵn (kết quả viết dưới dạng số thập phân, làm tròn đến hàng phần nghìn).

Câu 6. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất $6\%$ một năm theo hình thức lãi kép kì hạn một năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 350 triệu đồng (giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi)?

--------- HẾT ---------

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (3,0 điểm - Mỗi câu 0,25 điểm)

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Quy tắc tính điểm: Đúng 1 ý: 0,1 điểm; Đúng 2 ý: 0,25 điểm; Đúng 3 ý: 0,5 điểm; Đúng 4 ý: 1,0 điểm.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)