Đề khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán – Lớp 12 (năm học 2026 – 2027)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 (0,25 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng $12$ và độ dài trục bé bằng $8$ là

Gợi ý giải: $2a = 12 \Rightarrow a = 6$; $2b = 8 \Rightarrow b = 4$ nên $(E): \dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Chọn A.

Câu 2 (0,25 điểm). Cho một mẫu số liệu ghép nhóm có $7$ nhóm với độ dài các nhóm bằng nhau; giá trị đại diện của nhóm thứ tư và nhóm thứ năm lần lượt bằng $12$ và $16$. Đầu mút trái của nhóm thứ bảy bằng

Gợi ý giải: Hai giá trị đại diện liên tiếp hơn kém nhau đúng một độ dài nhóm: $h = 16 - 12 = 4$. Nhóm 4 là $[10;14)$ nên nhóm 7 là $[22;26)$, đầu mút trái bằng $22$. Chọn B.

Câu 3 (0,25 điểm). Cho bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao (cm) của $40$ cây giống trong vườn ươm như sau:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng (kết quả quy tròn đến hàng phần chục)

Gợi ý giải: Cỡ mẫu $n = 40$, tứ phân vị thứ nhất là giá trị thứ $10$; tần số tích luỹ đến hết nhóm 1 là $6 < 10$, đến hết nhóm 2 là $20 \ge 10$ nên $Q_1$ thuộc $[165;170)$. Do đó $Q_1 = 165 + \dfrac{10-6}{14}\cdot 5 \approx 166,4$. Chọn B.

Câu 4 (0,25 điểm). Tập nghiệm $T$ của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x+3) \ge -2$ là

Gợi ý giải: Điều kiện $x > -3$. Cơ số $\dfrac12 < 1$ nên bất phương trình đổi chiều: $x + 3 \le \left(\dfrac12\right)^{-2} = 4 \Leftrightarrow x \le 1$. Vậy $T = (-3;1]$. Chọn A.

Câu 5 (0,25 điểm). Cho hàm số

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2} & \text{khi } x \ne 2 \\ m & \text{khi } x = 2 \end{cases}$$

Giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục tại điểm $x = 2$ là

Gợi ý giải: Với $x \ne 2$, $\dfrac{x^2-4}{x-2} = x+2$ nên $\lim\limits_{x\to 2} f(x) = 4$. Liên tục tại $x=2$ khi $m = 4$. Chọn A.

Câu 6 (0,25 điểm). Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

[Đồ thị]

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

Gợi ý giải: $f'(x) = x^3-x^2-2x = x(x-2)(x+1)$; $f'(x) < 0$ trên $(-\infty;-1)$ và $(0;2)$, $f'(x) > 0$ trên $(-1;0)$ và $(2;+\infty)$. Vì $(-2;-1) \subset (-\infty;-1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-2;-1)$. Chọn B.

Câu 7 (0,25 điểm). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2+x-1}{x+2}$ có toạ độ là

Gợi ý giải: Chia đa thức: $y = \dfrac{x^2+x-1}{x+2} = x-1+\dfrac{1}{x+2}$, đồ thị có tiệm cận đứng $x = -2$ và tiệm cận xiên $y = x-1$. Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: $I(-2;-3)$. Kết quả này không khớp các phương án đang in — cần rà lại đề.

Câu 8 (0,25 điểm). Hàm số nào sau đây có đồ thị dạng như hình vẽ bên dưới?

[Đồ thị]

Gợi ý giải: Đọc hình: tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận ngang $y = 1$, đồ thị cắt $Ox$ tại $(-2;0)$ và $Oy$ tại $(0;2)$. Chỉ $y = \dfrac{x+2}{x+1}$ thoả cả bốn dữ kiện. Chọn C.

Câu 9 (0,25 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $A(-2;3;5)$. Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là

Gợi ý giải: Hình chiếu lên $(Oxy)$ giữ nguyên hoành độ và tung độ, cao độ bằng $0$: $(-2;3;0)$. Chọn B.

Câu 10 (0,25 điểm). Nghiệm của phương trình $2\sin x - \sqrt{2} = 0$ là

Gợi ý giải: $\sin x = \dfrac{\sqrt2}{2}$ nên $x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$. Chọn A.

Câu 11 (0,25 điểm). Giả sử giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + e^{-4x}$ trên đoạn $[0;1]$ là $a + b\ln 2$ với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $a + b$ bằng

Gợi ý giải: $y' = 1 - 4e^{-4x} = 0 \Leftrightarrow e^{-4x} = \dfrac14 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ln 2}{2} \in [0;1]$. Khi đó $y = \dfrac{\ln 2}{2} + e^{-2\ln 2} = \dfrac14 + \dfrac12\ln 2$; so với $y(0) = 1$, $y(1) = 1 + e^{-4}$ thì đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy $a = \dfrac14$, $b = \dfrac12$, $a+b = \dfrac34$. Chọn A.

Câu 12 (0,25 điểm). Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $2a$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CC'}$ là

Gợi ý giải: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA'}$, hai vectơ này vuông góc nên $\left|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA'}\right|^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2$. Vậy độ dài bằng $a\sqrt5$. Chọn D.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 13 (1,0 điểm). Một công ty khởi nghiệp mô hình hoá tốc độ tăng trưởng doanh thu hàng năm $y = f(t)$ (đơn vị: tỷ đồng/năm) theo thời gian $t$ (đơn vị: năm, $t \ge 0$) bằng một hàm số đa thức bậc ba $y = at^3+bt^2+ct+d$ ($a \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ bên.

[Đồ thị]

a) Công thức xác định tốc độ tăng trưởng doanh thu của công ty là $f(t) = 2t^3-9t^2+12t$.
b) Doanh thu của công ty đạt tốc độ tăng trưởng cực đại tại thời điểm $t = 2$ năm.
c) Trong năm đầu tiên ($0 \le t \le 1$), tốc độ tăng trưởng doanh thu của công ty luôn có xu hướng tăng.
d) Tại thời điểm $t = 1,5$ năm, tốc độ tăng trưởng doanh thu của công ty đạt giá trị bằng $4,5$ tỷ đồng/năm.

Gợi ý giải:
a) Đúng – thay $t=1$ được $f(1)=5$, $t=2$ được $f(2)=4$, khớp hai điểm cực trị trên đồ thị.
b) Sai – $f'(t) = 6(t-1)(t-2)$ nên tốc độ tăng trưởng cực đại tại $t = 1$ (giá trị $5$), tại $t = 2$ là cực tiểu.
c) Đúng – trên $(0;1)$ có $f'(t) > 0$ nên $f$ đồng biến.
d) Đúng – $f(1,5) = 6,75 - 20,25 + 18 = 4,5$.

Câu 14 (1,0 điểm). Cho hàm số $y = ax + b - \dfrac{1}{x+c}$ có đồ thị như hình vẽ:

[Đồ thị]

a) Đồ thị hàm số nhận đường $x = 1$ làm tiệm cận đứng và đường $y = 2x-1$ làm tiệm cận xiên.
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1;1)$.
c) $a + b + c = 0$.
d) Phương trình $ax + b - \dfrac{1}{x+c} = 0$ có hai nghiệm dương.

Gợi ý giải: Từ đồ thị đọc được $a = 2$, tiệm cận xiên $y = 2x-1$ nên $b = -1$, tiệm cận đứng $x = 1$ nên $c = -1$.
a) Đúng – đúng như đọc từ hình.
b) Đúng – giao hai tiệm cận: $x = 1$, $y = 2\cdot1-1 = 1$.
c) Đúng – $a+b+c = 2-1-1 = 0$.
d) Sai – $2x-1-\dfrac{1}{x-1} = 0 \Leftrightarrow 2x^2-3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac32$; chỉ có một nghiệm dương.

Câu 15 (1,0 điểm). Có một thùng hàng dạng hình hộp chữ nhật với mặt trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Người ta vận chuyển bằng cách buộc thùng hàng đó vào móc $S$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $45^\circ$. Chiếc cần cẩu kéo thùng hàng lên theo phương thẳng đứng. Các lực căng $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$, $\overrightarrow{F_4}$ đều có cường độ là $4000$ N. Biết $P = mg$, trong đó $\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10$ m/s$^2$, $P$ là trọng lực của vật (đơn vị N), $m$ là khối lượng của vật (đơn vị kg). Khi đó:

[Hình vẽ]

a) Nếu $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ thì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SI}$.
b) $SI = SA \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
c) $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}\right| = 16000$ N.
d) Khối lượng của thùng hàng là $1131$ kg (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Gợi ý giải:
a) Đúng – $I$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SI}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SI}$.
b) Sai – góc giữa dây và mặt đáy là $45^\circ$ nên $SI = SA\cdot\sin 45^\circ = SA\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$ (hệ thức $SA\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$ ứng với góc $60^\circ$).
c) Sai – mỗi lực có thành phần thẳng đứng $4000\sin 45^\circ = 2000\sqrt2$ N, tổng bốn lực là $8000\sqrt2 \approx 11314$ N, khác $16000$ N.
d) Đúng – cân bằng lực: $P = 8000\sqrt2$ N nên $m = \dfrac{8000\sqrt2}{10} = 800\sqrt2 \approx 1131$ kg.

Câu 16 (1,0 điểm). Hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục toạ độ $Oxyz$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Biết toạ độ một số đỉnh của ngôi nhà là $O(0;0;0)$, $E(0;0;3)$, $B(6;4;0)$, $G(6;4;3)$, $P(3;0;5)$, $Q(3;4;5)$.

[Hình vẽ]

a) Toạ độ điểm $A$ là $(6;0;0)$.
b) $\overrightarrow{AG} = (0;4;3)$.
c) $\overrightarrow{FG} = 4\vec{k}$.
d) Khi $\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{QG}$ thì toạ độ điểm $T$ là $(9;0;-2)$.

Gợi ý giải:
a) Đúng – nền $OABC$ là hình chữ nhật nên $A$ nằm trên $Ox$ với $OA = OB$ chiếu lên $Ox$: $A(6;0;0)$.
b) Đúng – $\overrightarrow{AG} = (6-6;\ 4-0;\ 3-0) = (0;4;3)$.
c) Sai – $F$ nằm trên $AF$ thẳng đứng với $A$ nên $F(6;0;3)$, suy ra $\overrightarrow{FG} = (0;4;0) = 4\vec{j}$.
d) Đúng – $\overrightarrow{QG} = (6-3;\ 4-4;\ 3-5) = (3;0;-2)$ nên $T = A + \overrightarrow{QG} = (9;0;-2)$.

PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22.

Câu 17 (0,5 điểm). Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng, người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm B lãi 3 triệu đồng, người ta sử dụng máy I trong 5 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 20 giờ, máy II hoạt động không quá 20 giờ và máy III hoạt động không quá 28 giờ. Hỏi nhà máy cần sản xuất tổng bao nhiêu tấn sản phẩm A và B để tiền lãi được nhiều nhất?

Gợi ý giải: Gọi $x$, $y$ (tấn) là lượng sản phẩm A, B; lãi $L = 4x+3y$ với $x+5y \le 20$, $2x+2y \le 20$, $3x+2y \le 28$, $x,y \ge 0$. Các đỉnh miền nghiệm cho $L$ lớn nhất tại giao của $x+y = 10$ và $3x+2y = 28$, tức $x = 8$, $y = 2$ ($L = 38$ triệu). Đáp số: $10$ tấn.

Câu 18 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $AB = 6$, $AD = 3$, $SA = 2$. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{14}}{b}$, với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.

Gợi ý giải: Chọn $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $D(0;3;0)$, $S(0;0;2)$, $C(6;3;0)$. Mặt phẳng $(SBD)$: $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow x+2y+3z-6 = 0$. Khi đó $d(C,(SBD)) = \dfrac{|6+6-6|}{\sqrt{1+4+9}} = \dfrac{6}{\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ nên $a = 3$, $b = 7$. Đáp số: $a+b = 10$.

Câu 19 (0,5 điểm). Một phần đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ ($a \ne 0$). Trục $Ox$ mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều ngang (tính bằng mét), trục $Oy$ mô tả chiều cao của đường ray (tính bằng mét) tại mỗi vị trí của $x$. Chiều cao xuất phát của tàu là $60$ m. Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ nhất từ vị trí $x = 15$ m, tàu lên khỏi mặt đất ở vị trí $x = 45$ m và sau đó hạ xuống mặt đất lần cuối ở vị trí $x = 90$ m. Hỏi trong quá trình di chuyển thì tàu cách mặt đất một khoảng lớn nhất bằng bao nhiêu mét?

Gợi ý giải: $f(x) = a(x-15)(x-45)(x-90)$; từ $f(0) = 60$ suy ra $a = -\dfrac{2}{2025}$. Khảo sát trên $[0;90]$: $f$ giảm trên $[0;15]$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x = 0$, $f(0) = 60$; các cực đại địa phương về sau chỉ khoảng $27,4$ m. Đáp số: $60$ m.

Câu 20 (0,5 điểm). Trong một dự án giám sát sinh thái hồ, các chuyên gia môi trường mô hình hoá nồng độ oxygen hoà tan DO (đơn vị: mg/L) trong nước hồ sau $t$ giờ ($t \ge 0$) kể từ khi xảy ra sự cố xả thải hữu cơ bằng hàm số $y = f(t)$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó

$$f(t) = 4 - \frac{12t}{4t^2+1}.$$

[Đồ thị]

Đạo hàm $f'(t)$ biểu thị tốc độ thay đổi nồng độ oxygen trong nước hồ (đơn vị: mg/(L.giờ)). Tốc độ phục hồi (hoặc gia tăng) nồng độ oxygen hoà tan trong hồ đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = \dfrac{\sqrt{a}}{b}$ giờ ($a$ và $b$ là các số nguyên tố). Tính giá trị của biểu thức $P = a - b$.

Gợi ý giải: $f'(t) = \dfrac{12(4t^2-1)}{(4t^2+1)^2}$. Đặt $u = t^2$, xét $\dfrac{4u-1}{(4u+1)^2}$ có đạo hàm theo $u$ bằng $\dfrac{12-16u}{(4u+1)^3}$, triệt tiêu tại $u = \dfrac34$, tức $t = \dfrac{\sqrt3}{2}$ (đây là cực đại của $f'$). Vậy $a = 3$, $b = 2$. Đáp số: $P = 1$.

Câu 21 (0,5 điểm). Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng 3 sợi dây không giãn, mỗi sợi dài $40$ cm; miếng kê là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính $20$ cm; ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của 3 sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá $10$ N, trọng lượng của miếng giá gỗ là $4$ N. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị N, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Gợi ý giải: Ba điểm đỡ nằm trên đường tròn bán kính $20$ cm nên khoảng cách từ tâm đến mỗi điểm đỡ là $20$ cm. Chiều cao từ mối thắt xuống mặt gỗ: $h = \sqrt{40^2-20^2} = 20\sqrt3$ cm, do đó $\cos\alpha = \dfrac{20\sqrt3}{40} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ với $\alpha$ là góc giữa dây và phương thẳng đứng. Tổng lực đỡ cực đại $= 3\cdot10\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 15\sqrt3 \approx 25,98$ N. Trọng lượng hoa tối đa $\approx 25,98-4 = 21,98$ N. Đáp số: $\approx 22,0$ N.

Câu 22 (0,5 điểm). Có 12 người ngồi vào 12 ghế theo một hàng ngang. Cần chọn 3 người trong 12 người để phân công công việc. Tính xác suất để trong 3 người được chọn đó không có 2 người ngồi kề nhau.

Gợi ý giải: Số cách chọn tuỳ ý: $C_{12}^3 = 220$. Chọn 3 người không có hai người kề nhau trong hàng 12 ghế: $C_{12-3+1}^3 = C_{10}^3 = 120$. Xác suất $= \dfrac{120}{220} = \dfrac{6}{11}$. Đáp số: $\dfrac{6}{11}$.

--------- HẾT ---------

Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ........................